一類非線性二階半正周期問題正解的存在性①

王晶璇

西北師范大學 數學與統計學院，蘭州 730070

正解的存在性, 其中λ為正參數,均為連續函數, ω是[0, 1]上的連續函數且|ω(t)|≤k, f:[0, ∞)[0, ∞)為連續函數且滿足 運用錐上不動點定理證明了: 存在常數λ*>0, 使得對于λ∈(0, λ*), 該問題至少有一個正解.

近年來, 二階微分方程邊值問題受到許多學者的關注[1-14].特別地, 自然界中存在著大量的周期現象且這些周期現象可以通過二階微分方程周期邊值問題[3-14]來刻畫.比如文獻[5]研究了二階周期邊值問題

(1)

正解的存在性, 其中a>0,λ是一個正參數, 并且滿足條件:

文獻[5]運用錐上不動點定理, 得到了:

值得注意的是, 文獻[5]研究了非線性項f非負的情況下問題(1)正解的存在性, 且a為常數.受上述文獻啟發, 本文考慮比問題(1)更廣泛的問題.具體地, 本文研究二階周期半正問題

(2)

正解的存在性, 其中λ是一個正參數.我們得到如下結論:

定理1假定以下條件成立:

(H4)ω是[0, 1]上的連續函數, 且|ω(t)|≤k.

則存在常數λ*>0, 使得當0<λ<λ*時, 問題(2)至少存在一個正解uλ.

注1當ω=0時, 定理1就退化為引理1的結果.然而, 我們所要研究的是允許|ω|≠0的情形, 允許非線性項取負值的情況下正解的存在性結果.因此, 我們所得的結果是對引理1的推廣.

1 預備知識

Lu=-u″+a(t)uu∈D(L)

其中

D(L)={u∈C2[0, 1]:u(0)=u(1),u′(0)=u′(1)}

是全連續算子, 且滿足

(i)‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩?Ω1且‖Au‖≥‖u‖,u∈K∩?Ω2;

或

(ii)‖Au‖≥‖u‖,u∈K∩?Ω1且‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩?Ω2.

定義u(x),v(x)是齊次方程

-y″+a(t)y=0 0≤t≤1

滿足初值條件

y(0)=1y′(0)=0

的解.且定義

D=u(1)+v′(1)-2

根據文獻[6]中的定理2.5, 下述引理成立:

引理3假設條件(H3)成立且h為非負連續函數, 則線性問題

存在唯一解

其中

且G(t,s)>0, ?t,s∈[0, 1].

令

則m>0,M>0.

由于g(t)是[0, 1]上的連續函數, 則g(t)在[0, 1]上有上界, 記為T, 即0

引理4令w是

證由引理3知

則

引理5令u∈C1[0, 1]∩C2(0, 1), 滿足

證令v0(t)是微分方程

的唯一解, 則

即-v0(t)≤MkT, 則v0(t)≥-MkT.

令y(t)=u(t)-v0(t), 則

2 主要結果的證明

定理1的證明問題(2)的等價積分形式為

(3)

定義E中的集合

其中

則K為E中的一個正錐.

若u∈K, 結合引理5和(3)式可知

令a>1, 有

f(z)+ω(t)>0z≥a,t∈(0, 1)

(4)

即

因此, 如果u∈K且‖u‖=H1, 則由(3),(4)式得

令

Ω1={u∈E: ‖u‖

則有

‖Au‖≤‖u‖u∈K∩?Ω1

(5)

(6)

令

Ω2={u∈E: ‖u‖

則有u∈K且‖u‖=H2, 則

(7)

因此, 由(6)式和(7)式得

因此

‖Au‖≥‖u‖u∈K∩?Ω2

(8)

3 應用

例1考慮問題

(9)

解的存在性, 其中λ>0.

解這里取

a(t)=t+1g(t)=tf(u)=u2ω(t)=sin 2πt

對于問題(9)而言, 顯然f是連續的非負函數, 且有

根據定理1可得, 存在常數λ*>0, 使得當0<λ<λ*時, 問題(9)至少存在一個正解uλ.