求多元等式條件下最值問題的方法探究

何東

摘 要：基本不等式是解決最值問題的一種重要方法，其中含有多元條件等式的問題是典型的一類.這類問題的處理可以為學(xué)生展示很多的解題技巧.基于具體題例，結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，試圖呈現(xiàn)求多元等式的七種方法：等價(jià)變形、特值利用、多次放縮、消元轉(zhuǎn)化、替換變形、分解換元、結(jié)構(gòu)換元.

關(guān)鍵詞：多元等式；基本不等式；求最值

用基本不等式解決某些含有多元等式條件的最大值或最小值問題是一種常見手段，但由于有些題目的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，條件隱晦，導(dǎo)致問題難度增大.這類問題的解答需要學(xué)生具備扎實(shí)的基本功和一定的解題技巧，這就需要教師在平時(shí)的教學(xué)中給予學(xué)生規(guī)范的解題方法指導(dǎo)以及給學(xué)生提供有一定量的典型題目的訓(xùn)練.本文從介紹常用解題方法的角度，以研究具體題例的求解方法為索引，解說一般問題的破解方法，希望給讀者朋友有一點(diǎn)幫助.

以Δ=b2-4ac≤0且a＞0，則4c≥b2a，于是M=a+2b+4cb-a≥a+2b+b2ab-a=1+2ba+b2a2ba-1，由于a＜b，令t=ba-1＞0，則M≥（t+2）2t=t+4t+4≥8，當(dāng)且僅當(dāng)t=4t，即b=3a，c=94a時(shí)，M取到最小值8.

點(diǎn)評(píng)：本題解法中，對(duì)變形后的式子的某個(gè)部分（特殊結(jié)構(gòu)）進(jìn)行換元處理，能夠凸現(xiàn)出某個(gè)特定的解題形式，由此可以進(jìn)一步引導(dǎo)、啟發(fā)下一步的求解.

例14 已知正實(shí)數(shù)a，b滿足1（2a+b）b+2（2b+a）a=1，求ab的最大值.

分析：由于ab=ab1（2a+b）b+2（2b+a）a=a2a+b+2b2b+a，可令2a+b=x，2b+a=y，所以a=2x-y3，b=2y-x3，故而ab=2x-y3x·2（2y-x）3y=2-13yx+2xy

≤2-23yx·2xy=2-223.于是，當(dāng)且僅當(dāng)y=2x時(shí)，ab有最大值為2-223.

點(diǎn)評(píng)：由于題中給出的條件式中分母的結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜，故而對(duì)分母進(jìn)行換元是必要的選擇，這樣就能轉(zhuǎn)化式子結(jié)構(gòu)，通過重新整理變形，就顯現(xiàn)出了可使用基本不等式的特殊模型，為后面的成功解題創(chuàng)造了條件.

上面是通過對(duì)若干個(gè)典型題目的分析研判，獲得了符合具體所解問題實(shí)際的解題技巧，多數(shù)是常見且實(shí)用的.可以看到，在解題中利用基本不等式是解決含有多元等式條件的最大值或最小值問題的重要方法，當(dāng)然還需要許多其他方法的配合.需要注意的是，含有條件等式問題只是諸多運(yùn)用基本不等式求最值問題中的重要一類，其他還有多種題型.