“數”與“形”的融合，創新“一題多解”

房小記

摘 要：“一題多解”對學生邏輯思維能力的養成有著非常重要的影響，教師應重視將“一題多解”的意識巧妙滲透到數學課堂解題教學中去.以一道雙曲線中的離心率與方程的求解問題為例，借助解三角形思維、平面幾何思維等方面從不同視角進行解法探究，讓學生在解題中感悟數學之美，培養思維的發散性，開拓視野，提升數學核心素養.

關鍵詞：雙曲線；離心率；方程；解三角形；平面幾何

x23-y24=1.

解后反思：在第一空的基礎上，已知構建參數a、b、c之間的關系，進一步以雙曲線上的一條切線與其兩條漸近線所轉成的三角形的面積來巧妙創設，進而求解雙曲線的方程，實現數學知識、思維與方法等方面的遞進與提升.同時，問題的解決與應用，也是雙曲線中的對應性質的歸納.

3 歸納拓展

在以上問題的解答第二空的雙曲線方程的求解時，其中解析過程中發現雙曲線有一個完美的性質：

性質 雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）上的任意一條切線與其兩條漸近線所轉成的三角形的面積為定值ab.

具體的證明過程，可參照以上問題的解答第二空的過程，這里不多加以敘述.在解答以上小題時，如果掌握以上基本性質所對應的“二級結論”，對于第二空中雙曲線方程的求解，就更加簡捷快速.

4 教學啟示

4.1 “數”與“形”的結合，代數幾何角度

在圓錐曲線的離心率及其相關問題的解決中，關鍵是抓住問題的內涵本質，合理構建參數a、b、c之間的關系，經常可以從兩個層面來展開：（1） 代數視角，從“數”的角度切入，利用平面解析幾何中的代數元素，并結合相關的公式來構建等量關系；（2） 幾何視角，從“形”的角度切入，利用平面幾何中的幾何元素，并結合相關的圖形特征來構建等量關系.

經常是同時綜合“數”與“形”之間的聯系，數形結合，合理綜合“數”與“形”之間的關系加以綜合應用，創新解決.

4.2 倡導“一題多解”，實現“一題多得”

在數學教學與解題研究中，借助“一題多解”，可以很好地開闊學生的解題思路，發散學生的解題思維，使學生學會多層面、多角度分析和解決問題，真正達到對數學原理、基礎知識與“通性通法”的認識，提高數學解題技巧與能力，靈活應用，出神入化，達到“一題多得”的良好效果.