讓學生在解題學習中學會概括

王小林

摘 要：微專題教學是中學數學復習階段一種新的復習課型，得到了很多教師的研究和實踐.微專題教學主題聚焦于一類問題或一個基本圖形，一題多變、多題歸一，有助于學生對一類問題的歸類與識別，提升學生思維品質，也有利于“就題論道”.

關鍵詞：微專題教學；三角形內接矩形；問題的歸類與識別

數學概括是一種能力，能力只存在于人的特定活動之中，并在活動中形成和發展^［1］.因此，概括不是靜態的，它是在數學學習活動中形成、運用并不斷得到發展的思維動作.本文從一道教材經典問題出發，研發一節微專題復習課，在解題教學中積極踐行涂榮豹教授關于“要重視培養學生概括能力”的論點.

1 “三角形內接矩形問題”微專題教學設計

教學環節（一） 從教材習題出發

例1 （教材習題）如圖1，面積為48的△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝12，要把它加工成正方形零件，使正方形DEFG的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，求該正方形零件的邊長.

教學預設：這道題可安排基礎較弱的學生講解思路，然后請優秀學生進行點評.接著給出“變式1”.

【變式1】如圖2，△ABC的面積為48，BC＝12，矩形DEFG的四個頂點分別在△ABC的各邊上，且DE∶EF＝1∶2，求矩形DEFG的面積.

教學預設：從“內接正方形”到“內接矩形”，且給出了矩形相鄰兩邊之比為1∶2.學生可以繼續運用相似三角形的對應高之比等于相似比，列出方程求出矩形的相鄰兩邊，從而求出面積.

教學環節（二） 探究三角形內接矩形的面積的最大值

【變式2】如圖2，△ABC的面積為48，BC＝12，矩形DEFG的四個頂點分別在△ABC的各邊上，分析矩形PQMN的面積的最大值.

教學預設：繼續運用相似三角形對應高之比等于相似比來分析，可以將矩形相鄰兩邊用同一個未知數x表示出來，進一步得到矩形的面積與x之間存在二次函數關系，于是可借用二次函數的最大值分析方法求解.求解之后，將問題“一般化”，刪減“△ABC的面積為48，BC＝12”，給出“變式3”.

【變式3】如圖3，△ABC中，點D，E，F分別在邊AB，BC，AC上，且DE∥BC，EF∥AB.分析平行四邊形BDEF的面積取得最大時與△ABC的面積的關系.

小結問題1：本課練習中哪幾道習題是以前就遇到過的？哪些習題是沒有見過的？舉例說說.沒有見過的習題，你覺得怎樣轉化為“以前遇到過的習題”？

小結問題2：本課解題與學習中，你對哪道（或哪類）習題留下較為深刻的印象，舉例說說.

小結問題3：你能否根據本課學習的某一道習題為原型，改編一道習題與小組同學先交流一下改編意圖和解題思路.

布置作業：可安排3道與本課時高度相關的習題，作為鞏固訓練.限于篇幅，不再給出.

2 教學立意的進一步闡釋

2.1 專題復習有助學生對同類問題的歸類與辨識

聚焦于某一類問題或某一個基本圖形的專題復習有助于學生對這類問題的深刻理解，以便幫助學生學深、悟透.專題復習課與傳統的以知識點為復習主題的復習課相比，后者雖然以某個知識點為復習主題，但是所選的習題類型、解題方法、轉化策略可能各不相同，學生需要在這些“風格不同”的習題之間反復切換，容易形成解題疲倦，是題海戰術的一種

表現，復習效率往往事倍功半.而專題復習課，著眼于一類問題或一個基本圖形的多種變式與拓展，學生只需圍繞一個問題情境或問題主干深入思考和深度探究，有助于學生今后再遇到類似問題時，能快速識別同類問題、高效解答.

2.2 專題復習有利于學生解題和思維品質的提升

由于專題復習聚焦于某一類問題的深入挖掘，所以對學生解題的思維品質有顯著的提升.比如，上面課例中關注的三角形內接矩形問題的深入探究，學生在這樣的專題復習訓練之后，遇到其它的經典問題、基本圖形，就可能學會深入思考、習得方法，促使他們有“做一題、會一類、通一片”的解題追求；從思維品質上來看，主要訓練了學生思維的深刻性與靈活性.特別地，讓學生在“一題多變”中感悟“多題歸一”，不但訓練了學生的解題能力，而且向學生傳遞了“解題學習中的某些規律可以通過歸納式概括獲得”^［1］.

2.3 專題復習的課堂小結要引導學生“就題論道”

專題復習的主要任務是解題研究和變式拓展，但也要十分重視課堂小結的預設，這也是上文課例中特別安排了3個“小結問題”的教學立意.具體來說，專題復習的課堂小結要緊緊圍繞本課訓練內容展開，避免泛泛而問“這節課學到了什么？這節課感悟了哪些思想方法？”之類.離開學習內容的思想方法的小結是空洞無力的，教師在預設課堂小結時，一定要注意讓學生結合前面所學內容進行梳理和回顧.這也是積極踐行鄭毓信教授所指出的解題教學的“第三個關鍵”—努力促進學生“就題論道”.

參考文獻：

［1］ 涂榮豹，陳嫣.數學學習中的概括［J］.數學教育學報，2004（1）：17-22.

［2］ 馬進.高中數學核心素養培育視域下的項目式學習研究［J］.數學之友，2022，36（2）：73-75.