分類討論思想在數學解題中的應用

董文峰

摘 要：分類討論思想作為數學中的一種重要的思想，在數學解題中有著廣泛而深刻的應用.學生們如何自如地運用這一思想開啟解決問題的大門，這是學生們學習的難點，也是教師在教學中需要重點指導的地方.下面以二次函數中的圖形存在性問題為例，具體講解如何運用分類討論思想解題.

關鍵詞：分類討論思想；二次函數；圖形；存在性

1 分類討論思想概述

在研究和解決數學問題時，當不能對問題所給對象進行統一研究時，把所有研究的問題根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點分成若干類，轉化成若干個小問題來解決，最后綜合各類結果得到整個問題的答案，這種解決問題的數學思想稱為分類討論思想.

分類討論有著特定的產生因素，在初中階段，引起分類討論的主要因素有：（1） 代數方面：① 由數學概念引起的分類討論，如絕對值定義、實數、函數的定義等；② 由代數運算性質引起的分類討論，如算術平方根的非負性，含參數的不等式、方程的求解等；③ 由性質、定理、公式的限制引起的分類討論，如二次項系數的正負對二次函數圖象的開口方向的影響.（2） 幾何方面：① 由幾何圖形中點、線、面的相對位置不確定引起的分類討論，如直線與圓的位置關系；② 由幾何圖形的相對形狀不確定引起的分類討論，如直角三角形和等腰三角形中的邊角的討論.（3） 由實際問題引起的分類討論，如排列問題，實際應用題等.（4） 其他方面，如題設本身有分類，或解題過程不能統一敘述，必須分類討論的.

運用分類討論思想解決這些數學問題時通常的步驟為：（1） 明確討論的對象和范圍；（2） 確定分類的標準，恰當地對全體對象進行合理的分類；（3） 對每一類進行分析和解決問題；（4） 綜合各類的結果，歸納得出結論.需要重點強調的是，第（2）步中的分類是分類討論思想的核心環節，關系到問題解決的成敗.在分類時我們要把握好這四個原則：（1） 確定性原則，分類的對象是確定的；（2） 同一性原則，分類是按照同一個標準進行的；（3） 互斥性原則，分類的標準是統一的，分類的各層之間既沒有重復的部分，也沒有遺漏的部分；（4） 層次性原則，根據題目的特點和要求科學地劃分標準，大分類中含有小分類時，要分清主次，不越級討論.

分類討論思想是一種重要的數學思想，在初中的各個知識板塊中均有滲透，涉及的知識面廣，綜合性強，思考容量大，在解題中有著深刻而廣泛的應用，有利于培養學生的有序思考方法、嚴謹的邏輯思維能力、綜合分析問題和解決問題的能力.下面就二次函數中的圖形存在性問題中滲透的分類討論思想進行具體剖析.

2 分類討論思想在解決二次函數的圖形存在性問題中的應用

研究以二次函數為背景的圖形時，由于其依托于二次函數，所以既與函數圖象有一定的關聯性，又有其本身的獨特性質.而分類討論思想的運用，也正是由圖形的獨特性引起的.在初中階段，二次函數主要與直線、三角形、四邊形和圓這些幾何圖形融合在一起進行考查，屬于二次函數的綜合題通常以壓軸題的形式出現.其中存在性問題主要與直角三角形、等腰三角形、相似三角形、平行四邊形、矩形、菱形和正方形有關，討論這些圖形在二次函數中是否存在，通常是由幾何圖形的相對位置或相對形狀的不確定性引起的分類討論.

2.1 分類討論應用于解決直角三角形存在性問題

由于直角三角形的直角特殊性和直角頂點的不確定性，在假設二次函數中的直角三角形存在的前提下，則圍繞著直角頂點的位置進行分類討論.一般的解法是先把三角形的三個頂點的坐標表示出來，有的點是用含變量的代數式表示，有的點是已知點；再用兩點間的距離公式表示出三角形各邊的長度；然后根據直角頂點的位置分類，對每一類情況分別用勾股定理列方程進行計算；最后整理、綜合各類的結果，得出完整的答案.

例1 如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax²+bx+c與x軸交于A（-3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），連接AC，點P為第二象限拋物線上的動點.

（1） 求a、b、c的值；

（2） 連接PA、PC、AC，求△PAC面積的最大值；

（3） 在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使得△QAC為直角三角形，若存在，請求出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

思路分析：（1） 用待定系數法即可得出結論；（2） 先求出直線AC的解析式，設出點P坐標，表示出點Q坐標，再用三角形的面積公式，得出函數關系式，即可得出結論；

（3） 運用配方法求出拋物線對稱軸，設點Q（-1，n），根據A（-3，0），C（0，3），可運用勾股定理分別求出AC²，CQ²，AQ²，由于△QAC為直角三角形，可以分三種情況：∠CAQ＝90°或∠ACQ＝90°或∠AQC＝90°，對每種情況運用勾股定理列方程求解即可.

2.2 分類討論應用于解決等腰三角形存在性問題

探究等腰三角形的存在性問題時，在假設其存在的前提下，充分利用題目的已知條件，把與等腰三角形有關的點和邊求出來，然后按照哪條邊是等腰三角形的底邊進行分類，對每一類情況，充分利用等腰三角形的性質，如兩腰相等，底邊上的中線垂直平分底邊等，展開求解，最后綜合各類結果，得出答案.

例2 已知拋物線y＝x²+bx+c（b，c為常數）交x軸于點A（1，0）和點B，交y軸于點C（0，5），拋物線的對稱軸與x軸交于點D.

（1） 求該拋物線的解析式；

（2） 在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

思路分析：（1） 用待定系數法求出拋物線的解析式；（2） 先求出B點的坐標，則BC邊是已知的，要使△PBC為等腰三角形，分別存在三種情況：以BC為底邊或以PB為底邊或以PC為底邊.再結合已知的BC邊和充分利用等腰三角形的性質，即可得出答案.

解：（1） 拋物線的解析式為y＝x²-6x+5；

（2） 存在，理由如下：

如圖3，在拋物線y＝x²-6x+5中，令y＝0，則x²-6x+5＝0，

解得x₁＝1，x₂＝5，∴B（5，0），

∵△PBC為等腰三角形，

∴可分為三種情況：以BC為底邊或以PB為底邊或以PC為底邊.

2.3 分類討論應用于解決四邊形存在性問題

在探討二次函數中的四邊形存在性問題時，其中的四邊形包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形，都在出題的范圍內，解決問題的關鍵是在熟練掌握這些特殊四邊形的性質和判定的基礎上根據具體的題目條件，找準解題的突破口.如在探究平行四邊形的存在性問題時，首先假設結論成立，再根據題中的條件確定已知的平行四邊形的頂點，一般至少已知兩個頂點，也即是一條邊，而第三、四個點跟拋物線或者坐標軸有某種關聯性.已知的這條邊既可以是平行四邊形的一邊，也可以是其中的一條對角線，由此引起了分類討論.然后針對每一個分類情況，充分利用平行四邊形的性質和拋物線的性質建立關系式，聯立方程求解，最后綜合所得的結果.

在解決二次函數中的圖形存在性問題時，在對每一種圖形的探討、分析和解決的過程中無不滲透著分類討論的方法和思想，分類討論思想就像是一把解決問題的利器，起著決定性的作用.基于圖形的幾何特征

以及在坐標系中的位置，首先明確討論的對象是這些特殊的圖形，如直角三角形；然后再進行合理的分類，如等腰三角形是根據底邊的位置來分類的，再對每一情形分別求解，由于是以二次函數為背景的題型，所以一般求解的是點的坐標，最后綜合所得的結果.

3 關于分類討論思想的解題教學建議

從以上的例題可以看出，分類討論不是空穴來風，當問題的解決路徑產生了分歧時，分類討論是必然的結果.

為了讓學生們在解題中順利地運用分類討論思想，在解題教學中首先要培養學生們分類討論的意識，讓學生有分類討論思想的基本概念.學而后行，行而后悟，只有讓學生對這一思想方法有了初步的認識，才能在解題中嘗試著運用.教師可以以一種小專題的形式介紹分類討論思想及其在解題中的運用.

其次，指導學生在各類問題中合理地進行分類.在全面了解問題的解決方式后，按照分類的原則，做到不重不漏地進行分類.

最后把握分類討論的嚴密性和語言表達的準確性，分類討論有其基本的步驟，要一步一步地來，先分述后綜合.

總之，分類討論思想的基本策略是先化整為零，再各個擊破，最后積零為整.在解題教學中，需要幫助學生積累一些分類的方法與技巧，針對具體問題靈活分析和解決，這對發展學生的邏輯思維、綜合和概括能力、探索與應用能力大有裨益.