重視反例教學　提升教學品質

顧長留

摘 要：反例教學在促進知識深化，提升學生糾錯、防錯能力，培養思維嚴謹性、深刻性等方面發揮著不可替代的作用.在教學中，教師要從教學實際出發，重視整理歸納反例教學資源，引導學生通過對比、辨析、糾錯等活動更好地理解知識，應用知識，使學生的發散性、逆向性、辯證性思維得到訓練和提升，有效提高數學教學品質.

關鍵詞：反例教學；深化；教學品質

在數學教學中常常會遇到這樣的情況，有些知識若從正面去講解不利于學生理解和接受，有些題目從正面思考很難找到解題的突破口，此時教師可以嘗試引導學生從反向出發，借助反例的作用來化解困惑，優化認知.

在數學教學中，教師要從教學實際出發，適當地選擇一些反例讓學生去辨析、去探索，充分發揮反例特有的魅力來吸引學生的注意力，讓學生從正反兩方面去鞏固所學知識，培養學生嚴謹的學習作風^［1］.另外，恰當地應用反例可以增加課堂的趣味性，有效避免重復講授的所帶來的枯燥感，提升教學有效性.那么反例具有怎樣的現實意義，應如何實施呢？筆者結合自己的教學經驗，談了幾點粗淺認識，供參考.

1 反例在教學中的意義

1.1 利用反例有利于促進概念掌握

數學概念具有高度的抽象性和概括性.對于初中生來講，雖然他們具有一定的分析概括能力，但是從現有的認知水平來看，大多學生很難認清知識的本質特征，因此學生對概念的理解可能是比較淺層的，有時候難免會出現混淆和錯誤.為了幫助學生深化概念的理解，在概念教學中不妨引入一些反例，引導學生進行對比、辨析，幫助學生認清概念的本質屬性，讓學生清晰、深刻、準確地理解概念，有效避免混淆和錯誤，提高概念教學有效性^［2］.

例如，在學習平行線的定義時，部分學生容易忽略“在同一平面內”這一限定條件.若在教學中僅僅讓學生反復背，學生還是很難理解“在同一平面內”的意義，因此在教學中教師不妨從反向出發，借助一些生活實例讓學生發現若兩條線不在同一平面內，它們雖不相交，但也不平行，如長方體上底面的短邊和下底面的長邊.以此借助圖形的直觀強化學生對平行線定義的準確理解，這樣既能培養思維的嚴謹性，又為后期立體幾何的學習打下了基礎.

又如，在概念教學中，學生常常會為概念添加一些關鍵詞，從而使概念出現錯誤.如學習了“點到直線的距離”后，學生將“點到直線的線段中，垂線段最短”這一知識點硬性地嫁接在“點到點的距離上”，認為“兩點之間垂線段最短”，要知道垂線段是相對點與線、線與線、點與面、線與面之間的，兩點之間根本沒有垂足，又何來垂線段呢？可見學生因為對概念的理解模糊而出現了錯誤，為此在教學“點到直線的距離”時，教師應多列舉一些實例，強化學生對垂線、垂線段、垂線的長、垂線段的長等相關概念的理解，并引入一些反例，以此增強學生對概念本質的重要性的認知，培養思維的深刻性、嚴謹性.

1.2 利用反例有利于提升糾錯能力

眾所周知，錯誤在學習中是不可避免的，這樣糾錯自然也就成為了數學教學中的重要一環.糾錯的方式是多種多樣的，反例就是一個有效的教學手段.在教學中，教師可以總結歸納一些典型性錯誤，引導學生通過經歷自我糾錯、生生糾錯、教師糾錯等過程進一步理解知識、積累經驗，提升數學素養.

例如，在“因式分解的復習課”教學中，課前教師設計了一些有針對性的練習讓學生獨立完成，教師結合練習反饋總結歸納了一些典型性錯解，并將其摘錄整理成課件的方式進行展示，以便學生通過對錯誤的再認識，進一步理解知識，促進知識的內化.

問題1：把一個多項式化成幾個________的形式，叫做多項式的分解.

問題1所考查的就是基本概念，其正解為整式的積，不過學生給出的答案可謂是五花八門，如整式、單項式、多項式、多項式與單項式的積，等等，可見學生基礎知識掌握不牢，并未理解因式分解的意義.

問題2：下列各式從左到右的變形屬于因式分解的是（）.

（A） x（x-1）=x²-x；

（B） 6x²y=6x²·y；

（C） 2x²+4xy-6y=2（x²+2xy-3y）；

（D） x²-4=（x+2）（x-2）.

本題正解為D，部分學生給出的答案為B.

復習課是比較難上的課，若在復習中僅僅進行知識的重現，那么復習課堂可能就變成了“炒冷飯”，難以激發學生學習的熱情.本課教學中，為了淡化數學概念的抽象感，吸引學生的注意力，教師以課前練習中的典型錯誤為切入點，充分利用錯解資源，讓學生通過對錯解的反思和感悟，深化對概念及方法的理解，為后期的拓展和提升奠定堅實的基礎.

1.3 利用反例有利于提高思維品質

利用反例有利于提高學生發現問題、解決問題的能力，有利于培養思維的嚴謹性，深刻性，有利于發展學生的自主學習能力，提高學生的數學思維品質.因此，在實際教學中，教師要利用好反例，引導學生去發現、去探索、去概況，培養學生自我糾錯、自我反思等優良品質^［3］.

例如，在學習了乘法分配律m（a+b）=ma+mb后，部分學生得到了錯誤的類推：m÷（a+b）=m÷a+m÷b.若在教學中僅僅告訴學生沒有除法分配律，然后讓學生死記硬背，這樣可能妨礙學生探索新知的熱情，不利于學生的長遠發展.在實際教學中，教師不妨利用錯誤，引導學生通過反例進行檢驗，讓學生自己發現錯誤，主動糾錯.

師：在學習中，我們的學生很有想法，根據乘法分配律m（a+b）=ma+mb，聯想到了除法分配律m÷（a+b）=m÷a+m÷b.如果想驗證這個公式是否成立，最簡潔、最有效的方法是什么？

生齊聲答：特值法.

師：很好，請大家用特值法驗證一下，以上猜想是否正確呢？（學生積極驗證）

生1：令m=30，a=2，b=3，30÷（2+3）=30÷5=6，30÷2+30÷3=15+10=25，所以30÷（2+3）≠30÷2+30÷3.

師：非常好，通過反例驗證我們知道了什么？

生齊聲答：除法沒有分配律.

師：很好！請大家思考這樣一個問題：若將30塊糖平均分到5個盤子里與30塊糖平均分到3個盤子里及30塊糖平均分到2個盤子里有什么關系呢？

生2：盤子越少，每個盤子分得的糖塊也就越多.

分析到此，學生恍然大悟，徹底消除了“想當然”的錯誤，促進了學生學習能力的提升和思維能力的發展.其實在學習中以上現象有很多，若從正面去驗證需要花費很多時間，而且不利于理解，而通過反例可以打破這一困境，大大提升糾錯效率.

2 教學中應用反例的策略

反例在數學教學中具有無法比擬的優勢，那么在教學中如何應用反例呢？

首先，教師要善于捕捉課堂上的或者作業里的反例，并對反例進行深度剖析，從而通過有針對性的啟發和引導點燃學生思維，提升教學有效性.同時，教師要利用好學生學習過程中的一些反例，讓學生知道這些錯誤是真實存在的，并非教師的臆造的，這樣更易于吸引學生的注意力，讓學生更為全面地、深刻地理解知識.

其次，在教學中，教師要鼓勵學生自己去尋找學習中的反例，以此來活躍學生的思維，激發學生的主觀能動性，讓學生承認課堂的主人.例如，在學習方程的概念后，學生在自己舉例時難免會給出一些形如“8+3x”，“18-6=12”的反例，教師可以展示學生成果，讓學生進行自主辨析，自主糾錯，以此深化對概念的理解，調動學生參與課堂的積極性.

再次，教師要根據具體內容給出一些反例，讓學生進行改錯練習，有效避免學生在學習過程中出現類似的錯誤.例如，在教學中教師可以給出一些假命題，讓學生通過尋找反例加以說明，以此消除在學習中可能產生的錯誤認識.如對于“互補的角是鄰補角”這一假命題，可以利用正方形或同旁內角等反例加以解釋.

總之，在反例教學中教師要認真研究教材，認真研究學生，認真引導學生進行正例、反例對比，讓學生知道錯在哪里，產生錯誤的原因，規避錯誤的方法，以此幫助學生積累經驗，建構良好的知識體系，提升教學品質.

參考文獻：

［1］ 張海燕.巧用反例益處多——探討初中數學教學中反例的有效運用［J］.中國教師，2020（S1）：119.

［2］ 萬亮兵.反例在初中數學教學中的有效性探討［J］.數學學習與研究，2022（6）：143-145.

［3］ 李如俞.探析反例在初中數學教學中的應用［J］.學周刊，2022（26）：61-63.