三角恒等變換知識的“一線串通”及其教學論意義*

徐章韜

摘 要：遵循“尋找線索工具—確定基本出發點—把基本出發點用到極致—‘更上一層樓”這樣的技術路線，用微積分工具將三角恒等變換知識“一線串通”。從數學教學論的角度來看，“一線串通”是一種減負增效的有效主張。

關鍵詞：教育數學；三角恒等變換；微積分；一線串通；減負增效

*本文系教育部人文社會科學研究2022年度規劃基金課題“‘雙減政策落地的教師教學知識研究”（編號：22YJA880068）、華中師范大學教學研究項目“‘強師計劃下數學教學論課程體系的重構與實踐”（編號：202265）的階段性研究成果。

三角函數又稱圓函數，是圓的性質的解析表達，也是描述周期性現象的有力模型。曾有很多有價值的三角函數內容進入高中數學教材，后又被刪除了一些。從基本與派生的關系來看，刪除一些內容是有道理的。如三角恒等變換中的積化和差、和差化積公式，就是一些派生內容，刪除了也不傷根本。但是，從另一個角度看，這些內容畢竟在歷史上起到過重要作用，其中也包含豐富的思想因素。如果能挖掘出一條思想性較強的線索，把碎片化知識點串聯起來，形成聯系豐富的知識網絡，那么具體的知識將增值，課內課外的界限將變得模糊，從而學生的學習也會變得更加自然、深入、有意義。下面，筆者嘗試尋找適當的線索將三角恒等變換的知識串聯起來，并進一步闡發“一線串通”的數學教學論意義。

一、 三角恒等變換知識的“一線串通”

將數學知識“一線串通”可遵循一定的技術路線。

（一） 尋找線索工具

二、 “一線串通”的數學教學論意義

“一線串通”是教育數學的重要主張，筆者在本系列之前的文章中也不斷地強調過這一點，比如《矩陣與向量、數列的“一線串通”》一文，還有很多以“從……出發”“從……到……”為標題格式的文章。下面，從數學教學論的角度，結合現狀，進一步談一談“一線串通”的意義。

數學教學論講什么？或者說，數學教學論的課程體系究竟包括哪些內容？這個問題到現在還沒有得到很好的解決。數學教學論要研究教學中的具體問題，但不能局限于一招一式，應該形成技法，形成理論。現在學界習慣談學科核心素養和學科關鍵能力的形成，這是應該的，但不能因此而否定知識教學的意義，因為知識是能力（素養）之基。沒有知識的多角度認識、深度理解及出色應用，而大談能力（素養），其實是割裂了知識和能力（素養）之間的辯證關系。基于知識論發展數學教學論，構建有數學學科特色的數學教學論課程體系，使得數學教學論走出一般教學論的空虛，是應該大力研究的一件事。

數學教學論首先要重塑數學教師的教育觀念。在聽師范生授課的過程中，能明顯地感受他們身上濃濃的應試“刷題”氣息，因為他們很多就是這樣過來的。改變這一教育觀念的做法是通過具體的例子，曉之以教學之道，引起他們的共鳴，使他們相信遵循教學之道，一定會“減負增效”。

數學教學論還要講究數學學科的特點。一般教學論或大教學論，視野宏大，給人以方法上的啟發，但數學教學論要解決數學教學中十分具體的問題，要解決數學課程如何與學生的發展相遇，數學教學如何與學生的經驗、心理相遇等問題。這里不唯有理念上、方法上的導向問題，還有一些技術上、操作上的實施問題，需要多方面解讀數學學科、數學知識，讀出數學學科、數學知識的多維屬性，然后結合具體的學情作出適宜的選擇。

在數學教學中，“一線串通”是一種減負增效的有效主張，并給出了一些處方式的方法：深度分析及適度拓展教材知識，理清知識之間的邏輯關系，從而“精中求簡”（項武義語），把統攝的核心內容和基本的出發點吃透，一以貫之，打通知識之間的內在關聯，使之主從關系分明、彼此相互支持，進而不斷重復重點，循著脈絡而學，把行為主義學習理論的精髓用到極致，理解學習即復習的要義，這樣就能教得輕松、學得容易。相對地，一味地刪減教材內容，看似可以“減負”，實則容易割裂知識之間的內在關聯，結果反而因學不透徹而學得辛苦。