如何構造全等三角形證明線段相等

孔佩佩

在平面幾何中，證明兩條線段相等是一種常見的問題，其證明方法非常多，其中利用全等三角形對應邊相等是證明線段相等的主要方法.但有些題目所給的圖中沒有現成的全等三角形，這就需要通過添加輔助線去構造全等三角形，再利用全等三角形的性質，找到解題的突破口.

一、通過旋轉構造全等三角形

旋轉前后，圖形中的對應角的大小、線段的長短、面積的大小均不變.當三角形或正方形繞著圖形的某個頂點順時針（或逆時針）旋轉一定角度以后，旋轉前后的圖形是全等的，其對應邊及對應角是相等的.此外，旋轉不同的角度（比如30°、45°、60°、90°等）還可以構造出新的圖形（比如等邊三角形、直角三角形等）、得到新的位置關系（垂直或平行），然后依據旋轉后構造的條件即可順利解題.

例 1 如圖 1，四邊形 ABCD 為正方形，DE//AC，AE=AC，AE 與 CD 相交與 F .求證：CE=CF.

分析：此題 ABCD 是正方形，具有對稱性，可以利用旋轉圖形來構造全等三角形.將△ADC 旋轉至 △ABG 處，可得到 △ADC≌△ABG. 然后再通過計算角度 ∠ABG 和 ∠ABD，證得 B、D、G 三點共線.然后再利用 BD 是對角線，具有對稱性，求得 △ABG≌△CBG. 從而證得 △ADC≌ △ABG≌△CBG， 進而證明三角形 ACG 為等邊三角形.再計算出相關角的大小，得出 ∠AEC= ∠EFC=75° 最 后 證 明CE=CF.

解：把 △ADE 繞點 A 順時針旋轉90°得到 △ABG， 連接 CG， 如圖1-1.

∵旋轉前后的兩個三角形全等，

∴ ∠ABG=∠ADE=90°+45°=135°

又∵ BD 是正方形 ABCD 的對角線，

∴ ∠ABD=45°，

∴ ∠ABG+∠ABD=135°+45°=180°，B、G、D 共線，

∴ DG 是 ∠AGC 的角平分線，

∴ △AGB≌△CGB.

∴ AG=CG

又∵ △ADE≌△ABG，∴AG=AE，

又∵ AE=AC，∴AE=AG=AC=GC，

∴ △AGC 為等邊三角形，

∴ ∠AGB=30°，

∴ ∠DAE=∠BAG=∠ABD-∠AGB=45°-30°=15°，

∴ ∠EAC=∠DAC-∠DAE=45°-15°=30°，

又∵ AE=AC，

∴ ∠AEC=（180°-30°）÷2=75°，

又∵ ∠EFC=∠DFA=45°+30°=75°，

∴ ∠AEC=∠EFC，

∴ △CEF 為等腰三角形，

∴ CE=CF .

評注：此題圖形比較簡單，但等量線段、全等三角形較少，直接解答比較困難，可考慮旋轉三角形來構造全等三角形，創造等量關系.將 △ADE 旋轉到 △ABG 后，利用正方形的對稱性證明 G、B、H、D 四點共線，然后利用等量關系證明 △AGC 為等邊三角形，進而證明 △CEF 為等腰三角形，完成證明.

二、通過補形構造全等三角形

許多幾何問題常因圖形復雜、不規則而給解題帶來困難，這時可以考慮利用補形的方法構造特殊圖形，通過證明三角形全等來求解.具體的步驟如下：第一，作垂線或平行線，構造正方形、長方形或特殊三角形；第二，找等量關系，從補形后的整體圖形中找全等三角形確定邊角的等量關系，或找相似三角形得到比例關系；第三，通過計算得到新的等量關系證明線段相等.

例2 設 P 是正方形 ABCD 一邊 BC 上的任意一點， PF⊥AP，CF 平分 ∠DCE. 求證：PA=PF.

分析：題中 CF 與 PF 構成的圖形不完整，可以將其補全，經過分析發現補全后的圖形是正方形，可以得到很多相等的線段，并求出一些角的度數.但題中的點 P 是一個不確定的點，直接求解較難.不妨將圖形問題轉化為“數與式”的問題來解.設 |AB|=a，|BP|=b，|CE|=c， 然后通過 Rt△ABP∽Rt△PEF 來求解出 a 、 b 、 c 之間的關系.最后再分析出 PA與 PF 之間的關系.

評注：本題通過補全圖形的方法將不規則的圖形放入兩個正方形中，由于 P 點為任意一點，構造 △ABP∽△PEF， 得到 BP 與 EF的比例關系.再結合 CF 是對角線，將 △ABP∽△PEF 轉化為 △ABP≌△PEF， 從而證明結論.

證明線段相等的方法多種多樣，構造全等三角形的方法靈活多變，同學們在解題時要努力挖掘題設特征，巧妙合理地構造全等三角形，這樣才能使方法簡便.