列二元一次方程組解答實際問題的方法

胡媛

二元一次方程組是刻畫現實世界的數學模型，與現實世界有著十分密切的關系.用二元一次方程組解答實際問題的一般方法是根據具體問題中的數量關系列出二元一次方程組，求解并檢驗所得結果是否符合實際意義.這對同學們分析問題和解決問題的能力有較高的要求.對此，筆者總結了列二元一次方程組解應用題的基本思路和步驟，并結合具體的例題展開分析，希望對同學們掌握這一方法有所幫助.

一、列二元一次方程組解答實際問題的基本思想和步驟

列方程解實際問題，是把“實際問題”抽象為“數學問題”，把“未知”轉化為“已知”的思想方法的應用.它的關鍵是把已知量和未知量聯系起來，找出題目中的等量關系建立方程組求解．

一般說來，有幾個未知量就列出幾個方程，所列方程必須滿足：

（1）方程兩邊表示的是同類量；

（2）同類量的單位要統一；

（3）方程兩邊所表示的數量關系要相等．

列二元一次方程組解答實際問題，關鍵在于找出問題中的等量關系列方程組，求出方程組的解后，要注意檢驗解是否符合實際意義.這個過程可以表述如下：實際問題

在這個過程中，分析和抽象的步驟是正確列出方程組的關鍵，它通常包含以下三步：

（1）借助示意圖、表格等弄清題意和其中的數量關系，用字母表示適當的未知數；

（2）找出能表示問題含義的等量關系；

（3）對等量關系中涉及的量，列出需要的式子，進而列出方程組．

二、二元一次方程組在解答實際問題中的具體應用

1.列二元一次方程組解答產品配套問題

生活中的配套問題很多，如課桌和板凳、電扇葉片和電機的配套等.各種配套問題都有一定的數量比例.列二元一次方程組解答產品配套問題時，關鍵就要弄清配套產品中哪種數量多，哪種數量少，以及它們是幾比幾的配套比例關系.只有這樣才能把已知量和未知量聯系起來，正確找出題設中的等量關系，列出方程組.

例1 某工廠加工螺栓、螺帽，已知每1塊金屬原料可以加工成3個螺栓或4個螺帽（說明：每塊金屬原料無法同時既加工螺栓又加工螺帽），已知1個螺栓和2個螺帽組成一個列二元一次方程組解答實際問題的方法零件，為了加工更多的零件，要求螺栓和螺帽恰好配套．若把26塊相同的金屬原料全部加工完，問加工的螺栓和螺帽是否恰好配套？若恰好配套，請求出加工螺栓和螺帽各需要的金屬原料塊數，若不是恰好配套，請說明理由．

分析：設把 x 塊金屬原料加工成螺栓， y塊金屬原料加工成螺帽正好配套，根據共26塊相同的金屬原料且加工的螺帽數量是螺栓的2倍，即可得出關于 x，y 的二元一次方程組，解之即可得出 x，y 的值.結合 x，y 為整數可得出加工的螺栓和螺帽不是恰好配套．

解：設把 x 塊金屬原料加工成螺栓， y 塊金屬原料加工成螺帽正好配套，依題意，得：

∵ x，y 應均為整數，

∴加工的螺栓和螺帽不是恰好配套．

2.列二元一次方程組解答年齡問題

年齡問題往往是和差問題、倍數問題的綜合應用.解答此類問題首先要明確兩個人年齡的增長數相等，不管時間發生怎樣的變化，每人的年齡都在增長，但是他們之間的年齡差始終不變. 因此，同學們在解題時一定要把握年齡差不變這個解題關鍵點來建立等量關系.

例2 聰聰在給媽媽過生日時發現自己的年齡與媽媽的年齡的十位數字與個位數字正好相反，他同時還發現，過10年，媽媽歲數減1（歲）剛好是自己歲數加1（歲）的2倍；再過1年，他們兩人的年齡又一次相反，且十位數字與個位數字的和為7，你能知道聰聰和他媽媽現在的年齡嗎？

（1）設未知數，用代數式表示聰聰和他媽媽的年齡；

（2）列方程解答．

分析：（1）設聰聰的年齡為（10x+y）歲，由聰聰的年齡與媽媽的年齡的十位數字與個位數字正好相反，可得出媽媽的年齡；（2）根據“過10年，媽媽歲數減1（歲）剛好是自己歲數加1（歲）的2倍；再過1年，他們兩人的年齡又一次相反，且十位數字與個位數字的和為7”，即可得出關于 x，y 的二元一次方程組，解之即可得出結論．

解：（1）設聰聰的年齡為（10x+y）歲，則媽媽的年齡為（10y+x）歲．

（2）根據題意得：

答：聰聰今年14歲，媽媽今年41歲．

3.列二元一次方程組解答行程問題

行程問題主要包括相遇問題與追及問題.在相遇問題中，兩人所走的路程和等于兩地距離；在追及問題中，快的路程加上慢的路程等于兩地距離.這些是列方程時常用的等量關系.在列代數式時常用以下數量關系：時間×速度=路程，時間=路程÷速度，速度=路程÷時間，順水速=靜水速+水流速，逆水速=靜水速－水流速等.

例3 甲乙兩地相距240千米，一輛小車和一輛摩托車分別從甲、乙兩地同時出發相向而行，1小時20分兩車相遇．相遇后，摩托車繼續前進，小車在相遇處停留1個小時后調頭按原速返回甲地，小車在返回后半個小時追上了摩托車．

（1）求小車和摩托車的速度；

（2）求相遇后，摩托車繼續行駛多少小時兩車相距30千米？

分析：（1）小車的速度為 x 千米/時，摩托車的速度為 y 千米/時，利用路程＝速度×時間，結合兩車速度間的關系，可得出關于 x，y的二元一次方程組，解之即可得出小車和摩托車的速度；（2）設相遇后，摩托車繼續行駛m 小時兩車相距30千米，利用路程＝速度×時間，結合兩車相距30千米，可得出關于 m的一元一次方程，解之即可得出結論．

設小車的速度為 x 千米/時，摩托車的速度為 y 千米/時，

三、列二元一次方程組需注意的幾點

1.不能用同一個等量關系列兩個方程聯立成方程組，這樣在解方程組時會出現0=0的情況，求不出未知數的值.

2.對于涉及的數量關系較復雜，一時難以找到等量關系的問題，可借助列表或畫圖的方法，把題中的數量和等量關系挖掘出來.若是新型題，還要結合生活實際，以找到解題的突破口.

3.對于求得的方程組的解，必須檢驗它是否符合實際意義或題意.