力學(xué)等時圓模型

張萍萍

1.模型特征

（1）質(zhì)點從豎直圓環(huán)上沿不同的光滑弦由靜止開始滑到環(huán)的最低點所用時間相等，如圖1所示。

（2）質(zhì)點從豎直圓環(huán)上最高點沿不同的光滑弦由靜止開始滑到下端所用時間相等，如圖2所示。

（3）兩個豎直圓環(huán)相切且兩環(huán)的豎直直徑均過切點，質(zhì)點沿不同的光滑弦由上端靜止開始滑到下端所用時間相等，如圖3所示。

2.結(jié)論證明

如圖2所示，設(shè)某一條光滑弦與水平方向的夾角為 θ，圓的直徑為d。質(zhì)點沿光滑弦做初速度為零的勻加速直線運動，加速度a=gsin θ，位移x=dsin θ，則運動時間 （與 θ無關(guān)）。

【問題情境】（2021屆湖北荊州模擬）（多選）如圖所示，Oa、Ob和ad是豎直平面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，O、a、b、c、d位于同一圓周上，c為圓周的最高點，a為最低點，O'為圓心。每根桿上都套著一個小滑環(huán)（未畫出），兩個滑環(huán)從O點無初速度釋放，一個滑環(huán)從d點無初速度釋放，用t1、t2、t3分別表示滑環(huán)沿Oa、Ob、da到達(dá)a、b所用的時間。下列關(guān)系正確的是（）。

A.t1=t2B.t2>t3

C.t1

【思維提示】 等時圓模型求解方法

【答案】BCD

【解析】設(shè)想還有一根光滑固定細(xì)桿ca，則ca、Oa、da三細(xì)桿交于圓的最低點a，三桿頂點均在圓周上，根據(jù)等時圓模型可知，由c、O、d無初速度釋放的小滑環(huán)到達(dá)a點的時間相等，即tca=t1=t3；而比較由c→a和由O→b滑動的小滑環(huán)，滑行位移大小相同，初速度均為零，但加速度aca>aOb，由 可知，t2>tca，故A項錯誤，B、C、D三項正確。

【變式訓(xùn)練】（改編）如圖所示，有一半圓，其直徑水平且與另一圓的底部相切于O點，O點恰好是下半圓的圓心，它們處在同一豎直平面內(nèi)。現(xiàn)有三條光滑軌道AOB、COD、EOF，它們的兩端分別位于上、下兩圓的圓周上，軌道與豎直直徑的夾角關(guān)系為α>β>θ。現(xiàn)讓一小物塊先后從三條軌道頂端由靜止下滑至底端，則小物塊在每一條傾斜軌道上滑動時所經(jīng)歷的時間關(guān)系為（）。

A.tAB=tCD=tEFB.tAB>tCD>tEF

C.tAB

【答案】B

【解析】根據(jù)等時圓特點可知，小物塊沿三條軌道到O點用時相同，但沿AOB下滑的小物塊到O點時速度最小，且加速度最小，而經(jīng)過O點后的位移大小相同，故物塊沿AOB下滑用時最長，B項正確。