基于比較融合的“實變函數”教學探究

鄭前前 楊文杰

摘?要：“實變函數”是數學與應用數學專業的核心課程，本文主要運用比較融合的多層次探究理論，綜合“實變函數”的課程特點，針對課程理論知識晦澀、內容體系與數學分析相關度高及應用程度低等問題，提出了教學實施方案。方案采用多種課堂對比的形式，通過聯想對比的方式加深學生對知識點的理解，培養學生分析、評價及質疑的能力，從而達到培養創新人才的目的。

關鍵詞：實變函數；對等；比較融合

1?概述

“實變函數”是數學與應用數學專業核心課程［1］，由于其難學難教的課程特點，導致很少以“實變函數”課程作為教學改革對象進行研究。課題式教學可以有效地解決課程的完整性與課時數不足之間的矛盾［2］，但學生同樣面臨著很難理解一些抽象的概念?！皩嵶兒瘮怠笔恰皵祵W分析”的延續、深化與推廣［3］，所以在教學過程中要結合“數學分析”厘清“實變函數”的主要脈絡，把握其主要思想方法，進而達到培養學生抽象思維的課程目的。線上線下相結合、傳統講授式和討論式相融合、比較法、舉例法是目前探索“實變函數”講授方式的幾種方法［4］。實變函數理論在概率論中也有比較重要的應用，利用勒貝格積分解決一些實際概率問題，可以激發學生的學習興趣［5］。同時根據各個知識點的特點，將數學思想、數學應用和數學之美等展現給學生，有助于提高學生的數學素養［6］，這是目前比較容易實現的一種途徑。如結合“實變函數”的歷史發展過程，將測度概念的形成、演變歷程融入教學過程中，構建測度概念的探究式教學設計［7］，以及通過舉例探討集合表示法和集合分析法在“實變函數”相關內容教學中的具體應用［8］。總之，“實變函數”的教學方法探究還需進一步深化和延伸。

根據筆者近幾年的教學經驗及調查發現，學生在初次接觸“實變函數”課程時，超過90%的學生認為證明題太多，過于抽象，難度很大。因此，“實變函數”課堂教學面臨的一個非常大的困難和挑戰是如何在抽象理論知識講授的課堂中提高學生的興趣和專注力?；谀壳按嬖诘膯栴}，本文通過實際教學案例進行說明基于比較融合的“實變函數”教學探究過程。為進一步實現比較融合的多層次探究理論，本文綜合“實變函數”的課程特點，針對課程理論知識晦澀、內容體系與數學分析相關度高及應用程度低等問題，提出了教學實施方案。方案采用多種課堂對比的形式，通過聯想對比的方式加深學生對知識點的理解，從實際問題出發，總結出生活中的數學問題，在解決數學問題的同時，可以巧妙地使用實例進行簡單說明，為實際問題的解決提供了理論基礎。

2?基于比較融合的“實變函數”教學探究

“實變函數”是一門專業基礎課，旨在培養學生嚴格的科學思維能力，同時也是眾多學科領域的研究基礎，是學生接受科學研究的初步訓練。在應用數學專業學生培養中，其前置課程為“數學分析”，后置課程為“泛函分析”，可見“實變函數”在數學學習中的重要性及抽象性。這就要求學生具備一定的抽象思維能力，而對于大部分學生而言，他們更傾向于形象思維。基于比較融合的“實變函數”教學方法是以熟知的知識點或者場景為出發點，把抽象及難以理解的概念具體化。也就是在一個新的概念提出之后，根據現有的實例進行分析，如在可測集的學習過程中，在可測集的交、并、補、差及極限都對可測集進行了大量的證明，其過程比較復雜，理解也有一點的難度。但是我們在可測集中同樣可以提出集合的四則運算（交、并、補、差），基于書中的介紹，可測集四則運算及極限是封閉的。雖然學生對于可測集的四則運算都是可測集這樣的概念，理解上可能有點困難，但加上封閉這個概念之后，學生就可以迅速理解可測集的性質，這些方法在教學過程中得到了驗證。再如后續的勒貝格可測函數及勒貝格可積函數都可以推廣此種方法，因為在這些知識點中同樣涉及四則運算。當然，比較融合的“實變函數”教學方法不局限于新舊知識之間的對比，還有抽象概念與具體事物的對比，如對等的概念，在“實變函數”中是兩個集合之間存在著一一對應的關系，而在實際生活中所用的地圖其實也和現實中的地理環境存在著一一對應發熱關系，這樣才能定位準確。在一定意義上數學建模的過程就是建立實際問題與數學模型之間的對應關系，也可以看成是對等的關系。通過此種方法進行教學可以使學生從形象的具體事物中理解抽象的數學概念，不僅可以提高學生的應用能力，還可以進一步激發學生的學習樂趣，進而實現比較融合的教學目的。

為了解決抽象思維與形象思維的統一，本文以“實變函數”中“對等與基數”這節課為例對基于比較融合的“實變函數”教學方法進行探究?！皩Φ扰c基數”這節課是“實變函數”后續研究的基礎，是建立無限集合之間關系的橋梁。本節課在知識、技能方面需要進一步掌握映射、對等的相關概念及其應用，進而形成獨立學習能力和自我完善能力。基于這一目標，課程設計如下：

在回顧上一節集合元素多少的基礎上，提出目前集合中存在的問題：對于有限集合，兩個集合中元素的個數很容易得到，并可以進行比較大?。粚τ跓o限集合，由于無法算出元素的個數或者說每個無限集合都有無窮個元素，那么如何比較兩個無限集合元素的多少呢？這是本節需要解決的一個問題，對于這樣的一個問題，可以通過一個實例進行說明：細胞和地球都可以看成一個集合，那么這兩個集合中的元素就可以進行加以比較。如何比較呢？把細胞和地球都可以看成一個球體，進而看成一個圓，最后細胞和地球這兩個集合元素比較的問題就轉化為了兩個同心圓上元素比較的問題。在這個轉化的過程中，實際上就是數學建模的過程，使學生學以致用，引導學生利用知識解決實際問題，培養學生勇于探索、大膽應用的科學精神，增強學生的團結協作意識。這個轉化過程也進一步減弱了“實變函數”的枯燥程度，增強了學生學習的好奇心，更進一步激發了學生的學習樂趣。

3?基于比較融合的“實變函數”教學實例展示

在課程引入之后，本設計首先給出映射的概念，以便后續定義對等的概念。

定義1?設A，B是兩個非空集合，若依照對應法則f，對x∈A，均存在B中唯一的y與之對應，則稱f為A到B內的一個映射，記作f：A→B，其中A為f的定義域。對EA，則稱f（E）=f（x）：x∈E為E在f下的像集；對FB，則稱f－1（F）=x：f（x）∈F為F在關于f下的原像。

定義2?設f：A→B，則稱f為

單射：x，y∈A，若f（x）=f（y），則x=y。

漫射：y∈B，存在x∈A，使得f（x）=y。

既是單射又是滿射的映射稱為一一映射（雙射）。

定義3?設f為A到B內的一個一一映射，則對y∈B，存在唯一的x∈A，使得y=f（x），稱σ（x）=y，σ：B→A為f的逆映射，記作σ=f－1：B→A。

定義4?設f：A→B，g：B→C，稱ρ（x）=g（f（x））定義的映射ρ：A→C為復合映射σ（x）=y，記作ρ=g°f：A→C。

那么如何快速理解映射的概念呢，本文以弓箭射靶為例。首先假設每一次射箭都會射中箭靶，而且任意兩支箭都不會射到同一位置；然后假設有一壺弓箭A，同樣把所有的箭靶看成B，接著把所有的弓箭射完；最后觀察弓箭和箭靶情況。如果每一個箭靶上最多只有一支弓箭，則稱為單射；如果每一個箭靶上均有弓箭，此時為滿射；如果每一個箭靶上有且僅有一支弓箭，則稱為一一映射。另外，弓箭為原像，有弓箭的箭靶為像。對于逆映射的理解，就相當于每個箭靶上當且僅當只有一支弓箭的時候，拔掉弓箭的過程可以認為是一個逆映射。換句話說就是拔掉弓箭是射箭的一個逆過程。而復合映射則可以理解為一支弓箭穿過一層箭靶到達了另外一個箭靶之上。本文以實際生活中的案例與映射的相關概念進行對比，可以讓學生身臨其境地理解相關數學概念，在其他“實變函數”章節教學過程中同樣可以應用這樣對比的方法進行教學。

在理解映射的基礎上給出對等的定義：

定義5?設A，B是兩個非空集合，若在f為A到B內的一個一一映射，則稱A與B對等，記作A～B。同時稱與A對等的集合為與A有相等的基數，記作A=。

注：對于有限集合而言，對等的概念很好理解，兩個集合之間存在著一個一一映射，那么這個映射關系完全可以按照順序進行一一配對，進而建立符合要求的映射關系。同時兩個集合具有相等的基數，也就是兩個集合中的元素個數相等。對于兩個無限集合而言，對等關系的建立就要嚴格按照定義進行。在本文中，兩個無限集合存在著一一映射的關系，在廣義上就可以理解為兩個集合具有相同的元素個數，但是這個集合的具體元素個數無法確定，如所知的可數集和不可數集。

按照定義5可以得到對等的以下性質：

（1）反身性A～A；（2）對稱性A～BB～A；（3）傳遞性A～B，B～CA～C。

注：反身性可以理解為任何集合A都存在一個恒等映射使得集合A到集合A的映射滿足一一映射的關系，所以集合A與集合A是對等的且有相等的基數；對于對稱性，A～B意味著集合A與集合B之間存在著一一映射的關系f且A==B=（弓箭數量和箭靶數量一樣多，每個箭靶上當且僅有一支弓箭），而一一映射f的逆映射f－1也是一一映射（箭靶數量和弓箭數量一樣多，每個箭靶當且僅當對應一支弓箭），所以B～A且B==A=；而對等的傳遞性則可以應用復合映射進行解釋，A～B，B～C意味著存在一一映射f：A～B和g：B～C，并滿足A==B==C=，而復合映射f°g：A～C也是一一映射，即有A～C（這里可以假設是雙重箭靶，一支弓箭穿過一層箭靶到達了另外一層箭靶之上，此時第一層箭靶可以認為是中間過程，可忽略不計，即h=f°g是一支弓箭直達一個箭靶的映射）。

那么是否還有其他方法可以判斷兩個集合的對等關系，本文在這里給出伯恩斯坦定理：

定理1?設A，B是兩個非空集合，如果A對等于B的一個子集，同時B又對等于A的一個子集，那么A～B。

注：這個定理主要應用于無限集合的證明；在大部分“實變函數”教程中，對于伯恩斯坦定理的證明都使用了構造性證明，眾所周知構造性證明是一種很高級的證明方法，同時依賴于經驗的積累，對于初學者而言具有很大的困難。實際上，從定理的描述中可以發現A對等于B的一個子集可以理解為A=SymbolcB@

B=，同時B又對等于A的一個子集，則有A=B=，最后可以推出A==B=，A==B=意味著兩個集合的元素相等，即有弓箭和箭靶的數量相等，可以建立一一映射的關系，故而存在對等的關系。

在給出了以上概念的基礎上，考慮以下幾個例子：

例1?比較大小，比較集合A=（0，1），B=（0，1］，C=［0，1］及實數集R=

）的基數大小關系。

解：因為AB，易知A=SymbolcB@

B=，同時存在一個一一映射f=1+x3使得B=（0，1］對等于（13，23］，而（13，23］A，所以A=B=，即有A==B=；同理BCB=SymbolcB@

C=存在一一映射f=1+x3使得C與［13，23］A對等，進而得到B與C對等，即B==C=?？偨Y可得A==B==C=。最后比較A與R基數的大小，此時可以找到一個一一映射函數g=tan（12－x）π，使得A與R對等，即A==R=，綜上可得A==B==C==R=。

注：對于對等概念的學習，不可僅憑經驗進行臆斷，需要嚴格按照一一映射及伯恩斯坦定理的概念進行。此例在中學階段已是常見的集合比較問題，再次列出主要出于知識框架的比較，隨著知識的學習，常見的實例也會出現新的問題，這也是常學常新的一個例子。

例2?同心圓問題

現在回到問題的初始點，同心圓問題，大圓和小圓可以建立一個一一映射關系f：（Rsin（θ），Rcos（θ））→（rsin（θ），rcos（θ）），即對于大圓上存在的任意一點（Rsin（θ），Rcos（θ））總是當且僅當對應小圓上的一點（rsin（θ），rcos（θ）），故而大圓和小圓對等，有相同的基數，進一步可以推廣到大球和小球的問題，最后歸結到細胞和地球的問題，到此也就解決了細胞和地球的問題。當然這樣的對等關系也可以推廣到其他的應用方面，如空間的維度、地圖的繪制等。

注：從實際問題出發到提出數學問題，進而解決數學問題，最終又回歸到實際問題的解決。這也是一種實際問題和理論問題不同維度的碰撞和比較，總的方向是理論的推動和問題的解決。

4?總結

如何將理論比較及線上線下教學法融入“實變函數”課堂教學中，實現“實變函數”與工程各專業的融合，強化“實變函數”為專業服務的工具性作用，這是一個很關鍵的問題。由于專業背景的不同，了解不同專業的知識，需要一個積累的過程，也需要任課教師具有一定的學習能力，同時能夠把專業知識、網路資源、實際案例融入“實變函數”的教學過程中。另外，實變函數知識點比較零散，概念比較多，很難形成一個完整的知識體系，導致學生學習比較困難，這就需要進一步完善現有的知識體系框架，將不同知識的共同點抽象出來，進而連成一條線，形成固定的知識面。當然，在這個知識面形成過程中需要不同的實際案例進行支撐，進而實現“實變函數”的具體化。

為進一步實現比較融合的多層次探究理論，綜合“實變函數”的課程特點，針對課程理論知識晦澀、內容體系與數學分析相關度高及應用程度低等問題，提出了教學實施方案。方案采用多種課堂對比的形式，通過聯想對比的方式加深學生對知識點的理解；從實際問題出發，總結出生活中的數學問題，在解決數學問題的同時，可以巧妙地使用實例進行簡單說明，為實際問題的解決提供了理論基礎，從而達到培養具有分析、評價及質疑的能力的創新人才的目的。

參考文獻：

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基金項目：河南省高?？萍紕撔氯瞬胖С钟媱潱?2HA?STIT018）；許昌學院教研項目（XCU2023YB48，XCU2022YB20，XCU2022KCSZ042）

作者簡介：鄭前前（1988—?），男，漢族，河南周口人，博士，博士后，研究方向：非線性動力學及控制，線性代數、實變函數與泛函分析教學教法研究；楊文杰（1984—?），女，漢族，河南許昌人，博士，研究方向：力學與一般力學、高等數學教學教法研究。