圖上非線性波動(dòng)方程解的爆破

劉璐璐 韓柳 呂家鑫 王浩東 張雪麗

摘?要：圖作為一種離散結(jié)構(gòu)，可以通過一些有意義的連接來表示離散對(duì)象的相互關(guān)系，因此，在實(shí)際應(yīng)用中可以將理論模型離散化，是數(shù)學(xué)、生物學(xué)、社會(huì)學(xué)等領(lǐng)域運(yùn)用數(shù)值模擬解決實(shí)際問題的重要工具。圖上的偏微分方程可應(yīng)用于圖像分割、動(dòng)力系統(tǒng)等領(lǐng)域，是人們所關(guān)注的熱點(diǎn)話題。而圖上偏微分方程解的存在性、唯一性和漸近行為等一些性質(zhì)已經(jīng)受到眾多學(xué)者的關(guān)注，并得到了大量的研究成果。本文在相關(guān)學(xué)者研究的基礎(chǔ)上用能量方法證明了圖上非線性波動(dòng)方程解的爆破現(xiàn)象，并得出解的爆破時(shí)間的上界估計(jì)。

關(guān)鍵詞：圖上；非線性；波動(dòng)方程；爆破

中圖分類號(hào)：O175??文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Abstract：As?a?discrete?structure，the?graph?can?represent?the?interrelationship?of?discrete?objects?through?some?meaningful?connections，so?the?theoretical?model?can?be?discretized?in?practical?applications，and?it?is?an?important?tool?for?using?numerical?simulation?to?solve?practical?problems?in?mathematics，biology，sociology?and?other?fields.The?partial?differential?equations?on?the?graph?can?be?applied?to?image?segmentation，dynamical?systems?and?other?fields，and?are?a?hot?topic?of?concern.Some?properties?such?as?the?existence，uniqueness?and?asymptotic?behavior?of?partial?differential?equation?solutions?on?graphs?have?attracted?the?attention?of?many?scholars?and?obtained?a?large?number?of?research?results.In?this?paper，based?on?the?research?of?relevant?scholars，the?explosion?phenomenon?of?the?solution?of?the?nonlinear?wave?equation?on?the?graph?is?proved?by?energy?method，and?the?upper?bound?estimate?of?the?burst?time?of?the?solution?is?obtained.

Keywords：On?the?graph；Nonlinear；Wave?equation；Blowup

1?概述

偏微分方程最早在18世紀(jì)研究微積分對(duì)弦振動(dòng)的相關(guān)力學(xué)問題當(dāng)中提出，經(jīng)過多年的研究，偏微分方程在理論和研究方面都取得了豐碩的成果。在最初的發(fā)展過程中，偏微分方程在經(jīng)典意義下的解需具備該方程的各階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，這在物理應(yīng)用中有許多局限，所以Schwartz建立了廣義函數(shù)論上的偏微分方程理論，在此基礎(chǔ)上推動(dòng)偏微分方程的快速發(fā)展。在20世紀(jì)60年代，偏微分方程理論在其他數(shù)學(xué)分支中得到了推廣和使用，并形成了以偏微分方程理論為基礎(chǔ)的泛函分析等近代理論。圖是作為了解離散型對(duì)象的重要工具，它在數(shù)學(xué)、生物學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域具有重要的作用；著名的哥尼斯堡七橋問題、四色定理問題當(dāng)中都包含了圖論的相關(guān)內(nèi)容。在現(xiàn)實(shí)生活中，各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域都以圖為橋梁，將理論問題離散化，進(jìn)而進(jìn)行數(shù)值模擬解決實(shí)際問題，因此，圖上的偏微分方程問題的研究也稱為一個(gè)熱點(diǎn)話題。

圖上的偏微分方程可應(yīng)用于圖像分割、動(dòng)力系統(tǒng)等領(lǐng)域，是人們所關(guān)注的熱點(diǎn)話題，圖上的偏微分方程解的存在性、唯一性等一些性質(zhì)也逐漸引起眾多學(xué)者的重視。2005年，Chung?S?Y、Berenstein?C?A［1］在圖上函數(shù)的基礎(chǔ)上引入了積分、方向?qū)?shù)、梯度等基本概念，并定義離散型拉普拉斯算子，從而討論了ω－Laplacian方程解的性質(zhì)及其反問題。2007年，Chung?S?Y、Chung?Y?S［2］又研究了圖上的熱傳導(dǎo)方程和波動(dòng)方程，并利用ω－擴(kuò)散核得出方程初邊值問題解的性質(zhì)。2008年，Elmoataz?A、Lezoray?O和Bougleux?S［3］從圖上的能量泛函的極小化出發(fā)，引入了圖上的ω－Laplacian算子并將其應(yīng)用于圖像去噪問題。Wojciechowski?R?K［4］研究了無限局部有限連通圖上熱核的隨機(jī)完備性。Chung?Y?S、Lee?Y?S、Chung?S?Y［5］證明了圖上半線性熱方程解在初值為非負(fù)且邊界值消失的情況下方程非平凡解的大時(shí)間行為，并給出方程的物理解釋。王坤、辛巧［6］研究了圖上的p-Laplacian算子Cauchy問題解的性質(zhì)，給出了一個(gè)圖上的p－Laplacian方程的解析解論證了理論上的結(jié)果；并對(duì)另一個(gè)圖上的p－Laplacian方程進(jìn)行數(shù)值模擬驗(yàn)證理論結(jié)果。王坤、辛巧在文獻(xiàn)［7］中討論了圖上帶有可變指數(shù)吸收項(xiàng)的熱方程解的性質(zhì)，并得到了變指數(shù)q（x）<1時(shí)，方程解在有限時(shí)間熄滅，變指數(shù)q（x0）1時(shí)方程解有嚴(yán)格正性，其中x0是圖上的內(nèi)部頂點(diǎn)。辛巧、許璐、王安平［8］研究了無限圖上帶有吸收項(xiàng)的熱方程解的性質(zhì)，利用能量方法和比較原理證明了帶吸收項(xiàng)的熱方程在q<1解熄滅，q1時(shí)保持嚴(yán)格正性；同時(shí)還討論了非平凡解的大時(shí)間行為。Xin?Q、Xu?L、Mu?C在文獻(xiàn)［9］中又討論了具有Dirichlet邊界條件和反應(yīng)項(xiàng)的圖上ω?zé)岱匠痰谋片F(xiàn)象。國內(nèi)外其他學(xué)者也對(duì)圖上偏微分方程解的漸近行為有多方面的研究，具體可參考文獻(xiàn)［1013］。

綜上所述，圖上的偏微分方程受到國內(nèi)外許多學(xué)者的關(guān)注，并得出理論成果，而偏微分方程中非線性波動(dòng)方程解的爆破行為以及爆破時(shí)間也是人們所感興趣的話題，Glassey?R?T在文獻(xiàn)［14］中討論了非線性函數(shù)f（u）在足夠光滑的條件下波動(dòng)方程解的爆破現(xiàn)象，并建立一個(gè)特征函數(shù)得出爆破時(shí)間的上界估計(jì)。

本文在文獻(xiàn)［14］的基礎(chǔ)上討論圖上的非線性波動(dòng)方程解的爆破行為，

utt（x，t）－Δωu（x，t）=f（u）（x，t）∈S×［0，T）

u（x，t）=0（x，t）∈S×［0，T）

u（x，0）=u0（x），ut（x，0）=u1（x）x∈S（1）

并得出解的爆破時(shí)間的上界估計(jì)。

本文將引用文獻(xiàn)［1］中圖上微積分的符號(hào)，設(shè)G是有限、簡單的連通圖，V表示圖G的頂點(diǎn)集，它是由頂點(diǎn)集的內(nèi)部S與頂點(diǎn)集的邊界S組成，即V=S∪S，E表示圖G的邊集。將圖上的積分定義為∫Vu（x）=∑x∈Vu（x），其中u（x）∈C（V），C（V）表示定義圖G的頂點(diǎn)集V上的全體函數(shù)；用Δω表示ω－Laplacian算子，Δωu（x，t）=∑y∈Vω（x，y）（u（y，t）－u（x，t）），其中ω表示圖G邊上的權(quán)重函數(shù)，即V×V→0，SymboleB@

，并滿足下面三個(gè)條件：

（1）對(duì)任意的x∈V，ω（x，x）=0；

（2）對(duì)任意的x，y∈V，若（x，y）∈E，則ω（x，y）=ω（y，x）>0；

（3）若（x，y）E，則ω（x，y）=0。

注：文獻(xiàn)［14］作者研究了連續(xù)型波動(dòng)方程解的爆破性質(zhì)，本文將文獻(xiàn)［14］的結(jié)果推廣到圖上的波動(dòng)方程，并得出方程解的爆破性質(zhì)以及爆破時(shí)間的上界估計(jì)。

2?波動(dòng)方程解的爆破

為了方便討論解的爆破現(xiàn)象，我們先引出下面三個(gè)引理。

引理1［15］設(shè)ψ（x）是一個(gè)特征函數(shù)，且ψ（x）=Δωψ（x）+μψ（x）=0，x∈S

ψ（x）=0，x∈S，函數(shù)具有N個(gè)非負(fù)的實(shí)特征根γi，其中每個(gè)特征根對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)表示為ψi（x）0，x∈S。

引理2［14］令u∈C2，λ，α，β為非負(fù)常數(shù)，則

（1）對(duì)任意的x∈S，u（x，0）α，ut（x，0）β，其中α=∫Sψ（x）u（x，0）dx，β=∫Sψ（x）ut（x，0）dx；

（2）設(shè)f（s）的下界是一個(gè)局部的Lipschitz函數(shù)，凸函數(shù)g（s）滿足g（s）－λs0，且sα；當(dāng)s→+SymboleB@

時(shí)，g（s）快速增長使得T0=∫SymboleB@

α［λα2+β2－λs2+2∫sαg（ξ）dξ］－12ds收斂。

引理3?設(shè)φ（t）∈C2，滿足φ″（t）h（φ（t）），（t0），且φ（0）=α>0，φ′（0）=β>0，對(duì)任意的sα有h（s）0，當(dāng)t∈0，T），則

（1）φ（t）存在，并且φ′（t）>0；

（2）tSymbolcB@

∫φ（t）αβ2+2∫sαh（ξ）dξ－12ds。

T為φ（t）的存在時(shí)間。

證明：假設(shè)（1）不成立，令t=t1為且φ′（t1）=0，通過微分不等式可得：

φ′（t）φ′（0）+∫t0h（φ（s））ds

使得0=φ′（t1）β+∫t10h（φ（s））ds。

從定義中的t1可得φ（s）α，其中0SymbolcB@

sSymbolcB@

t1。?這與引理3條件矛盾，故（1）得證。

為了能夠證明（2），利用（1）的結(jié)果并將不等式兩邊同乘以φ′（t）可得：

φ′（t）φ″（t）φ′（t）h（φ），

將上式變形可得ddt12φ′（t））2－∫φ（t）αh（ξ）dξ0。

因此，（φ′（t））2β2+2∫φ（t）αh（ξ）dξ。

又因?yàn)棣铡洌╰）>0，通過變量分離和積分可得（2）。

定理1?設(shè)u∈C2，當(dāng)（1）的初值條件足夠大時(shí)，方程在有限時(shí)間內(nèi)爆破，即sup0

=+SymboleB@

。

證明：將ψ（x）標(biāo)準(zhǔn)化，使得∫ψ（x）dx=1，令φ（t）=∫Sψ（x）u（x，t）dx，由格林公式可得：

φ″（t）=∫Sψu(yù)tt（x，t）dx=∫SψΔωudx+∫Sψf（u）dx。（2）

首先，先計(jì)算上述右式第二項(xiàng)∫Sψf（u）dx，由Jensen不等式可得：

∫Sψf（u）dx∫Sψg（u）dxg（∫Sψu(yù)dx）=g（φ）（3）

再對(duì)（2）右邊第一項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，可得：

∑x∈SΔωu（x，t）ψ（x）=∑x∈S∑y∈Vω（x，y）（u（y，t）－

u（x，t））ψ（x）

=∑x∈S∑y∈Sω（x，y）（u（y，t）－u（x，t））ψ（x）

+∑x∈S∑y∈Sω（x，y）（u（y，t）－u（x，t））ψ（x）

=∑x∈S∑y∈Sω（x，y）（u（y，t）－u（x，t））ψ（x）

－∑x∈S∑y∈Sω（x，y）u（x，t）ψ（x）

=12∑x∈S∑y∈Sω（x，y）（u（x，t）－u（y，t））ψ（y）+

12∑x∈S∑y∈Sω（x，y）（u（y，t）－u（x，t））ψ（x）－

∑x∈S∑y∈Sω（x，y）u（x，t）ψ（x）

=－12∑x∈S∑y∈Sω（x，y）（u（y，t）－u（x，t））（ψ（y）－

ψ（x））－∑x∈S∑y∈Sω（x，y）u（x，t）ψ（x）

=∑x∈S∑y∈Sω（x，y）u（x，t）（ψ（y）－ψ（x））－

∑x∈S∑y∈Sω（x，y）u（x，t）ψ（x）

=∑x∈S∑y∈Sω（x，y）u（x，t）（ψ（y）－ψ（x））+

∑x∈S∑y∈Sω（x，y）u（x，t）（ψ（y）－ψ（x））

=∑x∈S∑y∈Vω（x，y）u（x，t）（ψ（y）－ψ（x））

=∑x∈SΔωψ（x）u（x，t）

=－∑x∈Sμψ（x）u（x，t）

=－μφ（t）（4）

聯(lián)立（2）、（3）、（4）式可得

φ″－μφ+g（φ）

接下來，令h（φ）=－μφ+g（φ），利用引理3的（2）中可得

tSymbolcB@

∫φ（t）α［β2+2∫sαh（ξ）dξ］－12ds=∫φ（t）α［μα2－μs2+β2+2∫sαg（ξ）dξ］－12ds

φ（0）=α，α>0?φ′（0）=β，β>0從而φ（t）是有限時(shí)間t0SymbolcB@

T0的奇點(diǎn)，且

T0=∫SymboleB@

α［μα2+β2－μs2+2∫sαg（ξ）dξ］－12ds，

方程在有限時(shí)間內(nèi)TSymbolcB@

T0爆破。

最后，由φ（t）>0可知

φ（t）=φ（t）

=∫Sψ（x）u（x，t）dxSymbolcB@

supx∈Vu（x，t）∫Sψ（x）dx

=supx∈Vu（x，t）

所以，方程在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生爆破現(xiàn)象。

本文主要討論了圖上波動(dòng)方程解的爆破行為，并給得出解的爆破時(shí)間的上界估計(jì)。通過本文的問題還可進(jìn)一步討論波動(dòng)方程解的爆破時(shí)間的下界估計(jì)，以及解的具體表達(dá)式研究。

參考文獻(xiàn)：

［1］Chung?S?Y，Berenstein?C?A.ω－h(huán)armonic?functions?and?inverse?conductivity?problems?on?networks［J］.SIAM?J?Appl?Math，2005，65（4）：12001226.

［2］Chung?S?Y，Chung?Y?S，Kim?J?H.Diffusion?and?elastic?equations?on?networks［J］.Publ?Res?Inst?Math?Sci，2007（3）：699725．

［3］Elmoataz?A，Lezoray?O，Bougleux?S.Nonlocal?discrete?regularization?on?weighted?graphs：a?framework?for?image?and?manifold?processing［J］.IEEE?Tans?Image?Process，2008，17（7）：10471060．

［4］Wojciechowski?R?K.Heat?kernel?and?essential?spectrum?of?infinite?graphs［J］.Indiana?U?Math?J，2008（58）：14191442.

［5］Chung?Y?S，Lee?Y?S，Chung?S?Y.Extinction?and?positivity?of?the?solutions?of?the?heat?equations?with?absorption?on?networks［J］.Journal?of?Mathematical?Analysis?&?Applications，2011，380（2）：642652.

［6］王坤，辛巧.圖上的Laplacian方程解的性質(zhì)及其數(shù)值仿真［J］.長春師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2016，35（6）：913.

［7］辛巧，王坤.圖上帶有變指數(shù)吸收項(xiàng)的熱方程解的熄滅和正性［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2017，47（18）：201205.

［8］辛巧，許璐，王安平.無限圖上帶吸收項(xiàng)的熱方程解的熄滅和正性［J］.云南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，35（06）：727730.

［9］Xin?Q，Xu?L，Mu?C.Blowup?for?theheat?equation?with?Dirichlet?boundary?conditions?and?a?reaction?term?on?graphs［J］.Applicable?Analysis，2014，93（8）：16911701.

［10］Zakrzewski，Wojtek?J.Laplacians?on?lattices［J］.Journal?of?Nonlinear?Mathematical?Physics，2005，12（4）：530538.

［11］Elmoataz?A，Lezoray?O，Bougleux?S.Nonlocal?discrete?regularization?on?weighted?graphs：a?framework?for?image?and?manifoldprocessing［J］.IEEE?Tans?Image?Process，2008，17（7）：10471060．

［12］Chung?S?Y.Critical?blowup?and?global?existence?for?discrete?nonlinear?pLaplacian?parabolic?equations［J］.Disc?Dyna?NatSoc，2014：110.

［13］Zhou?W?C，Chen?M?M，Liu?W?J.Critical?exponent?and?blowup?rate?for?the?ωdiffusion?equations?on?graphs?with?dirichletboundary?conditions［J］.Elec?J?Diff?Equa，2014：113.

［14］Glassey?R?T.Blowup?theorems?for?nonlinear?wave?equations［J］.Mathematische?Zeitschrift，1973，132（3）：183203.

［15］Chung?F?R?K.Spectral?graph?theory［M］.Providence：American?Mathematical?Society，1997.

基金項(xiàng)目：新疆理工學(xué)院校級(jí)科研項(xiàng)目“一類具有間接信號(hào)吸收的生物趨化模型解的性質(zhì)研究”（ZQ202203）

作者簡介：劉璐璐（1996—?），女，碩士研究生，助教，從事偏微分方程的研究；韓柳（1994—?），女，碩士研究生，講師，從事統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究；王浩東（1994—?），男，碩士研究生，助教，從事統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究；張雪麗（1993—?），女，碩士研究生，教員，從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的研究。

*通訊作者：呂家鑫（1995—?），女，碩士研究生，助教，從事應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究。