高中數學建模的教學探究

陳鐘洪

【摘要】建模的數學思想應用于高中的數學解題過程中，可極大程度上提升學生的解題效率和解題準確率.強化學生建模思維的培養，讓更多的學生了解目前高中數學新課程的改革發展方向，培養學生的建模思維能力，也是學生核心素養的教學要求之一，這凸顯了數學建模作為數學學習過程中的重要方法.本文結合高中數學建模的相關教學案例以及教學特點，從教學實踐的角度進行數學建模的教學闡述，以概率和統計教學內容為例進行詳細闡述，希望能提高高中數學建模教學的質量.

【關鍵詞】高中數學;建模;概率與統計

數學建模是高中數學的重要學習內容之一，要求學生在學習數學建模的過程中了解數學建模的本質，了解數學建模的知識、構建過程，幫助學生形成自己的建模知識體系，讓更多的學生通過自主探索和應用來提升建模的數學素養.數學模型的構建是學生學習數學的一種重要方式，是解決數學問題的重要手段，也是提升學生綜合素養的重要路徑.從近幾年的高考數學分析來看，高考數學中關于數學建模的考查內容越來越多，文章從概率和統計這一知識點進行數學建模的教學策略講解和分析，希望能進一步幫助學生了解數學建模知識，形成數學建模思想，將建模意識貫穿于數學學習的全過程.

1?數學建模培養學生數學能力分析

長期以來，我國數學教育一直重視數學與實際、數學與其他學科的關系，與國外的數學教育相比，具有基礎扎實、訓練嚴格的傳統優勢，但是，學生的知識面窄、內容形式呆板，注重理論而不注重實踐應用.隨著現代經濟的發展，學生生活中的一些數學知識體現也越來越明顯，學生可以利用自我所學習的數學知識解決生活中的難題，教師也可以通過創建相應的生活情境，讓學生思考自我的數學知識應用條件，從多個方面引導學生思考，從而培養學生的應用意識和能力.數學模型是一種很好的學習方式，它包括合作學習、自主學習、探究性學習等多種要素和功能.建模是一個從學習到使用，再到完成的逐步過程，是學習與應用相結合的過程.數學并不是所有都由老師教給他們，而是需要他們自己去摸索.

培養邏輯推理和抽象思考能力.模型是一種從具體到抽象的認識過程，通過將思維轉換為理解，可以增強學生的抽象能力.

培養學生的合作精神.數學模型的教學要求具有多個領域的知識，這就要求擁有不同知識結構的人們經常聚在一起，互相討論，從中得到靈感和利益.學生在學習中團結合作，相互啟發，理性妥協，求同存異，在不知不覺中提高了合作能力，為未來的科研工作奠定了堅實的基礎.

提高學習水平.學生在進行建模的時候，需要學習的知識往往會受到年齡和問題的影響，而教師沒有足夠的時間去彌補，只會給他們講解一些基本的思路和方法，這就需要他們自己去解決問題，分析問題，從而提高了學習水平，終身受益.

培養學生分析、綜合、解決問題的能力.認識論把模型看作是一種心理和思想的活動，沒有固定的方式，也沒有固定的模式，但是非常復雜，需要強大的應變能力.數學模型需要分析和綜合、抽象和概括、比較和類比、系統化和具體化四個階段，前者是核心，后者是解決問題的關鍵.通過對模型的實踐，學生可以最大程度上發散自我的思維，提升自我的應變能力，在解決問題的過程中，加強了學生數學知識整合的應用能力，提升了學生綜合解決問題的能力.

2?高中數學建模的教學探究——以概率與統計教學內容為例

2.1?了解模型的成立原理和方法，解決對應思維問題

數學的建模過程中，不同的數學模型對應不同的數學知識點，需要學生掌握數據的特點，了解題目的意思才能進一步對題目進行綜合判斷，才能選擇恰當的數學模型來解決數學問題.了解不同數學模型的功能和應用特點，才能達到更高層次的學習.數學建模不能流于形式，需要幫助學生更好地理解所學，建模的原理歸納和靈活應用才是數學建模的本質能力培養要求，需要讓學生從記憶中選擇恰當的模型來解決數學問題.

例1?在某學校的教學活動中，教師為了驗證不同方式的記憶效率開展了相應的實驗.教師隨機選擇班級中的40名同學，將同學隨機分成兩組，每組20個人.第1小組在記憶某種東西的時候，采用第一種記憶方式，第2小組在記憶同樣東西的時候，采用第二種記憶方式，通過對學生記憶效率進行測試，得到了如圖1所示的莖葉圖.要求學生思考，根據圖象，能知道哪種記憶方式的效率更高？為什么？

這道題目的分析和解題過程其實就是一種圖象建模的過程，在這道題目的考查內容中，主要是針對記憶效率的高低進行實際問題的研究和分析.考查了學生莖葉圖、總體數、平均數等相關的數學基礎概念，也考驗了學生數學模型的轉化能力，數學建模能力以及數學思維能力.

2.2?引導學生實踐學習建模，掌握建模知識

關于離散型隨機變量的超幾何分布、二項分布在獨立重復試驗中的概率計算等，在教科書中已有大量的現成數學模型.在教學中，教師要讓學生理解數學模型的構建，了解模型是用來解決怎樣的數學問題，如何構建模型，如何找到模型中的變量，模型的求解需要考慮的問題.只有如此，教師才能把已有的數學模型的教學功能發揮出來，使學生的數學建模能力得到有效的開發.比如，超幾何分布教學中，在解釋該數學模型的構建過程中，需要讓同學們思考，如何解決哪些問題的超幾何分布？什么是該模式所包含的數量？有哪些限制？在求解該模型時，需要注意的問題有哪些？在此基礎上，結合實例，對所提出的問題進行具體的實例分析對比，從而進一步強化模型應用.

例2?某大學鄉村支教團隊總共有6名男生，4名女生.想要在這10名同學中隨機抽取5名同學參加支教活動，求抽到的同學中恰有3名女同學的概率？

建模過程?考慮將本題目中的10名同學看作學生熟悉的彩色球，然后4名女同學看作為4個白色球，題目可以理解成在10個彩色球中隨機選擇不放回的方式取出5個球，求取到3個白色球的概率.根據數學模型，可以得到：P（x=3）=C34C26C510.

2.3?拓展建模思維，建立新模型

數學教育的實質就是對數學思維的傳授，而數學思維的教學則可以擴展到從一種數學模式到另一種模式的思考.一個數學模型的擴充可以看成一個新的數學模型，因為這個數學模型包含了數學建模的基本元素，所以它是一種很好的教學方法.擴展成模的最大優勢在于，以已有的模型為基礎，采用相似或類推的方法，以便于掌握和訓練思想.同時，這種方法在老師和學生中都很流行，只要教師預先設定，就能很好地創造高效率的課堂.

例如?日常生活中的問題：一批商品中有20個一等品、15個二等品、5個三等品.現從中抽取8件商品，求其中抽到2件二等品和1件三等品的概率是多少？

這個題目的解答需要在超幾何分布的基礎上進行拓展，建立對應的數學模型，比如，在相同的N個彩色球中，有M個白色球，有R個紅色球，現從中不放回取n個球，則取到i次白球和j次紅球的概率為：P（x=i，y=j）=CimCjrCn－i－jN－M－RCnN.

2.4?注重教材課程資源開發和拓展

在新課改背景下，以概率與統計為主題的模型研究，在數據采集方面，一方面可以直接使用新教材的資料作為背景;另一方面，為了使資料更逼真，教師可以自己開發，在時間和條件允許的情況下，讓學生親自體驗數據采集的過程.以新教材為基礎，開發新的課程資源.教師可以根據新教材所提供的相關環境，對相關的資源進行開發，一方面可以從已有的文獻資料中尋找到相關的現實情況：另一方面，還可以根據現實生活中的實際情況，挖掘出有價值的數學模型的教學資源.從課程資源的開發上，教師要有對資源的認識與利用，既要在日常活動中尋找適宜的活動環境，又要在諸如《統計年鑒》等社會資源中尋找與之相關的資料，并在其他學科中發掘適合教學的資源，充分挖掘活動背后的數據，將其轉換成符合學生認知的背景材料.

例如?根據數學教材關于“統計案例公司員工的肥胖情況調查”的模型建設，教師可根據教材中給出的數據背景為例，通過建立統計公司BMI值的相關數學模型，可以引導學生以學校為單位采集部分教師學生的BMI值，也可以到某個公司去隨機選擇100名男女員工進行BMI值的調研，抑或選擇自己小區內部分男女居民BMI值作為調研樣本.這些都是數學模型建立的過程，將數學教學知識和學生的生活緊密聯系起來，關注調查數據收集的方法以及數學模型建立的過程，通過實例調查的方式進行數學數據的收集，以便于提升學生的模型思維.

2.5?改變單一的數學考試方式

考試作為一種重要的教學活動，是對學生的學習狀況和對教師教學質量的評價.傳統的概率理論、數學統計課都是以期末閉卷形式進行，教師們一般都是根據一定的題目和形式，而學生們則是將大量的時間浪費在死記硬背的公式和概念上，忽視了所學知識的運用.盡管綜合分數是根據平時和期末考試的兩個百分比來進行的，但是，平時的考試主要是通過下課后的習題來進行，而對于學生的學習動機和對作業的態度也有很大的不同.因此，必須對傳統的考試方法進行改革，以提高學生的綜合應用能力.一般來說學生的成績測試可分為兩個重要的組成部分，第一部分是閉卷考試，占比為60%，主要考查了學生對數學基礎知識基本原理的理解.第二部分為開卷考試，占比為40%，主要組成部分是學生平時的課堂學習表現、課后測試、課外實踐等，主要以考勤課堂表現作業為主.課后實驗和課外實踐主要測試學生的綜合應用能力，教師提供一定的實踐問題，或參與社會實踐調查，收集資料；這種靈活多樣的考試制度，既可以激發學生的學習熱情，又可以促進學生的實際運用.

例如?在學生學習了概率統計相關的知識之后，教師組織學生進行課外實踐，收集調研資料.將數學建模的思維和方法應用到實踐中，能達到理解、深化、鞏固、提升的教學效果，根據實際情況選擇相應的學習資料，學生可自由組隊深入實踐.利用調查統計的方法觀察分析問題，收集資料利用所學習的電腦技術完成建模，對某些具體問題進行分析、解決，并撰寫書面報告.比如，在空閑的時候，可以觀察到學校門口的公交車上每一次的乘客數量，然后根據這些信息，制定出一套可行的公交調度計劃：包括發車時刻表、需要的車輛數量，如何才能兼顧乘客與公共汽車公司的利益.

3?結語

綜述，通過將數學模型的概念融入數學概率統計教學的各個環節，既可以充分發揮概率統計的實用價值，又可以把概率統計的知識和實際應用聯系起來，同時也可以加深學生對概率統計的認識和理解.

【課題項目：本文系福建省教育科學“十四五”規劃2021年度課題“新高考背景下高中數學建模教學的實踐研究”；項目編號：FJJKZX21-096】

參考文獻：

[1]劉易松.基于數學建模核心素養的高中“概率統計”教學研究[D]. 牡丹江：牡丹江師范學院，2021.

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