說說待定系數法在解題中的妙用

柏艷艷

待定系數法是一種求未知數的重要方法.一般來說，用待定系數法解題時，問題的結論是未知的，但結論的結構是具有某種確定的形式的，因此，我們可以根據問題的固有特征，引入一些待定的系數來表示所求結果的形式，然后通過變形與比較，建立含有待定字母系數的方程（組），解這個方程（組），求出待定字母系數的值，就可以使問題獲解.待定系數法在因式分解、解方程以及求函數解析式中都有著廣泛應用.

一、運用待定系數法分解因式

運用待定系數法分解因式時，首先根據已知條件，假設原式是由若干個因式的連乘積組成，然后用字母表示這些因式中待定的系數，最后根據因式連乘積的展開式和原式系數恒等，建立關于待定系數的方程或方程組，通過解方程或方程組便可求出待定的系數的取值.

例1分解因式：6x2-5xy -6y2+13x +4y +6.

解：

點評：因式分解的目的是簡化運算過程，但在遇到比較復雜的因式分解問題時，可以利用待定系數法直接將因式分解問題轉化成解方程組問題，以方便解答.

二、運用待定系數法求解分式方程

運用待定系數法解分式方程時，我們首先要把分式方程中較復雜的式子拆分為若干個較為簡單的式子，并用待定系數表示出來，然后進行通分，將通分后的式子與原式加以比較，最后根據等式中對應項的字母系數相等這一規律，列出有關待定系數的方程組.需要注意的是，在拆分分式的時候，如果分母中有二次項，則將分子設為Am+B的形式，如果分母不含二次項，只含一次項，則直接將分子設為常數.

例2

解：

點評：這道題如果采用常規解法求解，在去分母之后，會得到一個關于 x 的一元二次方程，在求解的過程中可能會導致未知數的取值范圍擴大，出現增根的情況，還要通過討論來判斷哪些值是錯誤的.而采用待定系數法就可以避免這種情況.

三、運用待定系數法求二次函數的解析式

運用待定系數法求二次函數的解析式時，首先可按照已知條件把二次函數的解析式設成一般式 y =ax2+ bx +c、頂點式 y =a（x - k）2+m 以及交點式 y =a（-x1）（x -x2）這三種表達式中的一種，然后根據函數圖象上所有的點都滿足該函數解析式，把點的坐標代入到解析形式中，得到關于待定系數的方程（組），解方程（組）求出待定系數的值，就可以寫出函數解析式了.

例3已知有二次函數的對稱軸為 x=-3，且這個函數經過了（1，0）和（0，-7）這兩個點，請求出該二次函數的解析式.

解法1：

解法2：

解法3：

點評：采用待定系數法求二次函數解析式時，可以根據二次函數解析式的三種形式來設置.如果已知二次函數對應二次方程的兩個根，一般可以將二次函數設為零點式；如果已知二次函數的頂點一般可以設為頂點式，否則可以設為標準式.一般式與頂點式一般含有三個待定系數，交點式雖然只含有一個待定系數，但必須已知兩個交點的橫坐標 x1和x2，所以解題時應根據題目的已知條件選擇設置哪種解析式，這樣計算起來才最簡便.

綜上可知，靈活運用待定系數法能夠幫助我們根據題意創設有利條件，迅速找到解題的突破口，從而將復雜的問題轉化為簡單的解方程組問題，實現化繁為簡的目的.同學們要好好領會待定系數法在解答這幾類題目中的妙用，不斷進行歸納、總結，熟練掌握待定系數法的運用技巧.