例談二次函數圖象的三種變換

吳越

平移、軸對稱、旋轉是圖形變換的三種基本形式.二次函數的圖象也有這三種變換形式.二次函數的圖象經過平移、對稱與旋轉變換后，圖象的位置會發生變化，從而也會引起解析式的變化.那么如何求圖象變換后函數的解析式呢？由于函數圖象是由點構成的，函數圖象位置的變化實質上就是圖象上點的位置的變化，而坐標決定點的位置，因此求圖象變換后的二次函數的解析式，只要求出變換后的圖象的某些點的坐標即可.

一、平移變換

拋物線的平移實質就是頂點的平移，二次項的系數不會改變，所以解題時先利用配方法將解析式化成頂點式，確定其頂點坐標，然后作出二次函數的圖象進行平移，平移的變化規律可以歸納為以下幾種：

1.上下平移

當拋物線 y =a（x - b）2+c 往下平移 k 個單位后（k >0），所得的拋物線的解析式為 y =a（x -b）2+c -k；當拋物線 y =a（x - b）2+c 往上平移 k個單位后（k >0），所得的拋物線的解析式為y =a（x - b）2+c +k.

2.左右平移

當拋物線 y =a（x - b）2+c 向右平移 k 個單位后（k >0），所得的拋物線的解析式為 y =a（x -b -k）2+c；當拋物線 y =a（x - b）2+c 向左平移 k個單位后（k >0），所得的拋物線的解析式為y =a（x - b +k）2+c.

例1將拋物線 y =-x2向左平移一個單位，接著再將其向上平移3個單位，最終可得到的二次函數解析式為（?? ）.

A. y =-（x +1）2+3? B. y =-（x -1）2+3

C. y =-（x +1）2-3? D. y =（x -1）2+3

解析：首先將拋物線y =-x2向左平移1個單位得到解析式 y =-（x +1）2，然后再將其向上平移3個單位后得到解析式y =-（x +1）2+3，因此本題正確答案為A項.

例2

解析：

二、對稱變換

二次函數圖象的對稱變換包括關于x軸對稱、y軸對稱、原點對稱、頂點對稱、任意點對稱五類.對稱變換后拋物線的解析式隨對稱中心的不同而不同，可以用一般式或頂點式表達：

1.關于 x 軸對稱

y = ax2 + bx + c 關于 x 軸對稱的函數解析式是 y = - ax2 - bx - c；

y = a（x - h）2 +k 關于 x 軸對稱的函數解析式是 y = - a（x - h）2 - k；

2.關于 y 軸對稱

y = ax2 + bx + c 關于 y 軸對稱的函數解析式是 y = ax2 - bx + c；

y = a（x - h）2 + k 關于 y 軸對稱的函數解析式是 y = a（x + h）2 + k；

3.關于原點對稱

y = ax2 + bx + c 關于原點對稱的函數解析式是 y = - ax2 + bx - c；

y = a（x - h）2 +k 關于原點對稱的函數解析式是 y = - a（x + h）2 -k；

4.關于頂點對稱

y =ax2+ bx +c 關于頂點對稱的函數解析式是 y =ax2- bx +c -；

y =a（x -h）2+k 關于頂點對稱的函數解析式是 y =-a（x -h）2+k；

5.關于任意點對稱

y =a（x -h）2+k 關于任意點（m，n）對稱的函數解析式是 y =-a（x +h -2m）2+2n +k

例3在平面直角坐標系中，拋物線 y = x2-4x +5與y 軸相交于點 C ，則該拋物線關于點 C 對稱的拋物線的表達式為（? ） .

A. y =-x2-4x +5 B. y =x2+4x +5

C. y =-x2+4x -5 D. y =-x2-4x -5

解析：先求出C 點坐標，當 x =0時，y =5，所以 C 點坐標為（0，5），設新拋物線上的點的坐標為（x，y），因為原拋物線與新拋物線關于點 C 對稱，由2×0-x =-x，2×5-y =10-y，所以對應的原拋物線上點的坐標是（-x， 10-y），代入原拋物線解析式可得：10-y =（-x）2-4×（-x）+5，得出 y =-x2-4x +5，故選 A項．

例4? 求拋物線 y =-x +2x +3關于原點 O 對稱的拋物線的解析式.

解析：因為點P（1，4）關于原點 O 的對稱點為 P（-1，-4），而且拋物線 y =-x2+2x +3關于原點 O 對稱的過程中開口方向由向下變為向上，所以所求拋物線的解析式為 y =（x +1）2-4，即 y =x2+2x -3.

三、旋轉變換

二次函數圖象的旋轉問題由于受限于函數這一前提，故只能將二次函數圖象旋轉180°.拋物線繞某點旋轉180°，即關于某點中心對稱.已知點（- m，k）關于原點的對稱點為（m，-k），所以拋物線 y =a（x + m）2+k 繞原點旋轉180°后所得的拋物線為 y =-a（x - m）2-k.圖象旋轉后形狀不變，開口方向和頂點坐標均改變.若拋物線繞頂點旋轉180°，則拋物線的形狀、頂點坐標不變，只是改變了拋物線的開口方向.故只需將原拋物線的解析式配成頂點式，然后改變“ a ”的符號即可.

例5當二次函數解析式 y =x2-2x +3繞原點旋轉180°，最終所呈現出的函數圖象解析式是__________.

解析：將拋物線 y =x2-2x +3化簡成 y =（x -1）2+2，可以得出頂點坐標是（1，2），將此點圍繞原點旋轉180°之后可以獲得新的頂點坐標（-1，-2），因此本題所求的二次函數圖象的解析式是 y =-（x +1）2-2.

例6在平面直角坐標系中，把一條拋物線先向上平移3個單位長度，然后繞原點旋轉180°得到拋物線 y =x2+5x +6，則原拋物線的解析式是（? ） .

A. y =-（x -）2-? B. y =-（x +）2-

C. y =-（x -）2-? D. y =-（x +）2+

解析：可先求出繞原點旋轉180°的拋物線的解析式，再求出向下平移3個單位長度的解析式.因為拋物線的解析式為 y =x2+5x +6，所以繞原點旋轉180°變為 y =-x2+5x -6，即y =-（x -）2+ ，然后向下平移3個單位長度的解析式為y =-（x -）2+ -3=-（x -）2-．故選 A項．

以二次函數為背景的幾何圖形的變換問題是近年來各地中考的熱點問題.解答此類問題時，要抓住函數圖象變換中變與不變的因素，理清點的坐標變化、函數圖象變化、函數解析式變化之間的關系，從而找到解題的突破口，提升解答函數問題的能力.