解答菱形中與動點有關的線段和最值問題的方法

戴尚亮

菱形具有平行四邊形的全部性質(zhì)，此外，它還具有一般平行四邊形所不具備的性質(zhì)，如四邊相等、對角線垂直、對角線平分對角、對角線一半的平方和等于邊長的平方等.求解以菱形為背景，與動點有關的線段和最值問題，可結合菱形的軸對稱特性、垂線段性質(zhì)來確定動點位置和最值情形.解題時利用菱形的對稱性可推導等線段長，也可對點的位置進行轉(zhuǎn)化，從而將線段和的最小值轉(zhuǎn)化為一條線段的長來求解.

一、與一個動點有關的線段和最小值問題

菱形中與一動點有關的線段和最小值問題較為基礎.解題時要審清題干，把握關鍵節(jié)點.首先要弄清楚取最值時動點的位置，根據(jù)動點在菱形內(nèi)、菱形上以及菱形外的不同位置確定不同的解法，然后利用菱形的對稱性，把菱形的兩條對角線當作動點與線段構成的圖形的對稱軸，作出線段的兩個端點或動點的對稱點，將線段和的最小值問題轉(zhuǎn)換為“兩個點之間，線段最短”的問題來解答.

例1? 如圖1，已知菱形 ABCD 的兩條對角線分別為6和8，M、N 分別是邊 BC、CD 的中點，P 是對角線 BD上一點，求 PM +PN 的最小值.

分析：已知圖形 ABCD為菱形、菱形對角線長度、M 點和 N 點的區(qū)域特征，那么同學們首先可連接菱形 ABCD 的對角線.隨后根據(jù) M 點和 N 點的區(qū)域特征，作 M 點在 AB線段上的對稱點 Q，將 PM +PN 的值轉(zhuǎn)變?yōu)镻N +PQ 的值.同時此題要求最小值，那么根據(jù)線段公理可知 MP +NP 的值最小，而 MP + NP根據(jù)線段等量代換可得：MP +NP =NP +PQ.如果將 P 看作 NQ 和 DB 的相交點，按照“兩點之間，線段最短”的原理可知，NP +PQ 的最小值就是 NQ 的取值，那么根據(jù)此解題思路即可完成作答.

解：

說明：解此題的關鍵是能根據(jù)軸對稱找出 P 的位置.解題時要關注菱形的軸對稱特性，過菱形對角線存在兩條對稱軸，由此可把同側距離之和化為異側距離之和，從而利用兩點之間線段最短確定線段和最小值.

二、與兩個動點有關的線段和最小值問題

與兩個動點有關的線段和最小值問題是菱形最值問題中較為復雜的一類問題.解題時可以結合由一個動點求線段和最小值問題的解題思路，首先根據(jù)動點具體位置明確解題方向，然后從“菱形的四邊相等”“對角線互相垂直平分且平分對角”等菱形的特征入手，利用勾股定理對兩個動點形成的線段長進行計算.解題時如果沒有直接利用勾股定理的圖形條件，可通過作輔助線構造直角三角形，再利用勾股定理來解題.

例2

分析：可參考例1的解題思路，通過搭建菱形對角線，分析對角線關系，將菱形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，再結合平行四邊形邊長的特征與勾股定理求出兩動點形成的線段和最小值.

解：在菱形 ABCD 中，連接 A、C，作 AM ∥ BD，使 AM =EF，再連接 C、M，交菱形 ABCD 邊 BD 于點 F，如圖4.

∵ AM =EF，AM ∥ EF ，

∴四邊形 AEFM 是平行四邊形，

∴ AE =FM ，

∴ AE + CF =MF + CF = CM ，

而根據(jù)線段公理可知 AE + CF 最小值為線段 CM 的長，

∵菱形 ABCD 邊長相等，即 AB =BC，且∠EBF =60°，則△ABC 為等邊三角形，

∴ AB =AC =6，

∵菱形圖形對角線互相垂直，

∴ AC ⊥ BD ，

∵ AM ∥ BD ，

∴∠CAM =90°，

在 Rt△CAM 中，

CM = = =2? ，

∴ AE + CF 的最小值為2? .

說明：本題考查菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、兩點之間線段最短、勾股定理等知識.解題的關鍵是結合菱形的特征來作輔助線，構造直角三角形模型，把線段和的最小值問題轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短來解答，最后借助勾股定理求得最短線段的長.

菱形中的動點最值問題大多較為復雜，主要考查同學們對菱形的性質(zhì)特征、勾股定理以及軸對稱等相關知識的掌握情況.在解題的過程中，同學們要根據(jù)動點的位置進行分析思考，在復雜的問題背景下發(fā)現(xiàn)菱形中最值問題的基本模型，化“折”為“直”，尋找運動變化中的不變性，以此來形成解答此類問題的通性通法.