平行四邊形中的輔助線的作法

蘭萍

在解答幾何問題時，作輔助線可以構造新的圖形，形成新的關系，使分散的條件集中，并建立起已知與未知的“橋梁”.平行四邊形具有兩組對邊分別平行且相等，對角相等，對角線互相平分等性質.結合上述性質添加輔助線，就是在平行四邊形中作出平行或垂直的線段，構成三角形的全等或相似，把平行四邊形問題轉化成常見的三角形、矩形等問題來解答.

一、平移對角線，把平行四邊形轉化為梯形

平移是一種只改變圖形的位置而不改變圖形大小及形狀的變換.在平行四邊形中求線段的長度或證明線段的不等關系時，首先考慮將要求的線段與三角形結合起來，運用三角形三邊的不等關系來解答.若要求解或證明的線段與已知線段不在同一個三角形內，則可通過平移將線段集中到同一個三角形內.平移對角線可以構造一個以兩對角線為邊的三角形，建立待求線段與已知線段之間的關系，從而找到解題的突破口，使問題得以順利解答.

例1

解析：

說明：本題通過作輔助線，利用平行四邊形的性質，將兩條已知線段與未知線段集中到了一個三角形中.解題主要運用了三角形的三邊關系定理，即任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．

二、過一邊兩端點作對邊的垂線，把平行四邊形轉化為直角三角形

作垂線即過平行四邊形一邊的一個或兩個端點向下底作高，將平行四邊形分割成矩形和直角三角形.由于直角三角形的全等判定定理比較多，且可利用勾股定理得到邊長間的數量關系，所以，作垂線段可為證明直角三角形全等創造條件，同時方便我們利用直角三角形相關性質定理解題.

例2

證明：

說明：本題考查了平行四邊形的性質、勾股定理的運用、全等三角形的判定和性質.正確作出輔助線將平行四邊形轉化為兩個直角三角形，并證明兩個三角形全等是解題的關鍵.

三、延長頂點與對邊上一點的連線，把平行四邊形轉化為相似三角形

證明線段的等積式或求線段的比值，常常要根據題目條件和結論的特征，巧妙地構造相似三角形.平行四邊形對角相等，對邊平行，連接頂點與對邊上一點的連線可以為我們創造內錯角相等的條件，這樣就有助于找到線段所涉及的兩個三角形中相等的兩對角，從而證明兩個三角形相似，由此便可證明線段的等積式或求得線段的比值.

例3

解：

說明：求兩條線段的比值就要考慮相似，因為相似三角形對應邊的比相等，所以本題添加輔助線就將平行四邊形中的兩個線段轉化到了兩個相似三角形中.解題中巧妙添加輔助線，可以構造多個相等的角，這就為我們證明相似創造了條件.

四、連接對角線交點與一邊的中點，構造三角形中位線

在涉及三角形及平行四邊形的證明和計算題中，經常會用到中位線定理.若題目以線段相等或中點為條件，結合平行四邊形的對角線互相平分，就可以嘗試連接對角線交點與一邊的中點，構造中位線.利用三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半來解題，使線段在位置上的平行關系和數量上的比例關系在推理論證中發揮作用.

例4

解：

說明：平行四邊形的性質比較多，其邊、角、對角線等都存在一定的數量關系或位置關系.如果條件中給出的中點不止一個，解題時應有意識地尋找是否存在中位線；若條件中只有一個中點，可以利用對角線互相平分得到中點進而造中位線解題.