因式分解的三個技巧

徐星

因式分解是指將一個多項式分解成兩個或者多個整式乘積的形式.它不僅可用于代數式的化簡、求值以及解方程和不等式等代數問題中，而且在判定三角形或四邊形的形狀等幾何問題中也扮演著重要角色.所以，掌握因式分解的方法和技巧是很重要的.因式分解的常用方法有公式法、提公因式法、分組分解法等.除了這些方法以外，我們還應掌握一些特殊技巧，如拆（添）項法、換元法、主元法等.同學們應根據多項式的具體結構特征，靈活選用不同的方法和技巧.

一、拆、添項法

因式分解是多項式乘法的逆運算，在進行多項式乘法運算時，通過對多項式的各項進行整理和化簡，將幾個同類項合并為一項，或者將兩個僅符號相反的同類項相互抵消后，就會造成多項式的“缺項”.對這一類多項式進行因式分解時，就要先恢復那些被合并或者被抵消的項，即將多項式的某一個項拆成兩項或者多項，或者在多項式當中添加兩個僅符號相反的項.前者稱為拆項，后者稱為添項.拆項、添項的目的是在對多項式進行因式分解時，方便運用提公因式法或分組分解法.

例1分解因式：x3-3x2+4.

分析：這個多項式無法直接提取公因式，也不能運用公式法.由于多項式當中缺少一次項，所以可以靈活運用拆項法來解題.

點評：從以上三種解法可以看出，使用拆項法進行因式分解，并沒有嚴格規定要拆分哪一項，因此，同學們在做題的時候要仔細觀察多項式中每一項的特點，通過靈活的變化來化繁為簡，解答疑難問題.

例2 分解因式：

分析：觀察式子的形式，和完全平方式的展開式看起來較為相似，所以在進行因式分解的時候可以進行聯想，通過添項后利用平方差公式來完成因式分解.

解：

例3分解因式：

分析：遇到這類題目時，要仔細分析各項的特點，并根據 b + c = c - a + a + b 考慮添項.

解：

點評：使用添項法分解因式時，關鍵是要根據多項式的特點進行恰當的添項，讓添項后的多項式可以更好地用提取公因式法、公式法等其他常用方法來進行分解.

二、換元法

對于比較復雜的多項式進行因式分解，可以考慮運用換元法，將其中某一部分看作一個整體，然后用一個新的輔助元來代替.將含有新元的多項式進行因式分解之后，再將新元所替換的部分代入因式分解后的多項式，就能得到原多項式因式分解的結果.換元法可減少因式的項數或降低因式的次數，使多項式簡化.在具體運用換元法時，可根據情況進行部分換元、整體換元或平均換元等.

例4 分解因式：

分析：這道題涉及多項式的平方，如果正常展開后分解，數據的計算量很大.在經過仔細觀察之后，可以將 x2 - 3x 這一項看作一個整體，從而簡化因式分解的過程.

例5 分解因式

分析：在對二元因式進行分解時直接去括號非常復雜，所以可以考慮運用換元法，分別將x和y的和與積視為整體來進行換元.

解：

點評：整體替換可以讓復雜的題目變得簡單.但當遇到復雜的多項式，無法用一個輔助元完成整體換元時，可根據題目中多項式具備多元性的特征，用兩個輔助元分別代換原多項式中的代數式，使因式分解簡單化.

三、主元法

對含有多個字母的代數式進行因式分解是比較復雜的一種題型.這時可以考慮運用主元法，即選擇一個字母作為主元，將其他字母都看作常數，然后將整個多項式按照以主元為主的方式進行升冪或者降冪排列，最后再嘗試因式分解.運用主元法解題的關鍵就是選擇合適的主元，一般選擇次數較低的字母為主元，將多項式變成熟悉的形式，這樣就能讓分解因式的過程變得簡單.

例6 分解因式：

分析：式子中有兩個字母，可以考慮運用主元法，其中字母 a 的次數更低，所以可以選擇字母 a 作為主元來進行因式分解.

解：

例 7 分解因式：

分析：當兩個字母最高同為 2 次冪的時候，可以隨便選擇一個字母作為主元，得到的結果是一樣的.

解：

點評：以上兩道題如果不使用主元法，很難進行因式分解.在選擇主元時，一般選擇次數更低的作為主元，這樣可以達到降冪的效果.當字母次數相同時可任選其一為主元，都可以簡化因式分解的過程.