從“類”到“變”開(kāi)展結(jié)構(gòu)化教學(xué)

谷永芳

摘 要：從過(guò)往的教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，《認(rèn)識(shí)射線、直線和角》一課的知識(shí)點(diǎn)瑣碎、知識(shí)量大，教學(xué)難度較大。結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中“對(duì)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合”的要求，嘗試開(kāi)展本節(jié)課的結(jié)構(gòu)化教學(xué)：立足“類”的建構(gòu)，把握數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)；立足“聯(lián)”的統(tǒng)整體現(xiàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的關(guān)聯(lián)；立足“變”的實(shí)施凝聚數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；結(jié)構(gòu)化教學(xué)；《認(rèn)識(shí)射線、直線和角》

“認(rèn)識(shí)射線、直線和角”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)《垂線和平行線》這一單元的起始內(nèi)容。這部分內(nèi)容是在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)角和線段的基礎(chǔ)上教學(xué)的，也是學(xué)習(xí)兩條直線垂直或平行等特殊位置關(guān)系不可缺少的基礎(chǔ)知識(shí)，更是今后研究其他幾何圖形的必備知識(shí)。可以說(shuō)，《認(rèn)識(shí)射線、直線和角》一課是學(xué)生從直觀認(rèn)識(shí)幾何形體向形成線、角、形、體等幾何概念的重要轉(zhuǎn)折課；射線、直線和角的概念，是整個(gè)幾何知識(shí)體系中的關(guān)鍵概念。從過(guò)往的教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，教師普遍覺(jué)得本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)瑣碎、知識(shí)量大，教學(xué)難度較大。結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中“對(duì)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合”［1］的要求，嘗試立足“類”的建構(gòu)、“聯(lián)”的統(tǒng)整、“變”的實(shí)施，開(kāi)展本節(jié)課的結(jié)構(gòu)化教學(xué)。具體教學(xué)過(guò)程與思考如下：

一、教學(xué)過(guò)程

【片段1】

師 今天，我們的研究從最基本的圖形“點(diǎn)”開(kāi)始。（課件演示）讓它（點(diǎn)）朝某一方向移動(dòng)，停，這時(shí)移動(dòng)的軌跡是一條——

生 是一條線。

生 準(zhǔn)確地說(shuō)是線段。

師 早在二年級(jí)的時(shí)候，我們就認(rèn)識(shí)了線段，關(guān)于線段，你已經(jīng)有了哪些認(rèn)識(shí)？

生 線段是直的。

生 線段有兩個(gè)端點(diǎn)。

生 線段有長(zhǎng)有短。

師 （出示圖1）在這幅圖里，你能找到線段嗎？

生 尺子的邊、擋板的邊都是一條線段。

生 激光筆射出的光線也是一條線段。

生 激光筆射出的光線是一條長(zhǎng)5厘米的線段。

師 能把這條線段畫(huà)下來(lái)嗎？

生 能。

（學(xué)生動(dòng)手畫(huà)。）

師 （課件演示）如果把擋板繼續(xù)往后移，這條線段會(huì)——

生 這條線段會(huì)越來(lái)越長(zhǎng)。

師 想象一下，如果把擋板拿掉，會(huì)怎樣？

生 這條線會(huì)從這一點(diǎn)出發(fā)，越射越遠(yuǎn)。

生 這條線就是無(wú)限長(zhǎng)了。

生 這條線就變成一條射線了。

師 是的，假如這只激光筆的能量無(wú)限大，射出的光線又沒(méi)有任何遮擋，那這條光線就可以看作一條射線。生活中，你還能找到這樣的射線嗎？

生 手電筒發(fā)出的光線可以想象成一條射線。

生 夜晚，激光燈的光線可以想象成一條射線。

生 在不考慮重力以及風(fēng)力等阻力的前提下，射出去一支永不掉落的箭，它的軌跡可以想象成一條射線。

師 同學(xué)們，根據(jù)剛才的觀察、想象和交流，你能把心中的射線表示出來(lái)嗎？在空白紙上試試看。

（學(xué)生畫(huà)。）

生 （展示畫(huà)法，如圖2）我畫(huà)的射線是這樣子的。（同步指）從這一點(diǎn)出發(fā)，一直一直往這邊射出去，無(wú)限長(zhǎng)。

生 （展示畫(huà)法，如圖3）我是這樣畫(huà)的：（同步指）這邊畫(huà)了一個(gè)端點(diǎn)，表示從這里發(fā)出；這邊沒(méi)有畫(huà)端點(diǎn)，表示這一端可以無(wú)限延長(zhǎng)。

師 這兩種畫(huà)法都能表示出射線無(wú)限長(zhǎng)，如果從簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確的角度說(shuō)，你更認(rèn)同哪個(gè)？

生 第二種。

師 是的，我們并不能真正畫(huà)出無(wú)限長(zhǎng)，所以數(shù)學(xué)家用端點(diǎn)來(lái)表示邊界。同學(xué)們，通過(guò)研究，我們知道了把線段的一端無(wú)限延長(zhǎng)，能得到一條射線。想象一下，如果把射線的另一端也無(wú)限延長(zhǎng)呢？

生 就得到一條直線。

師 在腦海中想象一下這條直線，并根據(jù)剛才畫(huà)射線的經(jīng)驗(yàn)，在紙上也表示出一條直線。

（學(xué)生畫(huà)。）

師 （出示圖4、圖5）誰(shuí)來(lái)評(píng)價(jià)一下這些作品？

生 我認(rèn)為這兩種畫(huà)法都是正確的，但后一種畫(huà)法更簡(jiǎn)潔。

生 我也更贊同后一種畫(huà)法，沒(méi)必要畫(huà)到紙的邊，在作業(yè)本上總不能也畫(huà)到本子的邊吧。不畫(huà)端點(diǎn)就能表示兩端都能無(wú)限延伸。

［說(shuō)明：學(xué)生在第一學(xué)段已經(jīng)認(rèn)識(shí)了線段，了解了線段的特征，但時(shí)隔兩年再次學(xué)習(xí)，時(shí)間跨度大了，相關(guān)認(rèn)知可能不夠清晰。因此，本節(jié)課通過(guò)學(xué)生熟知的“點(diǎn)動(dòng)成線”導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生對(duì)線段的已有認(rèn)知，再以線段概念為生長(zhǎng)點(diǎn)，借助貼近學(xué)生實(shí)際生活又直觀形象的激光筆，打通線段和射線之間的“擋板”，自然而然地讓學(xué)生感知到直線可以看成線段“無(wú)限延長(zhǎng)”得到的幾何圖形。學(xué)生從真正意義上理解“無(wú)限延長(zhǎng)”，往往會(huì)有些困難。于是，通過(guò)“把線段無(wú)限延長(zhǎng)”，引導(dǎo)學(xué)生想象，豐富對(duì)射線的直觀感知，促進(jìn)射線和直線表象的形成。當(dāng)然，光形成表象還不夠，還要讓學(xué)生剝離出概念的核心本質(zhì)。于是，通過(guò)多次在紙上畫(huà)線（線段、射線、直線），通過(guò)學(xué)生不同認(rèn)知作品的對(duì)比，抽象出概念的本質(zhì)特征。］

【片段2】

師 （出示圖6）你能任意畫(huà)一條線，讓A、B兩點(diǎn)都在這條線上嗎？

（學(xué)生自主理解，嘗試畫(huà)線。教師巡視，發(fā)現(xiàn)典型的畫(huà)法，讓學(xué)生上臺(tái)展示。）

生 （展示畫(huà)法，如圖7）我連接A、B兩點(diǎn)，畫(huà)出了一條線段。

生 （展示畫(huà)法，如圖8）我是這樣畫(huà)的，超出B點(diǎn)，畫(huà)的是一條射線。

生 我有補(bǔ)充，這里面也有線段AB。

生 （展示畫(huà)法，如圖9）我讓兩邊都無(wú)限延長(zhǎng)了，畫(huà)的是一條直線，這里面也有射線和線段。

師 同學(xué)們，你找出來(lái)了嗎？這里面有幾條線段？射線和直線呢？

生 （同步指）這是一條線段，這是一條直線；從A點(diǎn)往左是一條射線，往右也是一條，B點(diǎn)處也是一樣的，所以有4條射線。

師 是的，把線段的一端無(wú)限延長(zhǎng)就能得到射線，把線段的兩端都無(wú)限延長(zhǎng)就能得到直線；線段是射線和直線的一部分。請(qǐng)大家繼續(xù)介紹。

生 （展示畫(huà)法，如圖10）我畫(huà)的是一條曲線。

生 （展示畫(huà)法，如圖11）我畫(huà)的也是一條曲線，不過(guò)是上下起伏的。

生 （展示畫(huà)法，如圖12）我畫(huà)的是一條折線。

師 （動(dòng)畫(huà)演示將各種連線合到一起，得到圖13）同學(xué)們，用數(shù)學(xué)的眼光看看，這四條線有什么不同？

生 它們是不同類型的線。

生 它們的長(zhǎng)度不同。

師 哪一條最短呀？

生 線段最短。

師 還能畫(huà)出比這更短的線嗎？

生 好像畫(huà)不出來(lái)。

師 是的，兩點(diǎn)之間線段最短，這條線段的長(zhǎng)度就是兩點(diǎn)之間的距離。量一量，A、B兩點(diǎn)之間的距離是多少？

生 A、B兩點(diǎn)之間的距離是7厘米。

師 （出示圖14）這是從老師的學(xué)校（江蘇省南京市高淳區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)）到你們學(xué)校（江蘇省南京市玄武外國(guó)語(yǔ)學(xué)校附屬小學(xué)）的推薦路線，你能看懂圖意嗎？

生 從老師學(xué)校到我們學(xué)校的路程是103.6千米，預(yù)計(jì)用時(shí)1小時(shí)53分。

師 那這103.6千米是我們數(shù)學(xué)上研究的距離嗎？

生 是的，就是距離。

生 不是的，兩點(diǎn)之間的距離是兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，而這條線是彎的。

生 我贊同他的觀點(diǎn)。這不是線段，線段應(yīng)該是直的。我們知道兩點(diǎn)之間線段最短，所以我推理兩點(diǎn)之間的距離會(huì)比103.6千米少。

師 分析得多好呀！數(shù)學(xué)上兩點(diǎn)之間的距離指的是兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，而這里的103.6千米其實(shí)是指這兩點(diǎn)之間的路程。剛才我們研究了兩點(diǎn)畫(huà)線，如果從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，你能畫(huà)幾條射線？

生 無(wú)數(shù)條。

師 （動(dòng)畫(huà)展示）一條、兩條……老師不畫(huà)了，仔細(xì)觀察，讓你想到了以前認(rèn)識(shí)的什么圖形？

生 角。

師 關(guān)于角，又有什么新的知識(shí)呢？自學(xué)一下課本上的例2。

（學(xué)生自學(xué)匯報(bào)。）

［說(shuō)明：本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)比較碎，要復(fù)習(xí)線段和角的知識(shí)，還要學(xué)習(xí)射線、直線、角的新知識(shí)，同時(shí)要考慮在某個(gè)環(huán)節(jié)加上兩點(diǎn)之間距離的教學(xué)。這里，設(shè)計(jì)過(guò)點(diǎn)畫(huà)線的活動(dòng)，巧妙地打通整個(gè)知識(shí)體系。過(guò)兩點(diǎn)畫(huà)線的活動(dòng)中，先展示線段、直線、射線這三種直的線，不僅能再次鞏固三種線的不同特征，更能讓學(xué)生從中深刻體會(huì)到三種線之間的密切聯(lián)系——三種線的聯(lián)系與區(qū)別也是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)。接著，展示兩點(diǎn)之間曲線、折線和線段三種不同類型的線，通過(guò)比較它們的不同，突出兩點(diǎn)之間的連線中線段最短，順其自然地揭示兩點(diǎn)之間距離的概念。最后通過(guò)過(guò)一點(diǎn)畫(huà)射線，讓學(xué)生驚喜發(fā)現(xiàn)兩條射線組成一個(gè)角，溝通射線和角的關(guān)聯(lián)。］

【片段3】

師 課的最后，讓我們從運(yùn)動(dòng)的角度，再來(lái)看看今天所學(xué)的知識(shí)。（課件展示）把點(diǎn)朝一個(gè)方向移動(dòng)一定的距離就形成了線段，把線段的一端無(wú)限延伸就形成了射線，把射線的一端也無(wú)限延伸就得到了直線；把線段平移就能得到我們認(rèn)識(shí)的這些平面圖形……角也能看成線的運(yùn)動(dòng)，你想到了嗎？

生 把射線旋轉(zhuǎn)。

師 是的，角也可以看成是射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成的。

（完成板書(shū)，如圖15所示。）

［說(shuō)明：課尾，帶領(lǐng)學(xué)生從運(yùn)動(dòng)的角度去觀察、思考今天所學(xué)的知識(shí)，和課始的“點(diǎn)動(dòng)成線”呼應(yīng)。這不僅讓學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容本身的發(fā)生、發(fā)展脈絡(luò)去學(xué)習(xí)，更能打開(kāi)學(xué)生思維，拓寬他們思考的廣度和寬度，引導(dǎo)他們從另一個(gè)視角去再次整體建構(gòu)整節(jié)課的知識(shí)體系。角既能看成從一點(diǎn)引出的兩條射線，又能看成射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形。這既豐富了角的概念，為今后繼續(xù)研究角的知識(shí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，更能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。最終形成的板書(shū)，更是將零散的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)化的整合，助力學(xué)生獲得比較系統(tǒng)完整的“線”與“角”的知識(shí)，形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念，并讓結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系深植腦海，真正做到學(xué)有所痕、學(xué)有所獲。］

二、教學(xué)思考

內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化重在設(shè)計(jì)，更重在課堂的落實(shí)。結(jié)構(gòu)化的教學(xué)能幫助學(xué)生建立體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，養(yǎng)成數(shù)學(xué)的思維習(xí)慣和研究精神。

（一）立足“類”的建構(gòu)：把握數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)

其實(shí)，教材在編寫(xiě)的時(shí)候，已經(jīng)充分考慮到“類”的集合，將同一類型、同一主題、同一分支下的內(nèi)容放在一起編排。但是這些同“類”內(nèi)容常常被人為地割裂成教一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)、學(xué)一個(gè)個(gè)例題、做一個(gè)個(gè)習(xí)題。本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容其實(shí)就是線和角的知識(shí)，但是很多教師往往看到的是“類”下面零散的“點(diǎn)”：端點(diǎn)的個(gè)數(shù)、形狀、有限長(zhǎng)和無(wú)限長(zhǎng)、角的標(biāo)記、讀法、兩點(diǎn)之間的距離，等等。我們應(yīng)立足“類”的建構(gòu)，整體把握數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)。因此，上述教學(xué)過(guò)程重點(diǎn)突出了對(duì)“線”這一核心概念的認(rèn)識(shí)。基于學(xué)生對(duì)線段的已有概念，逐步生長(zhǎng)出射線、直線的概念，分析和對(duì)比不同類型的線，不斷強(qiáng)化概念的本質(zhì)特征。兩點(diǎn)之間的距離，其實(shí)就是線段的長(zhǎng)度；面就是線段的平移；角就是從一點(diǎn)引出兩條射線，或者說(shuō)由一條射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成。于是，“線”串起所有的知識(shí)內(nèi)容，構(gòu)建出結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系，體現(xiàn)出知識(shí)內(nèi)在的整體性和一致性，更利于學(xué)生去同化和順應(yīng)。

（二）立足“聯(lián)”的統(tǒng)整：體現(xiàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的關(guān)聯(lián)

如果說(shuō)“類”關(guān)注的是數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯結(jié)構(gòu)的建構(gòu)，那么“聯(lián)”是更關(guān)注課堂活動(dòng)方式的統(tǒng)整。以往我們習(xí)慣將層層深入具有邏輯結(jié)構(gòu)的內(nèi)容，通過(guò)“問(wèn)題串”的形式不斷串成一條知識(shí)鏈，可這樣的教學(xué)往往是教師牽著學(xué)生走，并不能充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。現(xiàn)在，我們更提倡將教學(xué)環(huán)節(jié)不斷地融、不斷地通，通過(guò)選擇恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)素材、創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問(wèn)題情境，整合教學(xué)環(huán)節(jié)，用少而精、精而妙的活動(dòng)方式，關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)活動(dòng)，統(tǒng)整數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生在大問(wèn)題、大空間中充分發(fā)散自己的思維，積累豐富的學(xué)習(xí)活動(dòng)方法和經(jīng)驗(yàn)，走向自主建構(gòu)的結(jié)構(gòu)化，達(dá)到結(jié)構(gòu)化教學(xué)的真實(shí)目的。

在片段1中，教師選擇了激光筆發(fā)出激光這一貼近學(xué)生真實(shí)生活的情境，關(guān)聯(lián)起線段、射線和直線的內(nèi)在聯(lián)系。首先，借助擋板發(fā)現(xiàn)此時(shí)的光線可看作線段，再通過(guò)拿掉擋板，讓學(xué)生直觀想象出射線的模型，有效突破了本節(jié)課的重難點(diǎn)。在這樣直觀的模型基礎(chǔ)上，直線的認(rèn)識(shí)順其自然。片段2更是體現(xiàn)了這一點(diǎn)：通過(guò)簡(jiǎn)單的過(guò)兩點(diǎn)畫(huà)線的活動(dòng)關(guān)聯(lián)起所有線的知識(shí)。在開(kāi)放的活動(dòng)中，學(xué)生的不同想法得以展現(xiàn)，有線段、射線、直線、曲線、折線，不僅統(tǒng)整了三線的聯(lián)系與區(qū)別、各種連線的特征、兩點(diǎn)之間的距離等知識(shí)，還在不同作品的交流和比較中，打開(kāi)學(xué)生思緒的閥門(mén)，防止思維定式，培養(yǎng)發(fā)散思維。在片段3中，教師引導(dǎo)學(xué)生以運(yùn)動(dòng)的視角，從最基本的幾何圖形點(diǎn)開(kāi)始，呈現(xiàn)點(diǎn)到線、線段到面、射線到角的形成過(guò)程，關(guān)聯(lián)起所學(xué)的所有基本幾何圖形。

（三）立足“變”的實(shí)施：凝聚數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)

概念的“變”是指在概念由具體到抽象過(guò)渡的過(guò)程中，不僅提供肯定例證的一般形式，而且提供變更非本質(zhì)特征的變式，幫助學(xué)生從多個(gè)角度感受事物的本質(zhì)特征，摒棄非本質(zhì)特征，理解概念。變式也是中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)方式的特色，它的實(shí)施能凝聚數(shù)學(xué)核心概念的本質(zhì)。

比如，在片段1中，讓學(xué)生在紙上表征出射線的幾何圖形，通過(guò)收集學(xué)生的不同作品進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)不同射線作品的相同特征，即都是直的、都有一個(gè)端點(diǎn)、都是無(wú)限長(zhǎng)，從而抽象出射線的本質(zhì)特征，建立射線的幾何模型。又如，在片段2中，對(duì)于兩點(diǎn)之間的距離，除了直接的測(cè)量之外，還把真實(shí)情境與任務(wù)背后的真實(shí)世界直接當(dāng)作變式練習(xí)，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與生活之間的密切聯(lián)系。結(jié)合實(shí)際路線圖中千米數(shù)的分析，在實(shí)際中應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，加深“兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度才是兩點(diǎn)之間的距離”這一概念理解，同時(shí)培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)。

立足“類”的建構(gòu)、“聯(lián)”的統(tǒng)整、“變”的實(shí)施開(kāi)展結(jié)構(gòu)化教學(xué)，有助于學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)體系，有助于學(xué)生更快地實(shí)現(xiàn)知識(shí)和方法遷移，有助于學(xué)生更廣泛地進(jìn)行思維的發(fā)散，有助于學(xué)生深度學(xué)習(xí)的進(jìn)階和核心素養(yǎng)的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：3.