弧面分度凸輪機構六自由度剛柔耦合動力學模型的研究*

李成平

（陜西國防工業職業技術學院，陜西 西安 710300）

凸輪結構在自動機床、輕工機械和機電一體化產品中得到廣泛應用。當凸輪受輸入力的作用連續轉動時，會帶動分度盤周期性間歇運動，所引起的慣性載荷使從動件的運動規律發生變化，導致凸輪機構輸出的動態響應與理論值存在偏差。為了提高凸輪機構的定位精度和動態特性，需要在提高其零部件幾何精度的同時，充分研究凸輪機構的動力學問題，掌握最佳的激勵狀態。筆者針對弧面分度凸輪機構，結合機械振動力學和彈性力學知識，建立了一種等效的模型來有效模擬其實際情況，建立了六自由度剛柔耦合動力學分析的數學方程[1-2]，為弧面分度凸輪的動力學研究提供借鑒。

1 動力學模型的建立

1.1 剛柔耦合動力學模型

剛體動力學假設所有構件都是剛體，從而進行動力學分析，過程相對簡單，但難以模擬機構受力后的動態響應。柔性動力學考慮構件本身的彈性，從而對其進行動力學分析，能更加真實地還原機構的動態響應情況，但在分析過程中需要將彈性體拆分為多個自由度的離散系統，增加了系統的求解參數，動力學分析方程的求解難度也大大增加[3]。

充分考慮剛體動力學求解難度小、柔性動力學接近真實情況等特點，將精度要求較高或者高速工況下較容易發生變形的構件假設為彈性體，將不容易發生變形或者變形對輸出結果影響較小的構件假設為剛體，構建由彈性體和剛性體組成的機械系統，從而進行動力學分析。這樣不僅最大限度地模擬了機構實際動態性能，而且降低了動力學模型方程的建立與求解難度。

1.2 柔性動力學模型的建立

弧面分度凸輪機構由輸入軸、凸輪、分度盤、滾子、輸出軸、工位盤等組成。根據結構特點，采取質量集中的方法，把弧面凸輪分度機構離散為有3 個質量點和6 個自由度的系統，3 個質量點分別集中于弧面分度凸輪機構的分度盤、凸輪和載荷盤上。該系統的每個質量點均具有質量m、剛度k和阻尼C。考慮凸輪扭轉振型、分度盤與載荷盤的扭轉與平動振型，建立該機構動力學模型[4-7]，如圖1 所示。

圖1 弧面分度凸輪機構柔性動力學模型

弧面分度凸輪機構的輸出軸為細長軸，容易發生變形；其凸輪和分度盤的長徑比相對較小、剛度相對較大，變形通常可以忽略。

1.3 剛柔耦合動力學模型的建立

根據剛柔耦合動力學模型的相關研究方法，弧面分度凸輪機構的輸出軸為回轉體，具有一定的長度，運動過程中會發生扭轉變形和彎曲變形，直接影響分度盤的定位精度，在動力學分析時需要考慮；凸輪與滾子嚙合部位的撓度相對較小，為簡化動力學模型，降低分析難度，彎曲變形可以忽略；輸入軸較短且長徑比較小，剛度相對較大且不易發生變形，可以忽略不計。因此，在弧面分度凸輪機構的剛柔耦合動力學模型建立過程中，可以將輸出軸與載荷盤認定為柔性體，將輸入軸、凸輪、分度盤等構件認定為剛體，即在研究弧面分度凸輪機構動力學時，只需針對其輸出系統開展研究。同時，載荷盤安裝在輸出軸上，根據質量集中法，可將兩者集中為一個等效質量點，假設等效質量點構件質量為m，建立輸出系統動力學模型，如圖2所示。

圖2 弧面分度凸輪機構輸出系統動力學模型

在弧面分度凸輪機構輸出系統動力學模型中，等效質量體在坐標系中有六個自由度，分別是x、y、z三個坐標軸的軸向振動和繞軸轉動。其中，質量體繞x、y、z三個軸的轉動慣量分別為Jx、Jy、Jz，由于載荷盤與輸出軸為繞z軸的回轉體，故Jx≈Jy。

根據弧面分度凸輪機構輸出系統等效質量體動力學模型，建立其動力學方程[8-10]。輸出系統動力學模型中存在的扭轉變形會產生非線性因素，因此對其進行線性處理：

其中，τ、.τ、..τ分別為機構輸出系統等效質量體的理論轉角、角速度與角加速度；qx、qy、qz分別為機構輸出系統等效質量體繞x、y、z軸的等效轉角；θx、θy、θz分別為機構輸出系統等效質量體繞x、y、z軸的實際轉角。

由于等效質量體的等效轉角很小，可等效為線位移。因此，qx=θx-τ(θ)；qy=θy-τ(θ)；qz=θz-τ(θ)。

x、y、z，kx、ky、kz，kθx、kθy、kθz分別為機構輸出系統等效質量體在x、y、z方向線位移、等效抗彎剛度、等效扭轉剛度；Cθz為等效質量體繞z軸轉動的阻尼系數。

由于載荷盤與輸出軸為繞z軸的回轉體，所以其在x、y方向的等效抗彎剛度與等效扭轉剛度相似。故kx≈ky，kθx≈kθy。

1.4 動力學模型數學方程的建立

建立弧面分度凸輪機構的系統動力學方程：

將式（2）至（7）代入式（8）中，得到該機構動力學方程的參數矩陣。

1）廣義坐標矩陣：

在圖1 所示的弧面分度凸輪機構柔性動力學模型中，當凸輪順時針轉動時，凸輪和分度盤的嚙合作用會帶動分度盤逆時針轉動。以坐標軸的正方向移動為線位移正向，沿坐標軸的逆時針方向為轉角正向。

2）質量矩陣：

3）阻尼矩陣：

弧面分度凸輪機構在實際工作過程中存在多種阻尼，通常情況下，該類阻尼對輸出的影響較小，可不做研究；但當激振頻率接近機構的固有頻率時，可能會出現共振的現象，其影響會顯著增強，阻尼的影響也必須考慮，其振型為：

按振型阻尼處理可得：

4）慣性載荷矩陣：

在弧面分度凸輪機構輸出系統中，載荷的形式主要有慣性力和摩擦力。該機構屬于高精密零件，摩擦力很小，可以忽略，因此只考慮慣性載荷，其慣性載荷矩陣為：

5）剛度矩陣：

1.5 動力學模型的固有頻率計算

根據以上動力學方程和參數，采用模態疊加法，將時間離散為單元時間，并將凸輪機構視為定常系統，以此求解式（8）的矩陣方程：

求解方程（16），可得各階固有頻率ωr和對應的各階振型矢量?r(r=1,2,…,n)，n為振型數，在弧面分度凸輪機構輸出系統中，n=6。

求解以上方程，得弧面分度凸輪機構的固有頻率方程：

2 結論

筆者以機械振動理論和剛柔耦合理論為基礎，綜合考慮弧面分度凸輪機構各結構彈性變形對其動力學的影響，建立了弧面分度凸輪機構六自由度動力學模型和固有頻率的求解方程，為此類機構進行動力學分析提供了參考。