提高學生對數學符號的理解及運用能力

黎淑儀

一、案例背景

數學家羅素說過：“什么是數學？數學就是符號加邏輯。”符號性是數學學科的特質，數學符號是數學的基本語言，是數學知識和數學思維方法的載體。教師往往比較重視運算，忽視了學生對符號的理解及運用，培養學生運用符號的意識比較薄弱。學生雖然每天都在和符號打交道，但深層次理解符號思想的并不多，大部分學生沒有體會到數學符號應用的意義，學生自主運用符號的能力還沒有達到課標要求。

從符號意識概念的轉變過程來看，《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》指出“符號感主要表現在：能從具體情境中抽象出數量關系和變化規律，并用符號來表示；理解符號所代表的數量關系和變化規律；會進行符號間的轉換，能選擇適當的程序和方法解決用符號所表達的問題”。《義務教育數學課程標準（2011年版）》修改為“符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式”。《義務教育數學課程標準（2022年版）》則指出“符號意識主要是指能夠感悟符號的數學功能，知道符號表達的現實意義；能夠初步運用符號表示數量、關系和一般規律；知道用符號表達的運算規律和推理結論具有一般性；初步體會符號的使用是數學表達和數學思考的重要形式，符號意識是形成抽象能力和推理能力的經驗基礎”。從“符號感”到“符號意識”的改變，不僅是改換了一個表述，而是鮮明地體現了“主動”和“被動”的差異，數學符號對于學習者來說主要的不是潛意識、直覺或感覺，而是一種主動的使用符號的心理傾向，是一種自覺的心理活動。更加側重符號在現實情境中的意義和運用，有利于學生分析問題和理解問題能力的提高，對學生高階思維能力的形成以及核心素養的提高有著推動作用。“解決‘之間有幾個的問題”一課來源于人教版教材一年級上冊第六單元，其教學定位是讓學生靈活地解答“之間有幾個”的簡單問題，體會策略的多樣性，積累解決問題的經驗。通過對案例中兩個教學片斷的研究，揭示這一素材在數學符號方面所蘊含的深刻數學思想及內涵。

二、教學片斷

（一）片斷一：初步感知，掌握基本方法

例題：在一列隊伍中，小麗排第10，小宇排第15，小麗和小宇之間有幾人？（出示圖例）

師：從題目中你知道了什么？要解決什么問題？你是怎樣解決的？

生1：我知道小麗排第10，小宇排第15。問題是“小麗和小宇之間有幾人？”

生2：從前向后數，小麗排在第10位，她前面有9人。

生3：從前向后數，小宇排在第15位，他前面有14人。小麗在小宇的前面。

師：“之間”又是什么意思？小麗和小宇要數嗎？

生：小麗和小宇之間就是不包括小麗和小宇。

生4：不數，所以我從小麗后面一個開始數，應該是4人。

生5：我直接從第11開始數，11、12、13、14，也能數到他們之間有4人。

師：我們可以用“數一數”的方法，解決這一類的問題。

【設計意圖】學生剛接觸解決問題不久，從具體情境中抽象出問題并解決問題的能力還比較薄弱。充分利用主題圖呈現生活情境，幫助學生把抽象的問題具體化、直觀化，有利于學生對基數與序數的理解。讓學生經歷從現實生活或具體情境中抽象出數學問題的過程。激活學生舊知的經驗，以最簡單易懂的“數數法”解決問題，讓學生獲得解決問題的基本經驗和方法，從而提高學生分析和解決問題的能力。

（二）片斷二：拓展延伸，內化規律

1. 自主探究解決問題的方法，體會畫圖、運算等“符號化”過程

師：還可以怎么解決“小麗和小宇之間有幾人？”這個問題？請在四人小組內交流討論，找出更多的解決方法。

生1：可以用15－10＝5（人）計算。

學生受之前解決問題的列式計算影響，直觀地以為用“大數減小數”就能解決。這時教師不要急著否定他們，而是給學生自主開展深入的考究與辯證。

生2：他們算的5人不對，因為我們組用數的方法，得出結果是4人。

于是該組同學請了15個同學出來排一排，經實操再次驗證，發現第10與第15之間確實只有4人。

生3：我們組是這樣想的，小麗和小宇之間不包括小麗和小宇。小麗排在第10，我就從第11開始數，11、12、13、14。所以他們之間有4人。

生4：我們組是用畫圖的方法，用“O”代替人，從第10開始畫一畫，畫到第15，再數數就知道是4人了。

……

2. 以學生最常見的錯誤資源，拓展類推，引出字母符號的使用

師：為什么剛才用15－10＝5（人）不對呢？15－10表示什么？

生：用15減10，表示求出第10個后面有幾人。而后面的人中不包括15，所以還要減去第15這一個，即5還要再減1。

板書算式：15－10－1＝4（人）

師：如果把題目改成第7個與第16個之間有幾人？你會算嗎？

生：16－7－1＝8（人）

師：第3個與第19個之間有幾人呢？

生：19－3－1＝15（人）

……

教師引導學生觀察發現，并推導總結方法：只要求出兩個序數的差再減1，就可以求出它們之間有幾個了。

拓展了解用字母表示數，讓學生用列式計算的方法概括解決這類問題的方法，為以后的“植樹問題”積累經驗。

歸納小結：求兩個數之間有幾個數，我們可以用數數法、畫圖法，還可以用計算法。解決問題時可以選擇你最容易理解、最喜歡的方法。

【設計意圖】注重培養學生從圖中獲取信息、提出問題、分析問題的意識和能力，鼓勵學生小組合作探究不同的解決問題的策略方法；注重讓學生經歷從數具體物體的數量到用抽象的數字來表示的學習過程，理解作為符號的數字所表示的含義，為以后學習“用字母表示數”鋪墊；抓住課堂生成的契機，引導學生對數學問題“符號化”，逐步體會用數、圖形將實際問題“符號化”的優越性、直觀性、簡約性；體驗從具體情境中抽象出數量關系和變化規律、從特殊到一般的探索和歸納過程，建構與積累符號意識。

三、教學分析

下面是執教者就“解決‘之間有幾個的問題”這一實踐案例，談談對小學數學在解決問題教學中的實踐思考，主要圍繞“符號意識”的培養策略進行簡要闡述。這也為今后開展小學數學解決問題的教學積累經驗，并有效地服務于日常教學。

（一）挖掘生活經驗，增強符號的親切感

學生對于數學符號意識認知不強烈的主要原因在于數學符號是抽象的，學生在生活中很少使用。想要培養學生的符號意識，就要將數學符號融入學生的日常生活，讓數學符號變得更加貼近生活，更加富有親切感。如：本課以排隊這一熟悉的生活情境引入要解決的問題“小麗和小宇之間有幾人？”借助形象、直觀的生活情境圖，緊密聯系生活，加強學生對數學符號的親切感，促進學生對于數學符號的靈活運用，減少其與數學符號的距離。

（二）明確內涵實質，提高符號的理解能力

在日常的教學中，教師應加強學生對數學符號所表示的意義的理解。例如對一些枯燥無味的概念或者公式定律，教師可以根據其發展歷程及相關的有趣故事來引起學生對這些數學符號的學習興趣。也可以通過引導學生一起推導新的公式，增強學生的參與感，加深學生對數學符號的印象。對于一些相近的或辨識度不高的符號，則需要通過對比的方法揭示各自的本質，從而加深學生對于數學符號的識別能力，使得學生能正確的使用數學符號。如：在學生用列式計算的方法解決問題后，再一起推導概括出這三個問題的計算公式b－a－1、b－a、b－a＋1，比較它們之間的區別，加深理解和記憶。

（三）積累數學語言，提升符號的表達能力

基于研學后教3.0課堂教學改革理念下，日常的課堂教學更注重引導學生自主學習、主動思考、主動合作探究，有利于學生積極表達自己的觀點，發展學生的語言表達能力與合作交流能力，為學生提供更寬廣的認識與交流符號知識的平臺。幫助學生學會在數學問題中提取有用的數學信息，轉化成數學語言，并將煩瑣的題目文字符號化。用數學符號的方式準確地表達題意，引導學生通過數學語言轉化為更易理解的數學方式，掌握必要的數學語言，提升學生的符號表達能力。

（四）解決數學問題，培養符號的運用能力

充分利用實際問題情境，幫助學生建立符號模型解決問題，觸發學生符號意識的強烈要求，而“問題解決”是檢測符號運用的方法之一。解決問題的第一步就是將問題“符號化”，逐步引導學生經歷“具體情境→抽象的符號表示→深化應用”這一過程，并在實際問題中促進符號意識的形成。因此，在“解決‘之間有幾個的問題”教學時，讓學生充分地經歷分析問題、解決問題和檢驗回顧的一般過程，積累經驗，并注重引導學生多角度思考問題，針對學生學習水平進行多元化的培養，讓學生根據自己的能力，選擇更合適的數學方法來解決數學問題，提高數學符號的運用能力。

通過組織開展“解決‘之間有幾個的問題”一課的教學，讓學生更深入體會到數學符號是數學的基本語言，是人們進行數學表示、計算、推理、交流和解決問題的思維工具。數學符號有利于促進思維的“自由”創造，通過給思維對象以符號，化繁從簡、提煉本質，體會符號創造的過程。學生符號意識的培養應貫穿于數學學習的整個過程中，并要從低年級抓起，使學生從小就習慣用數學符號解決實際問題和數學本身的問題，給學生埋下符號意識的種子。培養和發展學生的符號意識，理解符號化的意義，是促進數學思考、提升數學素養的需要，為他們今后的數學學習打下扎實的基礎。