探究圓柱體積公式的推導過程

涂賀蘭

一、教學內容

義務教育教科書數學六年級下冊第三單元P25“圓柱的體積”。

二、教材簡析

圓柱是一種含有曲面的幾何體，對學生認識體積和計算增加了難度。教材將本課學習安排在圓柱的認識和圓柱的表面積之后。讓學生有序地經歷了探究物體與圖形的形狀、大小、位置關系的變換過程，掌握圓柱體積的計算方法和公式的推導過程，建立初步的空間概念，培養形象思維，還可以為學習圓錐體積打下堅實的基礎，提高學生的知識遷移能力。

三、學情分析

高年級學生發現問題、解決問題能力逐步增強，這為學生的自主探究及合作學習創造了有利條件，他們已經掌握了一些幾何知識，了解部分幾何圖形之間的轉化方法。但學生的立體空間觀念還不是完全成熟，形體之間的轉化還有一定的困難。針對學生的實際，教學中筆者主要采用觀察、比較、操作等方法。組織學生探索規律，歸納總結，體驗知識的生成和形成。

四、教學目標

1. 經歷圓柱的體積計算公式的推導過程，掌握圓柱的體積計算公式。

2. 能正確運用圓柱的體積的計算公式進行計算。

3. 在探究圓柱體積的計算公式過程中，體會轉化的數學思想方法；再次感受極限的思想。

五、教學重難點

教學重點：正確計算圓柱的體積

教學難點：理解圓柱體積公式的推導過程

六、教學準備

學具（圓柱展開圖）、多媒體課件等。

七、教學過程

（一）回顧舊知，做好知識遷移

1. 我們已經認識了圓柱，也學習了圓柱的表面積，今天這節課我們來學習圓柱的體積，（板書：圓柱的體積）什么是圓柱的體積？（圓柱所占空間的大小就叫作圓柱的體積）

2. 我們學過哪些立體圖形的體積計算公式？（長方體和正方體，長方體的體積＝長×寬×高；正方體的體積＝棱長×棱長×棱長）誰還有補充？（統一的計算公式是底面積×高）

3. 我們先來看看圓柱、長方體和正方體有什么聯系和區別？我們能不能把圓柱的底面轉化成長方形或者正方形呢？回憶我們在推導圓面積公式時是怎樣做的？

【設計意圖】復習題與新知識聯系緊密，針對性強，既檢查了學生對舊知識的掌握情況，有利于調節教學過程，又為學習新的知識作好了鋪墊。設疑激趣，激發學生探求新知的欲望。

（二）小組合作探究，體會“轉化”的數學思想方法，體驗“極限思想”

1. 學生動手操作，完成下面的兩個問題。（教師為每個同學準備了一個學具模型，同學們帶著問題邊動手操作邊思考）

①把圓柱的底面分成許多相等的扇形，把圓柱切開，再拼起來得到一個近似的（? ? ? ），比較切拼前后的圖形，發現（? ? ? ）變了，（? ? ? ）沒變。

②拼成的近似的長方體的底面積相當于圓柱的（? ? ? ），高相當于圓柱的（? ? ? ）。

小組交流匯報。

2. PPT演示將圓柱形分成16等份、32等份、64等份。

思考：①分的份數越多，每一份就會越小，拼成的圖形就會越接近一個什么圖形？②所以要計算圓柱的體積可以轉化成計算什么圖形的體積？

3. 推導圓柱的體積公式。

（1）因為長方體的體積＝（底面積）×（高）

所以圓柱的體積＝（底面積）×（高）

V＝sh

V＝πr2h

（2）讀背公式并理解記憶。

（3）計算圓柱的體積需要什么條件？如果題目給的是半徑或直徑呢？

【設計意圖】采用以小組合作探究的學習方式進行數學活動，學生親自動手實驗，使聽覺、視覺、觸覺等各種感官一起參與活動，通過自己親自動手操作，努力去探索圓柱體積與長方體之間的聯系，充分調動學生各種感官，完成從操作→觀察、比較→歸納推理的認知過程，讓學生通過自己動手、動腦得到結論。這樣的學習，既發揮了教師的主導作用，又充分體現了學生的主體作用。體會轉化的數學思想方法，再次感受極限的思想。

（三）鞏固練習

1. 計算下面各圓柱的體積。（后面兩題的單位是cm）

2. 李家莊挖了一口圓柱形水井，地面以下的井深10m，底面直徑為1m。挖出的土有多少立方米？

【設計意圖】這組練習題主要讓學生熟悉運用公式正確計算圓柱的體積，運用所學的知識解決生活中的實際問題，在運用新知識解決實際問題的過程中體驗到成功的喜悅和樂趣。

（四）全課小結

談談你的收獲。

【設計意圖】用“你學到了什么？通過什么方法學到的？”來引導學生從知識性的收獲和解決問題的方法的收獲兩方面進行課堂小結，可以幫助學生疏理所學知識、激發他們展開豐富的想象，使之感受到數學知識的無窮奧妙，也為以后的數學學習做準備。

（五）堂上檢測

1. 做一個圓柱形的油桶，求用多少鐵皮？是計算油桶的（? ?）；求能裝多少油，要計算油桶的（? ?）；求占多大的地，是計算油桶的（? ?）；在油桶的四周貼上商標紙，是計算油桶的（? ?）。

A. 底面積? ?B. 側面積? ?C. 表面積? ?D. 容積

2. 一根圓柱形木料底面積為75cm2，長90cm，它的體積是（? ?）cm3。

3. 一個圓柱形的零件，底面半徑是5cm，高是8cm。這個零件的體積是（? ?）cm3。

【設計意圖】這組小測題，主要讓學生分清什么時候是求底面積、側面積、表面積、體積（容積），檢測學生對圓柱體積公式的掌握情況。

（六）研學拓展

把一根長15分米的圓柱形鋼材截成三段后，如圖，表面積比原來增加9.6平方分米，這根鋼材原來的體積是多少？

八、板書設計

圓柱的體積

長方體的體積＝底面積×高

圓柱的體積＝底面積×高

V＝sh

V＝πr2h

九、教學反思

課一開始，筆者用了一系列的問題引起學生的思考：什么是圓柱的體積？回憶長、正方體的體積是怎么求的？找出圓柱與長、正方體有什么聯系與區別？引導學生回想圓面積計算公式的推導過程。引導學生運用類比，提出能否把圓柱轉化成我們學過的某種立體圖形來推導出體積計算公式呢？既檢查了學生對舊知識的掌握情況，有利于調節教學過程，又為學習新的知識作好了鋪墊。由于復習鋪墊較多，導致后面的時間較緊，在下次的教學中，是否可以直接進入主題：“能否把圓柱轉化成我們學過的某種立體圖形來推導出它的體積計算公式呢？”引起學生的思考。

接著讓學生動手操作，通過操作，把圓柱轉化成近似長方體后，觀察前后各部分的對應關系，讓學生在小組內說說什么變了？什么沒變？自主推導出圓柱的體積計算公式。推導出公式，立即讓學生記憶公式，讓學生說說計算體積需要什么條件？在這個環節創設情境讓學生親自動手操作，努力去探索圓柱體積與長方體之間的聯系，充分調動學生各種感官，完成從操作→觀察、比較→歸納推理的認知過程，最后自主推導出圓柱的體積計算公式。在教學中對于學生的發現（什么變了？什么沒變？）分析得不是很透徹，教師最好也準備2個圓柱的展開圖，便于學生觀察理解轉化前后的聯系。