基于HPM視角的模型思想融入高中數學教學的應用研究

洪銳敏

［摘 要］文章通過回顧中國古代數學的輝煌發展歷程，挖掘其中富含數學思想的部分，以祖暅原理為例，基于HPM視角，對模型思想融入高中數學柱體和錐體體積公式的推導及教學進行研究，并從教學設計和教學實施兩個方面給出教學建議：教師在進行教學設計時，應結合教材并深挖數學史中的數學模型進行二度創造，在教學設計層面將模型思想融入教學活動中；教師在進行教學時重在讓學生明確數學模型的形成過程和適用條件，讓學生體會從具體到抽象、從特殊到一般的研究過程，引導學生形成模型思想和對策思維，提高學生解決問題的能力。

［關鍵詞］ HPM；模型思想；祖暅原理；數學史

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）09-0022-04

一、問題的提出

2022年5月，我國教育部發布了2022年版的《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下稱“新課標”）。新課標在2011年版課標的基礎上提出數學課程要培養學生的核心素養，其中初中階段要培養學生包含模型觀念在內的九大核心素養［1］?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（2017年版2020年修訂）》提出，數學課程要培養高中生包括數學建模在內的六大數學學科核心素養［2］。模型觀念和數學建模都強調了模型思想在數學學習過程中的重要性。在我國教育改革工作推進的過程中，學者們對模型思想的研究較多，但對基于HPM視角的模型思想融入高中數學教學的應用研究并不多見。鑒于模型思想與數學史和數學教育的緊密聯系，所以，有必要對基于HPM視角對模型思想融入高中數學教學進行研究，為一線教師的教學和育人提供一定的參考。

二、概念的界定

HPM，即數學史與數學教育（History & Pedagogy of Mathematics），是數學教育中探索數學史與數學教育關系的一個研究領域［3］。HPM涉及數學史、數學教學實踐和數學教師隊伍建設等細節問題，既要在教學方式上注重數學史與數學教學的結合，又要大力提高數學教師的歷史意識和素養［4］。HPM能夠賦予數學以人文因素，有助于增強數學在社會發展中的作用。其中，數學史研究數學概念、數學方法和數學思想的起源與發展，及其與社會政治、經濟和一般文化的聯系［5］；數學教育是研究數學教與學的實踐和方法的學科。

模型思想是指學生在解決實際問題的過程中，能從認知結構中將問題抽象為數學問題，并運用所習得的數學模型、數學思想解決實際問題的能力。模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題并進行模型假設，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學生學習數學的興趣和應用意識［6］。

三、基于HPM視角的模型思想融入高中數學教學的研究過程

（一）在數學教學中滲透數學史的必要性分析

數學作為重要的基礎學科之一，具有悠久的歷史。我們必須充分認識到數學史研究對于當前數學教育的重要意義。數學是一門歷史性很強的學科，數學的發展建立在先前數學家取得的研究成果之上，是對原先理論的包容和擴展。例如，對于數的理論，德國數學家高斯說：“數學是科學的皇后，數論是數學中的皇冠?！碑呥_哥拉斯學派從重視正整數開始，逐步擴充了正分數、負整數、負分數。正整數和正分數統稱為正有理數，負整數和負分數統稱為負有理數；正有理數、零和負有理數統稱為有理數。畢達哥拉斯學派弟子希伯索斯最早發現了無理數的存在。有理數和無理數統稱為實數。為了解決一個數的平方等于負數在實數域內無解的問題，意大利學者卡爾達諾在16世紀首次引入復數的概念，后來經過達朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的研究，復數的概念才逐漸被數學家們所接受。由此可見，數學史是人類歷史文明的一部分，是數學家們集體智慧的結晶。只有在數學教學中滲透數學史，才能讓學生了解數學的來龍去脈，體會數學家們克服重重困難戰勝數學危機的奮斗歷程，感悟數學發展的艱難和曲折，進而激發學生學習數學的興趣，提高學生發展數學的信心。

（二）在數學教學中培養學生模型思想的必要性分析

知名學者史寧中教授認為，迄今為止，數學發展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理、模型［7］。模型在高中數學教材中無處不在，例如三角函數模型、基本不等式模型、指數函數模型、對數函數模型等。數學教學不僅要教給學生數學的基本概念和定理，而且要教給學生在解決問題過程中所運用的數學思想和方法，從而提高學生解決問題的能力。解決問題是數學應用的落腳點，數學思想和方法是對解決問題這一過程的提煉和升華。解決問題的關鍵在于將實際問題轉化為數學模型，然后利用相應的知識進行求解。因此，在數學教學中培養學生的模型思想，對提高學生的問題解決能力，讓學生形成數學應用意識，具有深遠的意義。

（三）中國古代數學史的輝煌成就

中國古代數學以“算”為中心，表現出強烈的“算法”精神，形成了為解決一整類實際或科學問題而概括出來的、帶有一般性的計算方法，這使得中國古代數學在14世紀以前相當長的一個時期內處于世界領先水平。中國古代數學有三次發展高峰：第一次高峰是以《周髀算經》和《九章算術》為代表的兩漢時期，《周髀算經》的勾股定理和《九章算術》的正負術、開方術是這一時期幾何與代數的代表；第二次高峰是以劉徽的《九章算術注》和祖沖之、祖暅父子的《綴術》為代表的魏晉南北朝時期，劉徽的“割圓術”、體積理論和祖沖之的圓周率、祖暅原理與球體積理論是這一時期數學證明理論的代表，這一時期是中國古代數學唯一出現數學論證傾向的時期，但這種數學論證傾向隨著這一時期的結束而中斷；第三次高峰是以秦九韶的《數書九章》、李治的《測圓海鏡》、楊輝的《詳解九章算法》、朱世杰的《四元玉鑒》為代表的宋元時期，這一時期是中國古代數學發展的頂峰時期。

（四）模型思想融入高中數學教學的應用研究

根據以上分析可知，魏晉南北朝時期是中國古代數學唯一出現數學論證傾向的時期，祖沖之、祖暅父子在劉徽“割圓術”、體積理論數學思想和方法的基礎上進行推進與發展，提出了圓周率、祖暅原理與球體積理論。祖暅球體積的計算和推導繼承了劉徽的思路，即從計算“牟合方蓋”的體積來突破，在其計算過程中提出祖暅原理，即“冪勢既同，則積不容異”，“冪”指水平截面積，“勢”指高。祖暅原理用自然語言可描述為：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。祖暅原理要比其他國家早發現一千多年，直到1635年，意大利數學家卡瓦列里才得出上述結論。祖暅原理可通過以下例子來證明：假如桌面上有2沓相同數量的A4紙，無論A4紙是疊成直棱柱還是斜棱柱，其體積都等于A4紙的面積乘以直棱柱或斜棱柱的高。

祖暅原理，即“等體積模型”（下稱“祖暅模型”），只要保證兩個等高的立體圖形在每個高度的截面面積處處相等，就可以得到這兩個立體圖形的體積相等的結論。在人教版高中數學A版必修二第八章第三節“簡單幾何體的表面積與體積”［8］的教學中，可將祖暅模型融入幾何體的體積公式的推導過程。例如對柱體和錐體體積公式的推導及教學。但在日常教學過程中，由于高中數學的教學任務較重，教師為了加快教學進程，常常將柱體和錐體的體積公式直接告訴學生，讓學生通過機械記憶來掌握柱體和錐體的體積公式，缺少引導和探究的過程。這樣學生習得的知識只知其然而不知其所以然，死記硬背的效果較差，容易隨著時間的推移而淡忘。因此，應重視學生知識的發生和內化，將祖暅模型融入柱體和錐體的體積公式的推導過程中，讓學生通過祖暅模型來掌握柱體和錐體體積公式的推導過程，進而培養學生的模型思想，使學生能夠運用模型思想來解決實際問題。

對于柱體體積公式的推導，可將底面積都等于[S]，高都等于[h]的任意一個多棱柱、圓柱和長方體放置在同一平面上，由棱柱、圓柱、長方體的定義可知，棱柱、圓柱、長方體在每個高度的截面面積處處相等，根據祖暅模型，可得多棱柱的體積[V1]，圓柱體的體積[V2]，長方體的體積[V3]之間的關系為：[V1=V2=V3]，又由于長方體的體積[V3=Sh]，故[V1=V2=V3=Sh]，進而可得到高中階段常見多棱柱的體積公式如下。

對于錐體體積公式的推導，可將底面積都等于[S]，高都等于[h]的任意一個多棱錐和一個圓錐放置在同一平面上，設任意一個平行于底面且距離底面為[h0]（[0

綜上所述，在柱體和錐體的體積公式的推導教學過程中，教師應先闡述清楚祖暅模型的基本內涵，讓學生明確祖暅模型的形成過程和適用條件，進而建立起知識點與祖暅模型之間的聯系，并運用祖暅模型來解決問題。教師應將模型思想融入教學過程中，使得學生對柱體和錐體體積公式的記憶是基于祖暅模型而生發的，這是一種有意義的學習和記憶方式，在打破學生的認知結構之后又通過模型思想保持了認知結構的完整性，記憶效果較好。教師將模型思想融入教學，既讓學生了解中國古代數學的歷史，認識到數學的文化價值，增強了學生的民族自豪感，又讓原本略顯枯燥乏味的高中數學課堂變得活潑生動，有利于學生理解和接納模型所包含的數學思想，提升學生的數學建模核心素養。

四、研究結論

本文通過回顧中國古代數學史的輝煌發展歷程，挖掘其中富含數學思想的部分，以祖暅原理為例，基于HPM的視角，對模型思想融入高中數學柱體和錐體的體積公式的推導及教學進行研究，說明了基于HPM視角的模型思想融入高中數學教學的必要性和可行性，為一線教師的教學和育人提供一定的參考。

教師在進行教學設計時，可結合教材內容進行二度創造，深挖數學史中的數學模型，例如函數模型、幾何模型、方程模型等，將模型思想融入教學中，從教學設計上體現對培養學生運用模型思想來解決問題的重視。

教師在教學過程中，應闡述清楚數學模型的基本內涵，包括數學模型是怎樣從具體問題中抽象出來的，重在讓學生明確數學模型的形成過程和適用條件，讓學生體會從具體到抽象、從特殊到一般的推理過程，引導學生形成模型思想和對策思維，能運用所學到的數學模型解決實際問題，真正做到學以致用。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］? 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］? 汪曉勤.HPM： 數學史與數學教育［M］.北京：科學出版社，2019.

［4］? 許晶，李淑文.HPM視角下數學史融入高校數學教育實踐研究：評《HPM： 數學史與數學教育》［J］.教育發展研究，2020（8）：87.

［5］? 李文林.數學史概論［M］.北京：高等教育出版社，2021.

［6］? 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2011年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［7］? 史寧中.數學思想概論［M］.長春：東北師范大學出版社，2008.

［8］? 章建躍，李增滬.普通高中教科書：數學選擇性必修第二冊［M］.北京：人民教育出版社，2019.

（責任編輯? ? 陳? ? 明）