導數恒成立問題探究

北京大學元培學院(100871)裴曉樂

北京市第一七一中學(100011) 王楨宇

大學假期,那是必須要回到高中拜訪老師的.適逢王老師的班級剛剛考完豐臺期末,陪著老師一起判試卷的過程中,聊到了如下話題.

師:“曉樂,導數解答題里你感覺什么最難?”

生:“恐怕非找點莫屬了吧,每次都是懷著忐忑的心情,動用洪荒之力把點找出來,真是沒有信心,后來做題多了,總結一些方法才不再畏懼它了”

師:“是嘛,還總結了方法,那必須得給學弟學妹們分享一下了.”

生:“沒問題呀,我也是一孔之見,您給補充啊!”

師:“好的,你做做這道豐臺期末,然后替我去上節復習課吧.”(筆者很快完成試題解答)

師:“大學上了半年,再回看高中數學是不是很容易呀?”

生:“那也沒有,不過學了數學分析再看導數題,確實有些不一樣的視角了!”

師:“太好了,這正是同學們需要的,抓緊備課,明天進班分享!”

過程就是這樣,我進行了認真的準備,希望把我對導數的認識更全面的呈現出來,課后在老師的鼓勵下,記錄成就此文.

1 試題再現

(2022 豐臺區高三第一學期期末試卷,第19 題)

已知函數f(x)=x2-alnx(a∈R 且a≠0).

(I)當a=1 時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

(II)若f(x)≥0 恒成立,求a的取值范圍.

2 參考答案

解: (I)略

(II)因為f(x)=x2-alnx(a∈R 且a≠0),所以x∈(0,+∞).當a＜0 時,f′(x)＞0,所以f(x)在(0,+∞)上單調遞增.取則-1＜0,不符合題意.當a＞0 時,令f′(x)=0,解得x=或x=(舍).當時,f′(x)＜0,所以f(x) 在區間上單調遞減.當x∈時,f′(x)＞0,所以f(x)在區間上單調遞增.所以f(x)在(0,+∞)上的最小值為若f(x)≥0 恒成立,只需解得0＜a≤2e.

綜上所述,a的取值范圍是(0,2e].

3 答案分析

該題難度不大,講評時可見大多數學生選擇的是這種方法,解題過程沒有問題,大家的疑問主要集中在這步,x=是如何想到的,為此我也探究了一下該點的來龍去脈,并且也找了其它的點進行解法對比,因為f(1)＞0,所以明確問題是: 當a＜0 時,找到x0∈(0,1)使得f(x0)＜0

3.1 找點方法1: 區間放縮找點

因為x∈(0,1),所以f(x)=x2-alnx＜1-alnx,令1-alnx=0,解得所以滿足f(x0)＜1-alnx0=0.

這正是參考答案給出的點,在此解答一下同學們的疑問,當然有許多同學是直接猜測的該點,也很不錯,其實筆者高三做這類題目時也通常從猜點開始.

3.2 找點方法2: 切線放縮找點

在課本習題中我們曾經證明過這個結論lnx≤x-1,也知道y=x-1 是y=lnx在點(1,0)的切線,下面應用該式放縮.因為f(x)=x2-alnx＜x2-a(x-1),令x2-a(x-1)=0,解得x0=因為a＜0,所以a2＜a2-4a＜a2-4a+4,所以-a＜＜=2-a,即0＜＜1,所以?x0=∈(0,1),滿足f(x0)＜x20-a(x0-1)=0.類似放縮也常選擇ex≥ex,ex≥x+1,≥lnx這些不等式.

3.3 大學視角再解題

我學習的教材是北京大學出版社的《高等數學》[1],上冊第203 頁講到了這樣一個定理:

定理2設函數y=f(x)在區間(a,b)內有一階導數,x0∈(a,b)是它的一個穩定點,且f在x0處有二階導數.若f′′(x0)＜0 時,則x0為極大值點; 當f′′(x0)＞0 時,則x0為極小值點.

所以從大學視角來看,本題a＞0 時也可以如下求解:

解當a＞0 時,令f′(x)=0,解出穩定點x=又因為f′′(x)=,所以=4＞0,所以x=處取到極小值.若f(x)≥0 恒成立,只需解得0＜a≤2e.

4 一題多解

4.1 參變分離

對于含參討論較為復雜的問題,我們也可以選擇參變分離,其優勢在于不需要討論參數,劣勢是分離后的函數一般較為復雜.

解①當x∈(0,1)時,x2-alnx≥0?a≥令g(x)=則g′(x)=當x∈(0,1)時g′(x)＜0 恒成立,所以g(x)單調遞減.當x→0 時g(x)→0,即x∈(0,1)時,g(x)＜0,所以a＞0.

②當x∈(1,+∞)時,x2-alnx≥0?a≤,g(x)在單調遞減,在單調遞增.所以a≤2e.

③當x=1 時x2＞0 恒成立

綜上所述,a的取值范圍是(0,2e].

特別指出的是,當x→0 時,x2→0,lnx→-∞,所以g(x)=→0,這個比較容易判斷.如果是未定式型,則可以通過洛必達法則求極限,這是在一定條件下通過分子、分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法.

例如當a＞0 時,也可以分離為令這樣可以避免討論x范圍.若研究x→+∞時,t(x)的極限,在高中時候,我總是根據無窮遠處冪函數增長速度快于對數函數的思想,判斷t(x)的極限值為0,其實心里一直很忐忑,一是感覺沒有說清原因,再者總是擔心趨近某個定值會停下到不了0,直到大學學了洛必達法則以后,這些疑慮都打消了.計算可得

4.2 分成兩個函數

通常我們還可以把問題分成兩個簡單函數研究,如x2-alnx≥0?x2≥alnx,研究兩個函數的公切線.

4.2.1 分成兩曲線研究

設h(x)=x2,k(x)=alnx,當兩個函數相切時(圖1),設切點P(x0,y0),因為h′(x)=2x,k′(x)=且公切線斜率相等,所以,2x0=又有y0=x20,y0=alnx0,計算可知x0==e,a=2e,所以公切線為y=由圖可知0＜a≤2e 時,h(x)≥k(x)恒成立,下面嚴謹論證:

圖1

①當a＞2e時,所以不能恒成立.

②當a＜0 時,所以h(x)≥k(x)不能恒成立.

③當0＜a≤2e 時,若x∈(0,1],此時x2＞0≥alnx恒成立.

只需證x2≥-e≥2e lnx≥alnx在x∈(1,+∞)恒成立即可.因為x2-所以恒成立.下證-e≥2e lnx,令p(x)=-e-2e lnx.p′(x)=所以p(x)在上單調遞減,在上單調遞增,所以p(x)≥=0,所以-e≥2e lnx,又因為0＜a≤2e,所以2e lnx≥alnx在x∈(1,+∞)恒成立.

綜上所述0＜a≤2e 時x2≥alnx恒成立.

4.2.2 分成一曲一直研究

因為x2-alnx≥0?本題也可以研究直線與曲線相切時(圖2)的a值,再數形結合分析范圍,進行嚴謹論證,過程略

圖2

4.2.3 大學視角再解題

在4.2.1 中求出y=x2,y=alnx相切時a=2e,很多同學就直接下結論確定a的范圍,這是不嚴謹的,因為曲線的點未必分布在切線的同一側,比如y=sinx在原點的切線是y=x即為反例,但本題中x2≥-e≥2e lnx是成立的,其原因是y=x2是下凸函數,必在切線上方,y=2e lnx是上凸函數,必在切線下方,在大學里有一般性說明:

《高等數學》[1]上冊208 頁

定理1設函數y=f(x)在(a,b)有二階導數,若對每一點x∈(a,b),都有f′′(x)＞0 則y=f(x)在[a,b]上的圖形是向下凸的,若對每一點x∈(a,b),都有f′′(x)＜0 則y=f(x)在[a,b]上的圖形是向上凸的.

《高等數學》[1]上冊第177 頁

定理2(微分中值定理): 設y=f(x)在[a,b] 上連續,在(a,b)內可導,則必存在一點c∈(a,b),使得

下面通過上述知識證明f(x)為下凸函數時,除切點外的圖像總在切線g(x)上方.

設切點為P(x0,y0),則切線方程為g(x)-y0=f′(x0)(x-x0),由微分中值定理可知在區間(x0,x)上,?c∈(x0,x)使得f(x)-y0=f′(c)(x-x0),又因為f′′(x)＞0,所以f′(x)單調遞增,f′(c)＞f′(x0),所以f′(c)(x-x0)＞f′(x0)(x-x0),所以f(x)＞g(x)在區間(x0,x)上恒成立,同理可證當x＜x0時f(x)＞g(x)依然成立.

類似的,f(x)為上凸函數時,除切點外的圖像總在切線下方.因此,要證-e≥2e lnx,令y=2e lnx,所以即y=2e lnx在(0,+∞)為上凸函數,且y=-e 是該函數在點的切線,所以-e≥2e lnx恒成立.

劃分為三個解法類型是比較符合同學們的認知規律的,也便于大家理解和應用,但要認識到其本質是相同的,都可以理解為兩個函數的位置關系問題,解法1 是y=x2-alnx與y=0 的位置關系,解法2 是y=與y=a的位置關系,解法3 是y=x2與y=alnx的位置關系,其本質都是借助導數工具,數形結合解決問題.

5 變式談點

上面討論的f(x)在a＜0 時單調遞增且有唯一零點,0＜a≤2e 時沒有零點,那么a＞2e 時呢? 可以證明此時函數有兩個變號零點,下面針對該問題計算過程中產生的找點問題進行探究,幫助學弟學妹們歸納一些基本方法和技巧.

前文研究了函數f(x)=x2-alnx.當時,f(x)單調遞減.當時,f(x)單調遞增.當a＞2e 時,＜0 且f(1)=1＞0,所以滿足f(x1)=0,下面證也存在一個零點,則需要在該區間找一個x0使f(x0)＞0,明確問題核心為:

當a＞2e 時,f(x)=x2-alnx,滿足f(x0)=0.

找點方法1: 不等式放縮

在課本習題[2]曾經證明過ex＞x＞lnx(x＞0),所以f(x)=x2-alnx＞x2-ax.令x2-ax=0,解得x0=a.則f(a)＞a2-a2=0,所以?x0=滿足f(x0)＞0.

找點方法2: 不等式放縮

放縮時需要注意尺度,不能過大,也不能過小,若放縮到一個增長速度符合需要的函數,通常需要對方法1 中冪函數的次數進行調整,下面介紹一個常用的調整次數妙招.

因為x＞lnx,所以即＞lnx,所以f(x)=x2-alnx＞x2-令x2-=0,解得又因為(4a2)2＞所以則所以滿足f(x0)＞0.

找點方法3: 切線放縮

y=x-1 是上凸函數y=lnx在點(1,0)處的切線,所以x-1≥lnx,所以f(x)=x2-alnx≥x2-a(x-1).令x2-a(x-1)=0,因為a＞2e,解得x0=所以a(x0-1)=0,x0=滿足f(x0)＞0.

找點方法4: 指對互換

對于函數式中含有指數函數,通常將點設為對數型,同理,為了化簡對數函數,也常將點設為指數型,本題即可做此嘗試.設x0=ea,則x0＞f(ea)=e2a-aln ea,又因為ex＞x,所以e2a=eaea＞a2,所以?x0=滿足f(x0)＞0.

找點方法5: 取值范圍放縮

找點問題通常會涉及x的取值范圍和參數a的取值范圍,通過這些取值范圍,我們可以進行放縮,如下:當x∈(a,+∞)時,f(x)=x2-alnx＞a2-alnx.令a2-alnx=0,解得x0=ea,則f(ea)＞a2-aln ea=0,所以?x0=ea∈(a,+∞)滿足f(x0)＞0,此時x0也在內.

找點方法6: 拆項放縮

為了達到放縮的次數需求,我們也可以選用拆項放縮的方法,即將某一項拆成和或積的形式,然后分別放縮為不同的函數類型再進行比較.

因為f(x)=x2-alnx=x·x-alnx＞xlnx-alnx=lnx(x-a).令x0=a,則f(a)＞alna-alna=0,所以滿足f(x0)＞0.

導數“找點”計算,涉及到方程、不等式、參數討論、求導運算、四則運算以及估算等方面,當年確實讓我焦慮了一段時間.從最初的狂試特殊值,全靠運氣眷顧,到后來的逐漸理清思路,找點不慌,甚至一度以找點為樂,同學們互相比拼誰找點多,誰方法妙,一路求索,切身感受過猜想、失敗、修正、成功的歷程.對我而言,同一道題,從不局限于解決問題,而是不斷的探索更多視角,更深思考,在探索的過程中,我享受了解題的樂趣,也不斷刷新著我對導數問題認識的高度,記得王老師常說:“大量刷題也許能取得小成功,沉下心來把每一道題做通透才能取得大成功.”至今我也一直在向這個目標努力,這節復習課就算是我的回應吧.

祝福學弟、學妹金榜題名,前程似錦.