差分方程的特征根法求數列通項*

江蘇省外國語學校(215100) 潘小峰

南京市第九中學(210023) 聶振榮

高中階段主要是學習等差和等比數列,所以遇到陌生數列我們都是通過構造,整體換元轉化為等差或等比數列,然后運用其性質解題,但有些遞推公式構造起來很困難,例如常系數線性齊次遞推公式,這就需要我們進一步學習,采用新的方法來解決.

在求數列通項的過程中,我們往往會碰到一階線性遞推關系,即數列{xn} 滿足xn+1=pxn+q,p,q∈R形式,只需對p進行討論,若p=1,則為等差數列,xn=x1+(n-1)q,若p≠1,則構造等比數列,xn+1-x0=p(xn-x0),通過待定系數法,解得x0=所以數列

將此問題進一步,若數列{xn} 滿足xn+1=pxn+qxn-1,p,q∈R 二階線性遞推關系,依舊嘗試構造等比數列,假設存在實數a,b使得xn+1-axn=b(xn-axn-1)成立,通過對比系數發現該方程組為方程x2-px-q=0 的韋達定理表現形式.為了說明方便,假設方程x2-px-q=0 的解為a,b∈R 且a≠b.

∴{xn+1-axn} 是公比為b的等比數列,即xn+1-axn=(x2-ax1)bn-1(1).

{xn+1-bxn} 也是公比為a的等比數列,即xn+1-bxn=(x2-bx1)an-1(2).

(1)(2)兩式作差可得xn=+

通過觀察發現,在上述解答中,方程x2-px-q=0 起到了關鍵作用,因為這個方程的根a,b包含了通項公式里面所有的重要信息,而xn+1=pxn+qxn-1這種遞推關系正是高等數學中的差分方程有關概念.

下面先簡要介紹下差分概念:

設xn=f(n),n∈N*,則差xn+1-xn稱為函數f(n)的一階差分,記為Δf(n)即Δf(n)=xn+1-xn,二階差分即為:

以此類推可定義出n階差分.差分方程是包含差分,未知函數和自變量的等式.當考慮數列時,遞推關系即為差分方程.若某個函數帶入差分方程后,使得方程兩邊恒等,則稱此函數為該方程的特解.若此函數由線性無關的特解組成且特解的總個數與差分方程的階數相等,稱此函數為方程的通解.以二階常系數齊次差分方程xn=pxn-1+qxn-2為例,稱x2-px-q=0 為特征方程,它的根a,b為特征根.因此可以利用解差分方程的特征根來解決數列通項問題,就轉化為探究差分方程解的結構問題.接下來對特征根探論,一般的分為三種情況:

1 .在實數R 有解且特征根不相等情形

若a≠b且a,b∈R,則xn=pxn-1+qxn-2的通解為xn=c1an+c2bn,c1,c2∈R.

證明∵a2=pa+q,∴an=pan-1+qan-2,∴差分方程xn=pxn-1+qxn-2有一個特解xn=an,同理bn也是一個特解,又因為Wronsky 行列式

按自研處方比例稱取空白輔料（約相當于富馬酸喹硫平30 mg）和對照品，分別配制1倍和2倍濃度輔料的樣品溶液，將1倍濃度輔料樣品溶液、2倍濃度輔料樣品溶液和對照品溶液進行紫外掃描。掃描范圍為190～400 nm。三條掃描圖譜基本重合，樣品圖譜沒有明顯高于對照品溶液圖譜，表明空白輔料對富馬酸喹硫平吸光度的檢測沒有干擾。

當a≠b時,根據Wronsky 行列式W(n)≠0 則an與bn線性無關,所以這兩個解線性無關,再根據通解結構定理: 若差分方程中線性無關的解的個數與階數相等,則這些解的線性組合就是該方程的通解.可知xn=c1an+c2bn是通解.進行代數驗證可得:

pxn-1+qxn-2=p(c1an-1+c2bn-1)+q(c1an-2+c2bn-2)=c1(pan-1+qan-2)+c2(pbn-1+qbn-2).

∵an=pan-1+qan-2,bn=pbn-1+qbn-2,∴pxn-1+qxn-2=c1an+c2bn=xn,∴?c1,c2∈R,xn=c1an+c2bn是xn=pxn-1+qxn-2的通解.最后我們只需要通過數列前兩項的值來唯一確定c1和c2.

這與文章一開始構造等比數列求出的結果一致,我們以下題為例進行說明:

2021年普通高等學校招生全國統一考試模擬演練第17題:

已知各項都為正數的數列{an}滿足an+2=2an+1+3an．

(1)證明: 數列{an+an+1}為等比數列;

分析遞推關系an+2=2an+1+3an(n∈N*)的特征方程為x2-2x-3=0,特征根為x1=-1,x2=3,所以an=c1·(-1)n+c2·3n,n∈N*,其中c1,c2為待定常數,由初始條件得所以通項公式為an=n∈N*.

2 在實數R 有解且特征根相等情形

xn=(c1+c2n)an,c1,c2∈R.

證明由于特征方程為二次多項式,故a是x2-px-q=0 的二重根,也是

的根,將(*)式關于x求導,兩邊再乘x,可得a也是nxn-(n-1)pxn-1-(n-2)qxn-2=0 的根.所以xn=nan是差分方程xn=pxn-1+qxn-2的特解,由情形1 可知,xn=an也是一個特解,易知這兩個解an,nan是線性無關.同樣可以進行代數驗證:

pxn-1+qxn-2

=p[c1+c2(n-1)]an-1+q[c1+c2(n-2)]an-2

=c1(pan-1+qan-2)+c2[(n-1)pan-1+(n-2)qan-2]

=c1an+c2nan=(c1+nc2)an=xn.

所以對于任意常數c1,c2,xn=(c1+nc2)an是xn=pxn-1+qxn-2的通解.結合

3 在實數R 無解但在復數范圍內存在一對共軛復根

若方程x2-px-q=0 無實數解,在復平面內,設方程的根為λ=(其中i2=-1),令則λ=α±βi,再將系數單位化.

可得,λ=由復平面上的點(α,β)可以通過旋轉輻角θ(其中tanθ=,θ為最小正角)表示,故λ=(cosθ±i sinθ),最后結合歐拉公式eiθ=cosθ+i sinθ,可以實現三角函數與指數函數的互化,所以λ=是差分方程的一組特解,而特解的常數倍也是特解,所以λ′=e±iθ也是一組特解,設λ′1=eiθ,λ′2=e-iθ,同情形1 可得兩個復值解,(λ′1)n=(cosθ+i sinθ)n=(eiθ)n=einθ=cosnθ+i sinnθ同理可得,(λ′2)n=cosnθ-i sinnθ,再根據差分方程所有系數是實數,則復值解的實部與虛部也是其解.這是由于將特解(λ′1)n=cosnθ+i sinnθ代入,可得:

(cosnθ+i sinnθ)-p[cos(n-1)θ+i sin(n-1)θ]

-q[cos(n-2)θ+i sin(n-2)θ]=0.

∴[cosnθ-pcos(n-1)θ-qcos(n-2)θ]

+i[sinnθ-psin(n-1)θ-qsin(n-2)θ]=0.

分別對比實部與虛部,∴cosnθ-pcos(n-1)θ-qcos(n-2)θ=0 和sinnθ-psin(n-1)θ-qsin(n-2)θ=0,∴cosnθ,sinnθ也是差分方程xn=pxn-1+qxn-2的一組實數解且線性無關,再由情形1 可得通解為:xn=c1cosnθ+c2sinnθ,c1,c2∈R.

例如已知:x1=1,x2=2 且xn=xn-1-xn-2(n≥3),求數列{xn}的通項公式.

基于特征方程x2-x+1=0 解出共軛復根λ1=

結合輔助角公式可得xn=通過通項可知該數列是周期為6 的數列,一般的特征方程出現共軛復根時,數列會出現周期性這一表現規律,這是由歐拉公式轉為正余弦函數所帶來的結果.

特征根法求數列通項的思想在新高考背景下已有所滲透,所以系統的研究十分有必要,高中教學中應適當的對初等數學與高等數學的銜接處進行探究,因為數學學習是主體對數學知識的認知過程,學生不應只限于接受,記憶和模仿,老師應該引導學生主動探索,讓學生從思想上去揭示問題的本質.