對函數(shù)周期性與對稱性關(guān)系的商榷與思考*

重慶市璧山區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校(402760) 秦文波 劉志成

重慶市璧山中學(xué)校(402760) 黃吉亮

1 問題的提出

1.1 文獻(xiàn)1 中的3 個結(jié)論

文獻(xiàn)1 片段(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,c)成中心對稱,關(guān)于直線x=b(a≠b)成軸對稱,則f(x)是周期函數(shù),且最小正周期T=|4a-4b|.

(2)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,c)和點(b,c)(a≠b)成中心對稱,則f(x)是周期函數(shù),且最小正周期T=|2a-2b|.

(3)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a和x=b(a≠b)對稱,則f(x)是周期函數(shù),且最小正周期T=|2a-2b|.

注: 文獻(xiàn)4 中的命題1,命題2,命題3 和文獻(xiàn)1 中的這3個結(jié)論相似.

1.2 文獻(xiàn)2 中的2 個定理

文獻(xiàn)2 片段 定理6若周期為T=4(a-b)的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(b,0)(a≠b)對稱,則f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

定理7若周期為T=4(a-b)的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱,則f(x)的圖象關(guān)于點(b,0)(a≠b)對稱.

1.3 文獻(xiàn)3 中的1 個性質(zhì)

文獻(xiàn)3 片段 性質(zhì)3若2|a|是函數(shù)f(x)的一個周期,則以下三個等式恒成立且等價:

(1)f(x+a)=f(x-a).

(2)f(x+2a)=f(x).

(3)f(x+a)=-f(x).

1.4 我們的問題

文獻(xiàn)1、文獻(xiàn)2 和文獻(xiàn)4 通過探究獲得了周期性與對稱性之間的部分關(guān)系,文獻(xiàn)3 給出了周期和對稱性的解析表達(dá)與充要條件,從相關(guān)文獻(xiàn)和教學(xué)實踐來看,諸多類似結(jié)論的出現(xiàn)確實給解決問題提供了莫大的方便,尤其是在解決某些抽象函數(shù)壓軸題時顯示出了強(qiáng)大威力,但這些結(jié)論的表述是否嚴(yán)謹(jǐn)? 這些命題是否都是真命題? 本文就此作簡要探討.

2 質(zhì)疑與商榷

2.1 對結(jié)論的質(zhì)疑

文獻(xiàn)1 和文獻(xiàn)4 由兩個對稱性所獲得的周期是否一定是最小正周期? 我們來考查函數(shù)f(x)=sinx.f(x)的圖象關(guān)于點(0,0)和直線x=對稱,但|4×0-4×|=6π不是它的最小正周期;f(x)的圖象也關(guān)于直線x=-和直線x=對稱,但卻不是它的最小正周期;f(x)的圖象關(guān)于點(0,0)和(2π,0)對稱,但它的最小正周期并不是|4×0-4×π|=4π.

文獻(xiàn)2 由周期性和一種對稱性得到的另一種對稱性是否正確? 我們來考查兩個函數(shù),g(x)=tanx和h(x)=顯然g(x)的周期為π=4|0-|,且關(guān)于點(0,0)對稱,但其圖象并不關(guān)于直線x=對稱;同樣,h(x)的周期為2=4|0-|,且關(guān)于直線x=對稱,但其圖象也不關(guān)于點(0,0)對稱.

文獻(xiàn)3 給出的周期的解析表達(dá)是否正確? 各解析表達(dá)式之間是否等價? 我們先來考查函數(shù)t(x)=tanx.顯然,π是t(x)的一個周期,但≠-t(x),所以=-t(x)不恒成立.另外,t(x)=tanx滿足和t(x+π)=t(x),但不滿足=-t(x),所以這三個等式并不等價.

2.2 對結(jié)論的商榷與建議

鑒于以上分析,我們認(rèn)為文獻(xiàn)1-4 給出的部分結(jié)論是值得商榷的,我們建議將文獻(xiàn)1 中三個結(jié)論和文獻(xiàn)4 中的3 個命題中的“最小正周期”改為“周期”或加強(qiáng)條件,將文獻(xiàn)2的“定理6 和定理7”去掉或加強(qiáng)條件,將文獻(xiàn)3 中性質(zhì)3 的“(3)f(x+a)=-f(x)”去掉或改變表達(dá)方式.

3 探究與思考

3.1 周期性的解析表達(dá)

由前面的分析易知,對于非零常數(shù)a,“定義域內(nèi)的任意x均滿足f(x+a)=-f(x)”與“f(x)的一個周期是2a”并不等價,那它們究竟是一種什么樣的關(guān)系呢?事實上,對f(x+a)=-f(x)中的x用x+a替換有f(x+2a)=-f(x+a)=-[-f(x)]=f(x),即2a是f(x)的一個周期;由前面知道,反過來并不成立,即由“f(x)的一個周期是2a”不能得到“f(x+a)=-f(x)”,因此,對于非零常數(shù)a,“定義域內(nèi)的任意x均滿足f(x+a)=-f(x)”是“f(x)的一個周期是2a”的充分不必要條件.建議文獻(xiàn)3將“f(x+a)=-f(x)”去掉.

事實上,“f(x+a)=-f(x)”除了告訴f(x)的一個周期是2a外,還告訴我們自變量相差a的兩個數(shù)的函數(shù)值互為相反數(shù).所以,f(x)的一個周期是2a不能通過f(x+a)=-f(x)來解析表達(dá).由此可得,文獻(xiàn)2 在證明定理6 和定理7 時用到的推理“因為周期T=4(a-b),所以f(x+2(a-b))=-f(x)”是不正確的.

3.2 由對稱性獲得最小正周期

前述可知,由“函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a和x=b(a≠b)對稱”不能得出“f(x)的最小正周期就是2|a-b|”.我們的思考是: 如何加強(qiáng)該命題的條件才能獲得最小正周期? 對此,我們展開了探究,我們發(fā)現(xiàn):

結(jié)論1若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a和x=b(a＜b)對稱,f(x)的圖象在x∈(a,b)內(nèi)無其它垂直于x軸的對稱軸,則f(x)是周期函數(shù),且最小正周期是2(b-a).

證明因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a和x=b(a＜b)對稱,所以

聯(lián)立①②消去f(x)得

用2a-x去換③式中的x得f(2(b-a)+x)=f(x),所以f(x)是周期函數(shù),且2(b-a)是f(x)的一個周期.下面用反證法證明2(b-a)是f(x)的最小正周期.若存在t滿足0＜t＜2(b-a),且t是f(x)的一個周期,則

聯(lián)立②④消去f(x)得f(2b-x)=f(x-t),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱.因為0＜t＜2(b-a),所以a＜b-＜b,這與f(x)的圖象在x∈(a,b)內(nèi)無其它垂直于x軸的對稱軸矛盾,所以不存在比2(b-a)更小的正周期,所以f(x)的最小正周期是2(b-a),證畢.

同理,我們可以證明并得到類似的如下兩個結(jié)論:

結(jié)論2若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,c)和點(b,c)(a＜b)成中心對稱,f(x)的圖象在x∈(a,b)內(nèi)無其它縱坐標(biāo)為c的對稱中心,則f(x)是周期函數(shù),且最小正周期是2(b-a).

結(jié)論3若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a,c)成中心對稱,關(guān)于直線x=b(a＜b)成軸對稱,f(x)的圖象在x∈(a,b)內(nèi)無其它縱坐標(biāo)為c的對稱中心且無其它垂直于x軸的對稱軸,則f(x)是周期函數(shù),且最小正周期是4(b-a).

3.3 由周期和一種對稱性獲得另一種對稱性

如何對假命題“若周期為T=4(a-b)的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(b,0)(a≠b)對稱,則f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.”加強(qiáng)條件使其變成真命題呢?

一方面,“f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱”可以用“f(2a-x)=f(x)”解析表達(dá)(其它解析表達(dá)都可以轉(zhuǎn)化為該種形式),“f(x)的圖象關(guān)于點(b,0)對稱”可以用“f(2b-x)=-f(x)”進(jìn)行解析表達(dá)(其它解析表達(dá)都可以轉(zhuǎn)化為該種形式),由此不難發(fā)現(xiàn),垂直于x軸的對稱軸與對稱中心間的解析表達(dá)需要通過改變函數(shù)值的符號來實現(xiàn).

另一方面,“f(x)的周期T=4(a-b)”可以用“f(4(b-a)+x)=f(x)”來進(jìn)行解析表達(dá)(其它解析表達(dá)都可以轉(zhuǎn)化為該種形式),因而周期性和一種對稱性(如垂直于x軸的對稱軸)構(gòu)成的兩個解析表達(dá)式不能通過變換改變函數(shù)值的符號得到另一種對稱性(如對稱中心)的解析表達(dá)式.這正是文獻(xiàn)2 中的兩個定理均為假命題的原因所在.要使其變成真命題就必須加強(qiáng)條件,使符號之間相互轉(zhuǎn)化,由此出發(fā),我們想到了將條件“函數(shù)f(x)的周期為T=4(a-b)”改為“f(x)對定義域中的任意x均滿足f(2(a-b)+x)=-f(x)(a≠b)”,這樣就可以達(dá)到既告訴周期又改變函數(shù)值符號的目的.進(jìn)一步探究我們得到:

結(jié)論4若f(x)對定義域中的任意x均滿足f(2(a-b)+x)=2c-f(x)(a≠b),且函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(b,c)對稱,則f(x)的圖象關(guān)于直線x=2k(a-b)+a(k∈Z)對稱.

證明因為

所以f(4(a-b)+x)=2c-f(2(a-b)+x)=2c-[2c-f(x)]=f(x).

所以f(x)是周期函數(shù),其中一個周期為4(a-b).又因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(b,c)對稱,所以f(2b-x)=2c-f(x),結(jié)合周期性易得

聯(lián)立①②得f(2b-x+4k(a-b))=f(2(a-b)+x),即f(2a+4k(a-b)-x)=f(x),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=2k(a-b)+a(k∈Z)對稱,證畢.

同理,我們可以繼續(xù)證明并得到一個類似的結(jié)論:

結(jié)論5若f(x)對定義域中的任意x均滿足f(2(a-b)+x)=2c-f(x)(a≠b),且函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱,則f(x)的圖象關(guān)于點(2k(a-b)+b,c)(k∈Z)對稱.

(注: 本文中的a,b,c均為常數(shù).)