巧用“樹圖”和“表格”解古典概型*

甘肅省酒泉市金塔縣中學(xué)(735300) 閆飛

數(shù)學(xué)來源于生活,從生活的角度理解數(shù)學(xué),用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思想思考生活問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵.古典概型問題就是我們生活中常見的問題,如何將生活中古典概型問題數(shù)學(xué)化,是學(xué)好古典概型的關(guān)鍵.學(xué)完人教版(A)必修3 數(shù)學(xué)第三章概率,部分同學(xué)們反應(yīng)古典概型概念理解還可以,但對有些試驗的結(jié)果不能考慮全面,試驗的結(jié)果或少寫或多寫,另外就是不能將因果關(guān)系規(guī)范書寫.針對上述問題,通過對不同題型的認(rèn)真分析與對比,發(fā)現(xiàn)我們的古典概型問題基本上都可以歸結(jié)為“從n個不同元素中取m(n≥m,n,m∈N*)個元素的不放回(或放回)抽樣問題”或“從兩個集合中各取一個元素的抽樣問題”,這兩種古典概型的試驗都可以用“樹圖”和“表格”有規(guī)律的寫出試驗所有結(jié)果,如果再結(jié)合“由-得-即-則-故”的規(guī)范的書寫過程,古典概型問題的學(xué)習(xí)效率將會大幅提升.

1 古典概型: 從兩個集合中各取一個元素的抽樣問題

例1求投擲硬幣兩次(或投擲兩枚硬幣一次)求出現(xiàn)一正一反的概率.

析投擲硬幣兩次,第一次的結(jié)果記為集合M,則M={ 正,反},第二次的結(jié)果記為集合N,則N={正,反},故投擲硬幣兩次的試驗結(jié)果就是從集合M,N中各取一個元素的抽樣問題.同理投擲兩枚硬幣一次,一枚硬幣結(jié)果記為集合M,則M={正,反},另一枚硬幣結(jié)果記為集合N,則N={正,反},故投擲兩枚硬幣一次的試驗結(jié)果就是從集合M,N中各取一個元素的抽樣問題.

解由題意投擲硬幣兩次(或投擲兩枚硬幣一次)出現(xiàn)的結(jié)果可以用表格表示,則試驗的結(jié)果有四種,若設(shè)A={一正一反},則事件A有2 種,故P(A)=

例2求投擲骰子兩次(或投擲兩枚骰子一次)求點數(shù)之和大于8 的概率.

析投擲骰子兩次,第一次的結(jié)果記為集合M,則M={1,2,3,4,5,6,},第二次的結(jié)果記為集合N,則N={1,2,3,4,5,6},故投擲骰子兩次的試驗結(jié)果就是從集合M,N中各取一個元素的抽樣問題.同理投擲兩枚骰子一次,一枚骰子結(jié)果記為集合M,則M={1,2,3,4,5,6},另一枚骰子結(jié)果記為集合N,則N={1,2,3,4,5,6},故投擲兩枚骰子一次的試驗結(jié)果就是從集合M,N中各取一個元素的抽樣問題.

解由題意投擲骰子兩次(或投擲兩枚骰子一次)出現(xiàn)的結(jié)果可以用表格表示為:

1 2 3 4 5 6 1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

即試驗的結(jié)果有36 種,若設(shè)A={點數(shù)之和大于8},則事件A 有10 種,故P(A)=

例3從集合M={-2,-1,2}中隨機(jī)選取1 個數(shù)記為a,從集合N={-1,1,3}中隨機(jī)選取1 個數(shù)記為b,求直線ax-y+b=0 不經(jīng)過第二象限的概率.

析(a,b)的結(jié)果就是集合M,N中各取一個元素的抽樣問題.

解由題意(a,b)的結(jié)果可以用表格表示為:

-2-1 2-1(-1,-2)(-1,-1)(-1,2)1(1,-2)(1,-1)(1,2)3(3,-2)(3,-1)(3,2)

而直線ax-y+b=0 不經(jīng)過第二象限,即a≥0 且b≤0,若設(shè)A={直線不經(jīng)過第二象限},則A有4 種,故

總結(jié)例1、2、3 都可以歸結(jié)為成從兩個集合中各取一個元素的抽樣問題,這樣的問題都可以用有序(或無序)表格表示試驗的結(jié)果.

2 古典概型: 從一個集合中取兩個元素的抽樣問題

例4(放回抽樣)在1,2,3,4 四個數(shù)中,可重復(fù)地選取兩個數(shù),求其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的概率.

析該試驗可以看做是集合M={1,2,3,4}中有放回取兩個元素的問題.

解在1,2,3,4 四個數(shù)中,可重復(fù)地選取兩個數(shù)的結(jié)果可以用表格表示為:

1 2 3 4 1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)

即試驗的結(jié)果有16 種,若設(shè)A={其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍},則事件A有4 種,故P(A)=

例5(不放回抽樣)在1,2,3,4 四個數(shù)中,選取兩個不同數(shù),求其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍的概率.

析該試驗可以看做是集合M={1,2,3,4}中不放回取兩個元素的有序(或無序)問題,可以用有序(或無序)表格解決.

法1(有序表格)

1 2 3 4 1(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)

即試驗的結(jié)果有12 種,若設(shè)A={其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍},則事件A有4 種,故P(A)=

法2(無序表格)

1 2 3 4 1(1,2)(1,3)(1,4)2(2,3)(2,4)3(3,4)4

即試驗的結(jié)果有6 種,若設(shè)A={其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍},則事件A有2 種,故P(A)=

例6某校夏令營有三名男同學(xué)N1,N2,N3,和3 名女同學(xué)M1,M2,M3,其年級情況如表:

一年級二年級三年級男同學(xué)N1 N2 N3女同學(xué)M1 M2 M3

現(xiàn)從這六名同學(xué)中隨機(jī)選取2 人參加知識競賽(每人被選取的可能性相同)求選出2 人來自不同年級恰一男同學(xué)一女同學(xué)的概率.

析該試驗可以看做是集合M={N1,N2,N3,M1,M2,M3} 中不放回取兩個元素的有序(或無序)問題,可以用有序(或無序)表格解決.

解由題意從6 人中選出2 人出現(xiàn)的結(jié)果可以用表格表示為:

法1(有序表格)

N1 N2 N3 M1 M2 M3 N1(N1,N2)(N1,N3)(N1,M1)(N1,M2)(N1,M3)N2(N2,N1)(N2,N3)(N2,M1)(N2,M2)(N2,M3)N3(N3,N1)(N3,N2)(N3,M1)(N3,M2)(N3,M3)M1(M1,N1)(M1,N2)(M1,N3)(M1,M2)(M1,M3)M2(M2,N1)(M2,N2)(M2,N3)(M2,M1)(M2,M3)M3(M3,N1)(M3,N2)(M3,N3)(M3,M1)(M3,M2

即試驗的結(jié)果有30 種,若設(shè)A={2 人來自不同年級恰一男同學(xué)一女同學(xué)},則事件A有12 種,故P(A)=

法2(無序表格)

N1 N2 N3 M1 M2 M3 N1(N1,N2)(N1,N3)(N1,M1)(N1,M2)(N1,M3)N2(N2,N3)(N2,M1)(N2,M2)(N2,M3)N3(N3,M1)(N3,M2)(N3,M3)M1(M1,M2)(M1,M3)M2(M2,M3)M3

即試驗的結(jié)果有15 種,若設(shè)A={2 人來自不同年級恰一男同學(xué)一女同學(xué)},則事件A有6 種,故P(A)=

總結(jié)例4、5、6 都可以歸結(jié)為從一個集合中取兩個元素的抽樣問題,這樣的問題都可以用有序(或無序)表格表示試驗的結(jié)果.

3 古典概型: 從一個集合中取三個或三個以上元素的抽樣問題

例7從編號1,2,3,4,5 五張不同寓意的新年賀卡中任選三張在班級中進(jìn)行話題作文,求選中賀卡中有編號為2 或5 新年賀卡的概率.

析該試驗可以看做是集合M={1,2,3,4,5}中取3個元素的無序組合問題,可用無序樹圖解決.

解五張不同寓意的新年賀卡中任選三張的選法如下無序序樹圖所示:

由樹圖易得從編號1,2,3,4,5 五張不同寓意的新年賀卡中任選三張的選法共有10 種,若設(shè)A={選中賀卡中有編號為2 或5 新年賀卡},則事件A有123;124;125;135;145;234;235;245;345 共9 種,故P(A)=

例8四名同學(xué)做了四張不同寓意的新年賀卡,然后四名同學(xué)從四張賀卡中隨機(jī)各取一張,求四位同學(xué)都不拿自己賀卡的概率.

析該試驗可以看做是集合M={A,B,C,D}中取4個元素的有序排列問題,可以用有序樹圖解決.

解a,b,c,d表示四名同學(xué),A,B,C,D依次表示a,b,c,d四名同學(xué)制作的新年賀卡,則將四張新年賀卡送給四名同學(xué)送法如下有序樹圖所示:

由樹圖易得將四張新年賀卡送給四名同學(xué)送法共有4 × 6=24 種(每棵樹6 種),若設(shè)E={ 四位同學(xué)都不拿自己賀卡},則事件E有BADC;BCDA;BDAC;CADB;CDAB,CDBA;CADB;CDAB;CDBA共9 種,故P(E)=

總結(jié)例7、8 都可以歸結(jié)為從一個集合中取三個(或三個以上)元素的抽樣問題,這樣的問題都可以用有序(或無序)樹圖表示試驗的結(jié)果.

總之,常見的古典概型問題都可以歸結(jié)為三類: (一)從兩個集合中各取一個元素的抽樣問題;(二)從一個集合中取兩個元素的抽樣問題;(三)從一個集合中取三個或三個以上元素的抽樣問題.而有序(無序)表格,有序(無序)樹圖是解決該類問題最直觀方法,另外“由-得-即-則-故”的規(guī)范的書寫模式又能將該類問題因果關(guān)系的構(gòu)建處理的恰到好處.