人教A版選擇性必修數學教材若干問題的慎思與求索*

內江師范學院數學與信息科學學院(641100) 徐小琴

教材是教學實施的依據,是教師教學的基本保障,也是實現教學目標、落實教育根本任務的指導文本.《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出:“數學教材為‘教’與‘學’活動提供學習主題、基本線索和具體內容,是實現數學課程目標、發展學生數學學科核心素養重要的教學資源[1].”因此,科學使用教材、研究教材內容、開發教材資源是教育工作者的首要任務.

隨著新一輪高中數學教材的改革,逐漸在落實立德樹人根本任務、體現核心素養、創新呈現方式、關注師生體驗等方面進行創新探索與實踐[2].高中數學教材的革新承載著新一輪課程改革的主旨,深化素質教育內涵,也是核心素養落地生根的又一次跨步.研究教材、開發教材、理解教材、質疑教材是對深化課程改革的基本尊重.著名特級教師于永正說:“這法,那法,不會鉆研教材就沒法[3]”.吳立寶等也提出:“教師應從學科知識、學生學習、現實生活、評價、文化五個視角分析教材,對教材二次開發,增加教材的附加值[4]”.因此,鉆研教材、分析教材是教好數學的前提.

新版高中數學教材在數學史與數學教學的融合上比以往教材更加豐富,特別突出了優秀的傳統數學文化,對學生人文素養與創新精神的培養有著潛移默化的作用.新教材更是在教材設計的細節上增加美感,如教材中的圖片、圖形顏色活潑,對比度強,色調偏暖,更加符合中學生心理需求,為數學學習增添生機.

新教材的優點和特色突出,我們在使用教材時仍要從辯證的角度研讀教材、質疑教材、重構教材[5].通過對人教A 版選擇性必修教材的研讀,教材存在圖文不相符、圖形信息容量大、邏輯表述不科學、前后銜接不恰當等問題,有待慎思與求索.

1 圖文內容不相符

案例1教材再現[6]: 如圖1,m,n是平面α內的兩條相交直線.如果l⊥m,l⊥n,求證:l⊥α.

圖1

教材采用向量法進行證明,首先在平面內任意作一條直線g,再分別取直線上的一個非零向量,利用向量共面的充要條件,將平面中的一個向量用不共線的兩個向量進行線性表示,將直線垂直關系轉化為向量垂直的關系,進而得到直線垂直于平面任意直線,從而得到直線垂直于平面.

以上是直線與平面垂直的判定定理的證明過程,主要采用的向量法進行證明.對此證明過程有以下幾個方面值得慎思.

慎思1: 任意一條直線g,則g不一定和直線m與n相交,更別說直線g過直線m與n的交點.因此,圖文表述不一致,圖中對任意直線g的表示缺乏一般性.

求索: 在平面α內作任意一條直線g,應避免過直線m與n的交點的特殊情況,這更能有效認識任意性的概念.此時借助向量法在運算方法、運算量上并不會有變化,而給學生展示出直線與平面垂直的核心要素為“垂直于平面上兩條相交直線”.

慎思2: 直線與向量字母的取法缺乏區分度,容易混淆.

求索: 直線與向量取自同一字母,原本向量表示與字母表示就十分接近,僅字體差異,兩者在學生認知上難以形成視覺差異,區分度低,容易造成直線與向量字母的混淆,有礙內容的理解,根據人腦信息加工規律,在避免知識泛化的前提下,內容表述的區分度高利于知識的分化.因此,在設計向量表示時可以引入符號h,i,j,k,這也是后期學習空間直角坐標系中基向量的表示;亦可采用e,s,u,v,這是后續高等數學中直線方向向量的表示方法,這樣表示在知識的連續性上有較好的承接.

慎思3: 教材中該例的注釋為“該例即為直線與平面垂直的判定定理的證明過程.嘗試用綜合幾何方法證明這個定理,并比較兩種方法,你能從中體會到向量方法的優越性嗎?”首次提出“綜合幾何法”的概念,在此處略顯突兀.

求索: 綜合幾何方法對于大多數的學生而言掌握困難.經調查發現,在幾何法與向量法都適用的情況下,選擇向量法的同學占到約80%的比例.因此,上述判定定理的證明采用綜合幾何法嚴重與“立德樹人、素質教育”的教育方針相悖,不符合學生已有認知水平,怎么體會向量的優越性? 且向量法是否一定更加優越呢? 構造相似對這個問題的解決同樣可行,且符合學生已有認知基礎.

2 圖形信息容量大

案例2教材再現[6]: 傾斜角與斜率一節對傾斜角的定義是這樣表述的: 當直線l與x軸相交時,我們以x軸為基準,x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角(angle of inclination).圖2中直線l1的傾斜角α1為銳角,直線l′的傾斜角α′為鈍角.

圖2

慎思1: 圖2中的共有4條直線及符號表示,4 個傾斜角及符號表示,坐標軸,坐標原點等,信息量太大,對學生信息加工造成巨大壓力,嚴重違背教學的量力性原則.

求索: 美國著名心理學家米勒(Miller)提出人類短時記憶到長時記憶信息加工容量為“7±2”個組塊[7],普通人的信息加工容量為5～9 個組塊,此圖中信息容量高達18 個組塊,遠超學生信息容量的上限,造成學生識圖困難,且難以抓住關鍵信息.此處可取傾斜角為銳角與傾斜角為鈍角的直線各一條,減少學生信息加工容量,減少無關信息干擾,突出本質.

慎思2: 教材呈現的點P為平面直角坐標系內的任意一點,過該點可以作無數條直線.此圖中點P在x軸上,不具有一般性,不在x軸上才具有普遍性.

求索: 在平面直角坐標系的第一象限內任取一點P.不在坐標軸上更具一般性,在第一象限更具有普適性,符合學生數學活動經驗,這是在大腦的兩大系統即心智操作系統和心力操作系統對新的數學信息協同加工才得以完成的[8].

慎思3: 對于傾斜角的定義有兩點異議.第一,以x軸為基準定義傾斜角,其中“基準”一詞在數學概念中并未定義和鋪墊.第二,傾斜角定義為“x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α”,此時定義的傾斜角更符合直線與直線的夾角,圖中所示的傾斜角使用旋轉角定義更貼切.

求索:“基準”是機械制造中的一個概念,主要用來確定生產對象上幾何關系所依據的點、線、面.基準在金融學、物理學、機械制造中應用廣泛,在學生已有知識經驗中并未有“基準”概念的形成,此時若強行概念順應,用一個陌生的概念定義新的概念只會增加新概念學習的困難.借助旋轉定義傾斜角可以借鑒如下定義:

在平面直角坐標系中,對于一條與x軸相交的直線,如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小正角記為α,那么α就叫做直線的傾斜角[9].

3 邏輯表述不科學

案例3教材再現[10]: 等差數列通項公式的推導中,通過等差數列的定義得到等差數列的遞推公式:an+1-an=d,從而由a2=a1+d,a3=a1+2d,a4=a1+3d,…,最終歸納得到an=a1+(n-1)d,即得到等差數列的通項公式.

慎思: 不完全歸納法是否能當作等差數列通項公式推導的證明方法? 是否科學、嚴密?

求索: 歸納推理與類比推理屬于合情推理,歸納推理是從個別事實或屬性概括出一般特性或結論的推理,也就是從“特殊”到“一般”.不完全歸納法是歸納推理中的一種特殊推理,常以有限數量的事實作為基礎而得出的一般性結論,因此結論可能正確也可能錯誤.教材誤把猜想當作證明,內容表述不科學.教材推導等差數列通項公式時采用不完全歸納法,但是卻未對結論進行嚴格的證明,因此建議此處采用“累加法(疊加法)”推導通項公式,也為后期求解數列遞推公式鋪墊方法基礎,亦可采用不完全歸納法猜想出遞推公式的形式再進行嚴格的證明.

4 前后銜接不恰當

案例4教材再現: 空間兩點間的距離公式到平面兩點間距離公式的推導.

第一冊第一章空間向量與立體幾何中,空間向量運算的坐標表示中利用向量的坐標表示推導出了空間兩點間的距離公式:

第二章直線和圓的方程中,兩點間的距離公式的推導又一次運用平面向量的坐標表示得到兩點間的距離公式:

慎思: 空間中兩點間的距離公式與平面中兩點間的距離公式前后推導方法無異,兩者間前后銜接不恰當,將兩點間的距離公式在三維空間和二維平面中簡單看成兩個獨立知識個體,缺乏知識間的內在聯系與呼應.

求索: 平面中兩點間的距離公式可以看作是空間兩點間距離公式的特例,由空間兩點距離公式可以推導平面兩點間的距離公式.在空間直角坐標系中,令z1=z2=0,即在平面xOy中的兩點間的距離公式為即得平面兩點間的距離公式.如此即避免了方法的簡單重復,又密切了前后知識的聯系與銜接,使知識之間的結構明晰,這也就是布魯納所說的“使學生理解學科的基本結構”[11].

5 反思與建議

5.1 規范作圖內容,數形結合彰顯幾何魅力

法國著名數學家笛卡爾曾說過:“沒有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了.”圖形語言也像文字語言那樣具有記錄作用,而且比文字語言更形象,有利于形象記憶,更有利于探索解題途徑,還可以交流思想[12].規范的作圖能指導學生的讀圖、識圖、辨圖、圖文解讀,將抽象的文字語言、數學符號具體化、形象化.特別是注意圖形的一般性與普遍性,通過圖形了解概念、定理、法則的一般性方法,更要符合學生的認知需求及已有知識基礎,在充分尊重、理解學生個體差異的基礎上借助圖形助推知識的掌握.

5.2 科學表述知識,深化數學嚴密邏輯思維

嚴密的邏輯性是數學的基本特性之一,知識的傳遞也應建立在科學基礎之上.教材是教師的教與學生的學的重要樞紐,盡管已有不少專家學者提出對教材的二次開發、質疑教材,但是教材依舊是教學中最系統、最科學、最核心的依據.因此,科學性是教材編寫的首要任務.定理(推論)的精準性、推理過程的嚴密性、邏輯表達的準確性是數學教材編寫的底線思維.

5.3 增強銜接力度,構建三維知識結構體系

知識的編排方式有橫向式、縱向式和螺旋上升式,知識與知識之間也相互存在邏輯聯系,根據不同知識的編排順序,知識的遷移也分為橫向遷移和縱向遷移,知識的遷移能有效促進知識的同化與加工.教材編寫過程中應加強橫向、縱向知識間的聯系,特別是先修后續之間的相輔相成與首尾呼應,將單個知識間有效的串聯起來,并充分發揮合力作用,幫助知識的再創造.