類比推理法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

摘 要：類比推理即通過對比分析知識點，歸納出學(xué)習(xí)對象的異同處，從而加深學(xué)習(xí)體會，是一種高效的學(xué)習(xí)方法。將類比推理法應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平具有重要意義。文章立足實際，對類比推理的概念特征、類比推理法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用優(yōu)勢加以分析，同時從思想滲透、目標(biāo)確立、問題引導(dǎo)、實物比較、聯(lián)想辨別、驗證類比等不同角度出發(fā)，對類比推理法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用提出幾點建議，以供參考。

關(guān)鍵詞：類比推理法；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)策略

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2097-1737（2023）03-0018-03

引? 言

高中數(shù)學(xué)涉及的理論知識、數(shù)學(xué)方法眾多，要想讓學(xué)生在有限的學(xué)習(xí)時間內(nèi)充分掌握相關(guān)內(nèi)容，教師需要使用科學(xué)有效的教學(xué)方法，加深學(xué)生對知識的理解和記憶。類比推理法的應(yīng)用可以幫助學(xué)生對比數(shù)學(xué)知識點的異同，從而領(lǐng)會不同知識點的內(nèi)涵，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。教師應(yīng)認(rèn)識到類比推理法的應(yīng)用意義，將這一教學(xué)方法有機融入高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，實現(xiàn)對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。

一、類比推理法的相關(guān)界定

（一）類比推理的概念特征

類比推理是推理的形式之一。通過類比兩個或兩個以上的對象，明確其在屬性上的相同或相似，再通過比較推斷出類比對象的其他屬性，這一過程被稱為類比推理[1]。類比推理包括完全類比推理與不完全類比推理兩種形式。類比推理是一種由一般到一般、由個別到個別的推理形式，其推理結(jié)論具有或然性的特征。同時，類比推理的依據(jù)是類比對象的部分屬性，由已知屬性推理另外的未知屬性，其推理結(jié)論并不完全是正確的。

（二）在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用優(yōu)勢

類比推理是一種認(rèn)知思維方法，將其應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，具有以下優(yōu)勢：第一，有助于調(diào)動學(xué)生的數(shù)學(xué)探究積極性。教師在課上組織學(xué)生類比學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生有充分的機會利用已積累的經(jīng)驗、知識探究未知的數(shù)學(xué)問題。在這一過程中，學(xué)生的注意力高度集中，能夠在短時間內(nèi)找到學(xué)習(xí)新知的訣竅，體會到學(xué)習(xí)的樂趣，從而形成積極的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度。第二，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。類比推理是一種思維方法，學(xué)生應(yīng)用這一方法可以將抽象的數(shù)學(xué)知識變得具象化，區(qū)分不同知識點的異同。

二、類比推理法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）滲透類比思想，樹立類比學(xué)習(xí)觀念

受傳統(tǒng)“填鴨式”教育思想的影響，部分學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識時傾向于死記硬背數(shù)學(xué)概念、計算公式、數(shù)學(xué)算法等，忽視了對知識點之間相同、不同處的分析，導(dǎo)致對數(shù)學(xué)知識一知半解[2]。究其原因，在于學(xué)生缺乏良好的學(xué)習(xí)觀念。在實際教學(xué)中，教師要在課上滲透講解類比思想，將類比思想的概念內(nèi)涵、應(yīng)用方法、應(yīng)用優(yōu)勢在課上分享給學(xué)生，循序漸進地培養(yǎng)學(xué)生的類比推理學(xué)習(xí)意識，引導(dǎo)其樹立類比學(xué)習(xí)觀念。

以人教版高一必修第一冊“集合間的基本關(guān)系”一課的教學(xué)為例，為了使學(xué)生充分理解集合之間的包含、相等關(guān)系的含義，理解子集、真子集、空集的概念，教師類比實數(shù)的大小關(guān)系，引入集合的包含與相等關(guān)系。在導(dǎo)入階段，教師滲透類比思想：類比思想是一種知識的遷移思想，即一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響。在數(shù)學(xué)探究過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已掌握的知識對未掌握的知識進行類比推理，以降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度。通過滲透類比思想，學(xué)生在腦海中形成類比學(xué)習(xí)的觀念，不再死記硬背知識。在此基礎(chǔ)上，教師提出類比問題：（1）元素與集合的關(guān)系有哪幾種？0與N的關(guān)系是什么？-1.5與R的關(guān)系是什么？（2）類比實數(shù)大小關(guān)系，如5<7，2≤2，試想集合間是否有類似的“大小”關(guān)系？通過問題加深學(xué)生對類比思想的理解，使其真正掌握類比推理的思想方法。

上述案例，教師立足課堂實際教學(xué)內(nèi)容，在恰當(dāng)?shù)臅r機為學(xué)生介紹類比思想，并圍繞類比思想提出相應(yīng)的問題，加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的認(rèn)知與理解，為學(xué)生樹立類比學(xué)習(xí)觀念奠定了基礎(chǔ)。

（二）明確類比目標(biāo)，優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)

類比學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于挖掘不同知識點存在的內(nèi)在聯(lián)系。然而，部分教師在類比教學(xué)時，受眾多數(shù)學(xué)知識點的干擾，出現(xiàn)了教學(xué)方向不明、教學(xué)結(jié)構(gòu)混亂的問題，影響了教學(xué)的正常進行。究其原因，在于教師未能明確類比教學(xué)目標(biāo)，使課程教學(xué)有形無“魂”。應(yīng)用類比推理法教學(xué)之前，教師應(yīng)立足教學(xué)實際，分析課程的主次教學(xué)內(nèi)容，并根據(jù)學(xué)生的實際學(xué)習(xí)水平明確類比目標(biāo)，圍繞目標(biāo)設(shè)置有層次的教學(xué)結(jié)構(gòu)，保證高中數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量。

以人教版高一必修第一冊“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”一課的教學(xué)為例，類比推理前，教師應(yīng)明確探究一元二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式三者之間的關(guān)系是本課的主要教學(xué)內(nèi)容，也是教學(xué)重難點。明確重難點后，教師再確定類比推理的教學(xué)目標(biāo)：能夠用二次函數(shù)的觀點處理二次方程、二次不等式問題，感悟函數(shù)的重要性及數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)。為達成這一目標(biāo)，教師設(shè)計類比推理教學(xué)方案：第一，出示一次函數(shù)與一元一次不等式的圖像與數(shù)據(jù)表格，組織學(xué)生分析二者之間的關(guān)聯(lián)；第二，組織學(xué)生基于一次函數(shù)、一次不等式知識點的關(guān)聯(lián)類比推理一元二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式三者之間的關(guān)系；第三，得出推理結(jié)論，并組織學(xué)生驗證結(jié)論是否正確。

上述案例，教師綜合課程教學(xué)內(nèi)容，明確類比推理的應(yīng)用目標(biāo)，并根據(jù)具體目標(biāo)優(yōu)化課程教學(xué)結(jié)構(gòu)，使學(xué)生按照具體步驟類比、推理、演繹數(shù)學(xué)知識點，從而提高學(xué)生的類比學(xué)習(xí)效率。

（三）提出引導(dǎo)問題，引發(fā)數(shù)學(xué)探究興趣

并不是所有的學(xué)生都具備類比推理的思維能力，少數(shù)學(xué)生無法明確不同數(shù)學(xué)知識點之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，在類比學(xué)習(xí)時較為吃力。為了降低類比學(xué)習(xí)的難度，使學(xué)生對類比推理學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣，教師應(yīng)發(fā)揮自身引導(dǎo)作用，啟發(fā)學(xué)生進行類比學(xué)習(xí)。

以人教版高一必修第一冊“指數(shù)函數(shù)”一課的教學(xué)為例，為了使學(xué)生在類比推理學(xué)習(xí)中掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，教師在課上提出引導(dǎo)性問題：取一張正方形紙片，將紙片對折，紙片對折的次數(shù)x與所得層數(shù)y的關(guān)系可用什么函數(shù)表示？對折次數(shù)x與折后面積y的關(guān)系可用什么函數(shù)表示？通過提問讓學(xué)生得出y=x2與y=（）x兩個函數(shù)，類比兩個函數(shù)的異同。比如，函數(shù)y=x2的圖像是怎樣的？有什么特征？函數(shù)y=（）x的圖像是怎樣的？兩個函數(shù)的圖像有怎樣的區(qū)別？讓學(xué)生在引導(dǎo)性問題的驅(qū)動下，發(fā)現(xiàn)兩種函數(shù)的異同之處，激發(fā)學(xué)生的探究意識，再借助具體的問題，讓學(xué)生抽象兩種函數(shù)的共性和差別，幫助學(xué)生完成由一般到一般的類比推理學(xué)習(xí)。

上述案例，教師將新知教學(xué)內(nèi)容與過去教學(xué)的數(shù)學(xué)知識進行類比推理，同時結(jié)合學(xué)生的類比學(xué)習(xí)進度提出有針對性的引導(dǎo)問題，使學(xué)生在解答問題的過程中得到類比結(jié)果，從而形成積極的類比探究學(xué)習(xí)態(tài)度。

（四）觀察比較實物，發(fā)展直觀類比思維

高中數(shù)學(xué)知識具有較強的抽象性，若教師一味使用抽象的數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)語言展開類比推理教學(xué)，會增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，使其對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生倦怠感。在實際教學(xué)中，教師應(yīng)控制好教學(xué)節(jié)奏，在講解復(fù)雜知識點時，設(shè)計直觀性較強的類比推理教學(xué)方案，使學(xué)生在直觀觀察、直觀類比的過程中找到類比對象的異同點，從而加深對數(shù)學(xué)知識點的理解與記憶。

以人教版高一數(shù)學(xué)必修第二冊“簡單幾何體的表面積與體積”一課為例，教師將幾何體的結(jié)構(gòu)相似性作為類比推理教學(xué)的依據(jù)，在課上展示實物，讓學(xué)生觀察、比較，并結(jié)合已學(xué)的知識對數(shù)學(xué)問題進行類比推理。課上，教師展示高度相同、底面積相同的長方體與不規(guī)則四棱柱體的實物，組織學(xué)生以小組為單位觀察二者的異同，并提出討論性問題：長方體的體積應(yīng)怎樣計算？不規(guī)則四棱柱體的體積應(yīng)怎樣計算？二者之間有聯(lián)系嗎？讓學(xué)生帶著問題觀察、比較幾何體，應(yīng)用現(xiàn)有的工具模擬兩個幾何體：用兩摞教科書在桌面摞成兩個長方體，其中一個不動，使另一個長方體向一側(cè)傾斜，完成數(shù)學(xué)模型的搭建。這時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)長方體與四棱柱體的底面積相同、高相同，推理出四棱柱體體積的求解公式V=SH（S：底面面積；H：柱高）。

上述案例，教師根據(jù)教學(xué)需求收集教學(xué)實物，并將其直觀呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，然后組織學(xué)生以小組為單位觀察、比較兩組實物的異同，讓其在合作構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、對比異同的過程中進行類比推理，從而得出數(shù)學(xué)結(jié)論，形成良好的直觀類比思維。

（五）組織聯(lián)想辨別，發(fā)展推理思維

根據(jù)類比推理的內(nèi)涵和特征，教師應(yīng)明確高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的重點，在課上預(yù)留學(xué)生獨立思考、合作討論的時間，并組織相應(yīng)的教學(xué)活動，使學(xué)生在課上進行創(chuàng)造性的類比推理。在這一過程中，教師應(yīng)轉(zhuǎn)變固有的師本教學(xué)思想，將課堂還給學(xué)生，將其作為學(xué)習(xí)主體，組織學(xué)生參與類比聯(lián)想、類比辨別的學(xué)習(xí)活動，使其在活動中大膽設(shè)想，以發(fā)散性的數(shù)學(xué)思維探究數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。

以人教版高一必修第二冊“復(fù)數(shù)”一單元的教學(xué)為例，復(fù)數(shù)具有幾何意義，教師可應(yīng)用平面向量的相關(guān)知識組織學(xué)生進行類比、聯(lián)想：復(fù)數(shù)與向量具有相似的性質(zhì)，比如，向量與復(fù)數(shù)z=a+bi存在意義對應(yīng)的關(guān)系，復(fù)數(shù)z=a+bi的模可用對應(yīng)向量的模||表示等。教師可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)對應(yīng)向量相加、相減、相乘的性質(zhì)，聯(lián)想復(fù)數(shù)z1與z2相加、相減、相乘的結(jié)果，提出猜想：兩個復(fù)數(shù)相加可用兩對應(yīng)向量相加表示；求解兩個復(fù)數(shù)相減的答案，可以應(yīng)用求兩對應(yīng)向量相減的方法計算等。在此過程中，教師不限制學(xué)生聯(lián)想，使其大膽猜測，逐步形成類比推理的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

上述案例，教師明確新知內(nèi)容與已教學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)，將二者相同的性質(zhì)作為類比推理依據(jù)，組織學(xué)生在課上討論、猜想，使學(xué)生在此過程中形成大膽設(shè)想的創(chuàng)造性類比思維。

（六）驗證類比結(jié)論，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象思維

類比推理是一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹⒏缓壿嫷乃季S過程。由于類比推理的結(jié)論具有或然性的特征，為了避免學(xué)生形成錯誤的認(rèn)知，教師需組織結(jié)論驗證教學(xué)活動。在這一活動中，教師應(yīng)用相關(guān)案例，讓學(xué)生將類比推理的結(jié)論代入案例中，若應(yīng)用該結(jié)論計算分析后得到的答案與原答案相同，說明類比結(jié)論正確，反之則不然。

以人教版高一數(shù)學(xué)必修第二冊“用樣本估計總體”一課的教學(xué)為例，教師將初中所學(xué)的統(tǒng)計知識應(yīng)用到本課的類比推理教學(xué)中，讓學(xué)生在回顧舊知的過程中推理頻率分布表、頻率分布直方圖的繪制方法與作用。根據(jù)學(xué)生推理結(jié)果，教師引入實際案例：一個口袋有1個黑球和若干個白球，這些球除顏色以外，形狀大小都一樣，如果不許將小球倒出來，怎樣估計其中白球的數(shù)目？讓學(xué)生用推理出的結(jié)論解決問題，在得到問題答案后，將口袋打開，讓學(xué)生數(shù)清白球的數(shù)量，以此驗證學(xué)生所推理的結(jié)論是否正確。

在這一過程中，學(xué)生先通過類比推理得出結(jié)論，再進行案例應(yīng)用驗證結(jié)論，進一步總結(jié)所推理論的正誤，提高了數(shù)學(xué)歸納、數(shù)學(xué)抽象思維能力。

（七）建構(gòu)知識體系，提升類比建構(gòu)能力

建構(gòu)知識體系是類比推理教學(xué)的重要教學(xué)環(huán)節(jié)之一。在學(xué)生完成對知識結(jié)構(gòu)、不同知識點內(nèi)在關(guān)聯(lián)的探究后，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生完善自身知識體系，在課上組織類比實驗，讓學(xué)生在實驗操作的過程中類比解題方法，從中推理、總結(jié)數(shù)學(xué)的一般性規(guī)律，進一步搭建數(shù)學(xué)知識框架，讓學(xué)生在信息化教學(xué)工具的指導(dǎo)下完成對新舊知識點的關(guān)聯(lián)類比，吸收、內(nèi)化數(shù)學(xué)知識。

以人教版高一數(shù)學(xué)必修第二冊“頻率與概率”一課的教學(xué)為例，在完成初中統(tǒng)計知識的類比教學(xué)后，教師組織學(xué)生進行類比試驗。試驗1：把全班分成10個小組，每組分配兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，拋擲一枚硬幣一次，統(tǒng)計“正面朝上”的情況；試驗2：把全班分成10個小組，每組分配一個骰子，一次拋擲一個骰子，記錄“點1朝上”的情況。這樣，學(xué)生從兩次試驗中類比出概率的統(tǒng)計定義，明確事件A發(fā)生概率的估計值P（A）=的含義，同時結(jié)合概率的性質(zhì)0≤P（A）≤1、P（A）+P（A）=1對“若事件A與B互斥，則P（A+B）=P（A）+P（B）”這一性質(zhì)進行類比推理。在這一過程中，學(xué)生充分參與了數(shù)學(xué)理論的發(fā)現(xiàn)、推理、驗證，對數(shù)學(xué)理論有了更深刻的認(rèn)知，能夠輕而易舉地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系。

結(jié)? 語

綜上所述，將類比推理法應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對培養(yǎng)學(xué)生的歸納、推理、建構(gòu)能力有積極意義。在實際教學(xué)中，教師要把握類比推理法的核心概念，積極將這一方法應(yīng)用到知識教學(xué)、習(xí)題教學(xué)中，通過提問、引導(dǎo)、比較、聯(lián)想、驗證等過程，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知與理解，使學(xué)生達到深度學(xué)習(xí)的狀態(tài)，促進學(xué)生的綜合發(fā)展。

[參考文獻]

李揚.類比推理法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].高中數(shù)理化，2021（S1）：6.

任劍波.類比推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中的應(yīng)用研究[J].求知導(dǎo)刊，2021（47）：52-54.

作者簡介：高新春（1982.6-），男，福建莆田人，

任教于福建省莆田第三中學(xué)，教研組長，中級職稱，本科學(xué)歷，曾獲2016年莆田市“優(yōu)秀班主任”稱號。