圓中線段計算的兩個解題策略

朱國華

計算圓中線段的長度是中考常考題型，是對圓的性質、三角函數、相似三角形、勾股定理等知識的綜合運用。此類題目屢考屢新，但我們只需掌握兩個解題策略，便能以不變應萬變。

策略一：借助解直角三角形

1.利用勾股定理求解

例1 如圖1，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，點O是AC上一點，以O為圓心，OC為半徑作⊙O，⊙O與AB相切于點D。求AO的長。

【解析】如圖2，連接OD。在Rt△ABC中，AB=[82+62]=10。因為OC⊥BC，所以BC是⊙O的切線。又因為BD也是⊙O的切線，所以BD=BC=6，所以AD=10-6=4，且∠ADO=90°。設AO=x，則有OD=OC=8-x。在Rt△ADO中，有AD2+OD2=AO2，所以42+（8-x）2=x2，解得x=5，所以AO=5。

【點評】將已知量和未知量集中到直角三角形中求解，是求線段長度常用的方法。本題由切線產生直角，形成直角三角形，建立線段關系，為用勾股定理求線段長度提供了可能性。

2.利用三角函數求解

例2 如圖3，四邊形ABCD內接于⊙O，AD是⊙O的直徑，連接AC，sin∠BAC=[13]，AD=6，求BC的長。

【解析】如圖4，作直徑BE，連接EC。因為BE是直徑，所以∠BCE=90°，且BE=AD=6。因為sin∠BAC=[13]，所以sin∠BEC=[13]。在Rt△BCE中，sin∠BEC=[BCBE]，則有BC=BE·sin∠BEC=6×[13]=2。

【點評】本題通過“直徑所對的圓周角是直角”構造直角三角形，建立邊角關系，再利用三角函數求解。例1由切線產生直角，例2由直徑產生直角。其實，“垂徑定理”“切線長定理”中也有直角，希望同學們注意。

策略二：借助相似三角形

例3 如圖5，⊙O是△ABC的外接圓，點O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點D，連接BD、CD，過點D作DP∥BC，與AC的延長線交于點P。當AB=5，AC=12時，求線段PC的長。

【解析】在Rt△ABC中，BC=[AB2+AC2]

=13。由AD平分∠BAC，可知BD=DC，進而可求得BD=DC=[1322]。因為DP∥BC，所以∠ACB=∠P。又因為∠ACB=∠ADB，所以∠P=∠ADB。由于四邊形ABDC是⊙O內接四邊形，則有∠DCP=∠ABD，所以△ABD∽△DCP，得[ABCD]=[BDCP]，即[51322]=[1322CP]，解得CP=[16910]。

【點評】把已知線段和未知線段集中到兩個相似三角形中，利用對應邊成比例列方程求解，是求線段長度常用的方法。和圓有關的圖形中，經常隱藏很多等角，存在著相似三角形，這就需要同學們用敏銳的眼光去發現、構造相似三角形，建立線段之間的關系，尋求問題的解決方法。……