折疊求值　三面突破

陳超

在四邊形折疊中求有關線段的長度或比值問題是中考常考內容之一。雖然此類問題會出現多種情境求值情況，但是解決這類問題還是有法可尋的。除了利用四邊形本身的性質以外，重點應從三方面進行思維突破：全等、勾股和相似。

一、折疊中求長度值的問題

例1 如圖1，將矩形紙片ABCD沿CE折疊，使點B落在邊AD上的點F處。若點E在邊AB上，AB=3，BC=5，則AE=。

【解析】由矩形的性質可得，∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=3，AD=BC=5。

設AE=x。由折疊可知，△EFC≌△EBC，

則EF=EB=3-x，FC=BC=5，

∠EFC=∠EBC=90°。

在Rt△CDF中，∠D=90°，

則DF=[CF2-CD2]=[52-32]=4，

AF=AD-DF=5-4=1。

在Rt△AEF中，∠A=90°，

則AE2+AF2=EF2，

即x2+12=（3-x）2，解得x=[43]。

所以AE=[43]。

【點評】本題利用了矩形的性質，從折疊得到全等，再利用勾股定理求解，這也是常規的解題思路。除此之外，我們還可以利用相似求解。從圖中易得相似的基本圖形“K”型圖，即Rt△AEF∽Rt△DFC，則[AEDF]=[AFCD]，據此亦可求出AE。

二、折疊中求距離值的問題

例2 如圖2，在矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一點，且EB=3，F是BC上一動點。若將△EBF沿EF對折后，點B落在點P處，則點P到點D的最短距離為。

【解析】由折疊可知，△EBF≌△EPF。雖然點F在BC上運動時，點P也隨之運動，但始終有EP=EB=3，所以點P在以E為圓心、EB為半徑的圓上，如圖3所示。

易知當點E、P、D共線時，PD的值最小。

在Rt△AED中，∠A=90°，

AD=12，AE=AB-EB=8-3=5，

所以ED=[AE2+AD2]=[52+122]=13，

則PD=ED-EP=13-3=10，

即點P到點D的最短距離為10。

【點評】本題是折疊中的“單動點”求距離最值問題，其本質是利用轉化思想求線段長度值的問題。依據“動”中求“靜”的思想，由折疊可知全等，動點、定長可判斷運動軌跡，從而根據取最值時的動點位置，運用勾股定理求解。可見全等、勾股是本題重要的知識點，也是解題的重要思維突破口。

三、折疊中求比值的問題

例3 如圖4，在矩形ABCD中，[ABBC]=[23]。動點M從點A出發，沿邊AD向點D勻速運動，動點N從點B出發，沿邊BC向點C勻速運動，連接MN。……