用“巧”法，解決函數中平行四邊形存在性問題

張亞男

四邊形結合圖形的變化、坐標是中考中常見的考題，特別是在壓軸題中，特殊四邊形的應用更為廣泛，還常常伴隨多解問題。下面結合一些中考壓軸題總結這類題型的解法。

一、巧用對角線，利用中點坐標重合求解

例1 （2022·遼寧阜新）如圖1，已知二次函數y=-x2+bx+c的圖像交x軸于點A（-1，0）、B（5，0），交y軸于點C。

（1）求這個二次函數的表達式。

（2）已知P是拋物線上一點，在直線BC上是否存在點Q，使以A、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點Q坐標；若不存在，請說明理由。

【解析】（1）用待定系數法可得二次函數的表達式為y=-x2+4x+5。

（2）由B（5，0）、C（0，5）得直線BC的表達式為y=-x+5。設Q（m，-m+5）、P（n，-n2+4n+5）。此時，要分情況分析：①當PQ、AC是對角線時，則PQ、AC的中點重合，有

[m+n=-1+0，-m+5-n2+4n+5=0+5，]解得Q（-7，12）；②當QA、PC為對角線時，則QA、PC的中點重合，同理可得Q（7，-2）；③當QC、PA為對角線時，則QC、PA的中點重合，同理可得Q（1，4）或（2，3）。

【點評】本題考查二次函數和平行四邊形的綜合應用。直接畫出大致圖像較難，所以，我們要充分利用平行四邊形的對角線互相平分這一性質，通過對對角線進行分類討論，借助中點坐標公式巧解問題。

二、巧用平移，利用平移方向相同求解

例2 （2022·四川資陽）已知二次函數圖像的頂點坐標為A（1，4），且與x軸交于點B（-1，0）。

（1）求二次函數的表達式。

（2）如圖2，將二次函數圖像繞x軸的正半軸上一點P（m，0）旋轉180°，此時點A、B的對應點分別為點C、D。

①連接AB、BC、CD、DA，當四邊形ABCD為矩形時，求m的值。

②在①的條件下，若點M是直線x=m上一點，原二次函數圖像上是否存在一點Q，使得以點B、C、M、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

【解析】（1）用待定系數法可得二次函數的表達式為y=-x2+2x+3。……