挖掘問題本質　巧用模型求解

康敏

解決平行四邊形綜合類問題，我們要學會結合圖形抓住已知條件中的關鍵信息，尋求已知條件的內涵，結合所求的結論，從前向后分析，再從后向前逆推，挖掘問題的本質，找準解決問題的關鍵點，最終探究到適當的數學模型來解決問題。

例1 （2022·江蘇泰州）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為與點D不重合的動點，以DE為邊作正方形DEFG。設DE=d1，點F、點G與點C的距離分別為d2、d3，則d1+d2+d3的最小值為（）。

A.[2]B.2C.[22]D.4

【分析】如圖2，連接CF、CG，求d1+d2+d3的最小值，就是求DE+FC+GC的最小值。但是DE與另兩邊沒有公共點，這就需要把“折線段”的和轉化為“直線段”的和，所以要轉化線段DE。由四邊形DEFG是正方形，可得DE=EF。結合圖形，還需要把CG也轉換，這里就是難點和關鍵點。由四邊形ABCD是正方形，得到∠ADC=∠EDG=90°，AD=CD，能推出∠ADE=∠CDG，這樣就聯想構造三角形全等。連接AE，利用“SAS”證明出△ADE≌△CDG，得出AE=CG，把DE+FC+GC轉化為EF+FC+AE。所以，當A、E、F、C四點共線時，即得最小值。

解：如圖2，連接CF、CG和AE。

∵四邊形ABCD是正方形，四邊形DEFG是正方形，

∴AD=CD，∠ADC=∠EDG=90°，DE=EF=DG。

∴∠ADE=∠CDG。

在△ADE和△CDG中，

[AD=CD，∠ADE=∠CDG，DE=DG，]

∴△ADE≌△CDG（SAS）。

∴AE=CG。∴DE+CF+CG=EF+CF+AE。

當A、E、F、C四點共線時，能取到最小值，即AC的長。

∵AC=[AD2+CD2]=[22+22]=[22]，

∴d1+d2+d3的最小值為[22]。

故選C。

【點評】本題主要考查正方形的性質、全等三角形的證明、勾股定理的運用、轉換思想等。正確構造全等三角形求出邊相等是解決本題的難點，此題的全等證明是“手拉手模型”。求順次相連的多條線段和最小，關鍵是把“折線段”的和轉化為“直線段”的和，簡稱“化折為直”。當這幾點共線時，線段和最小，本質上運用了兩點之間線段最短，體現了由一般到特殊的數學思想。

例2 （2022·江蘇連云港）如圖3，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點E，使DE=AD，且BE⊥DC。

（1）求證：四邊形DBCE為菱形；……