按點分析，得心應手

晏南飛

平行四邊形和特殊的平行四邊形的解答題在中考中是較為常見的，涉及的知識點較多，綜合性較強，解題難度較大。那么，如何解答才能不失分？這就需要我們學會分解題目，踩點分析，規范書寫。下面就以2022年內蒙古呼和浩特市的一道中考題為例說明。

下面是八年級教科書中的一道題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F。求證：AE=EF。（提示：取AB的中點G，連接EG）

（1）請你思考題中“提示”，這樣添加輔助線的意圖是得到條件：______。

（2）如圖2，若點E是BC邊上任意一點（不與B、C重合），其他條件不變。求證：AE=EF。

（3）在（2）的條件下，連接AC，過點E作EP⊥AC，垂足為P。設[BEBC]=K，當K為何值時，四邊形ECFP是平行四邊形，并給予證明。

解：（1）AG=CE。（2分）

（2）取AG=EC，連接EG，如圖3。（3分）

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠B=90°。

∵AG=EC，∴BG=BE。

∴△BGE是等腰直角三角形。

∴∠BGE=∠BEG=45°。

∴∠AGE=135°。

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°。

∵CF是正方形ABCD外角的平分線，

∴∠DCF=45°。

∴∠ECF=90°+45°=135°。

∴∠AGE=∠ECF。（4分）

∵AE⊥EF，

∴∠AEB+∠FEC=90°。

∵∠BAE+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF。（5分）

在△GAE和△CEF中，

[∠GAE=∠CEF，AG=EC，∠AGE=∠ECF，]

∴△GAE≌△CEF（ASA）。

∴AE=EF。（6分）

（3）當K=[13]時，四邊形ECFP是平行四邊形。（7分）

取AG=EC，連接EG，如圖4。

由（2）得△CEF≌△GAE，∴CF=EG。

設BC=x，則BE=Kx，

∴GE=[2]Kx，EC=（1-K）x。（8分）

∵EP⊥AC，

∴△PEC是等腰直角三角形。

∴∠PEC=45°。

∴∠PEC+∠ECF=180°，PE=[22]（1-K）x。

∴PE∥CF。（9分）

當PE=CF時，四邊形ECFP是平行四邊形，∴[22]（1-K）x=[2]Kx，解得K=[13]。（10分）

【得分分析】（1）“提示：取AB的中點G，連接EG”是本題解決問題的關鍵。要證AE=EF，通常要證這兩條邊所在的三角形全等。而在現有圖形中沒有這樣的全等三角形，就需要構造三角形。條件中給出點E是邊BC的中點，可以得到CE=[12]BC。觀察圖形，再根據正方形性質，可以知道AB=BC，就明白為什么要“取AB的中點G，連接EG”。其直接目的是證明AG=CE，下一目標是證全等。

（2）此問弱化了條件，把特殊點“中點”換成一般點“邊上任意的一點”，解題基本思路與第（1）問一樣，正確作出輔助線就可以拿1分。為證明全等，找到對應的兩個角相等，就可以各得1分，最終寫出結論得1分。……