十邊形化學圖的Gutman指數問題研究

朱皖琳 耿顯亞

摘 ?要：假定[Gn]表示由隨機 n個十邊形構成的線性結構分子圖，借助圖的結構特點，計算[Gn]的 Gutman指數的數學期望，并獲得了隨機十邊形鏈Gutman指數的極值.

關鍵詞：Gutman指數；隨機十邊形鏈；數學期望；極值

[ ? 中圖分類號 ? ?]O157．6 [ ? ?文獻標志碼 ? ] ?A

Research on Gutman Index of Decagon Chemical Graphs

ZHU Wanlin，GENG Xianya

（School of Mathematics and Big Data，Anhui University of Science and Technology，Huainan

232001，China）

Abstract：It is assumed that Gn respresents a linear molecular graph of random decagons，and derived from the structural characteristics of the graph we calculate the expected value of Gutman index in a random decagon chain. And the Gutman index of random decagonal chains with extremal value are also obtained.

Key words：Gutman index； random decagon chain； expected value； extremal value

化學圖論中一個最重要的方法是拓撲指數，許多十邊形的化合物，其衍生物一直是有機化學領域的重要研究課題.正十邊形的結構十分特殊，它是唯一符合黃金分割比的正多邊形，因此，越來越多的人研究其結構和性質.本文只考慮有限的簡單連通圖，研究具有[n]個十邊形的化合物鏈的Gutman指數，符號與專業術語參考文獻[1-8].

1 隨機十邊形鏈的Gutman指數的數學期望

設[G=（VG，EG）]是頂點集為[VG]、邊集為[EG]的非平凡簡單連通圖.圖[G]中頂點[u]和[v]之間的最短距離[dG（u，v）]（簡稱[d（u，v）]）稱為最短路.維納指數[W（G）]就是基于距離的圖不變量，計算圖[G]中所有頂點對之間的距離和.[9]Gutman指數的提出擴展了與頂點距離和度相關圖參數的研究領域，是一個重要的圖參數，與很多分子的結構特征有著密切關系.[10]

具有[n]個十邊形的隨機化合物鏈[Gn]是由[n-1]個十邊形鏈[Gn-1]連接一個新的末端十邊形[Hn]得到的，見圖1.當[n≥3]，末端十邊形[Hn]有5種連接方式，將其表示為[G1n，G2n，G3n，G4n，G5n]，見圖2. 具有[n]個十邊形的隨機化合物鏈[Gn（p1，p2，p3，p4）]是通過逐步添加末端十邊形得到的.在每一步[k=（3，4，5，……，n）]添加中，可隨機選擇5種連接方式中的一種.[11-13][Gn→G1n+1]的概率為[p1]，[Gn→G2n+1]的概率為[p2]，[Gn→G3n+1]的概率為[p3]， [Gn→G4n+1]的概率為[p4]， [Gn→G5n+1]的概率為[1-p1-p2-p3-p4].

其中，[p1，p2，p3]和[p4]為常數，與參數[k]無關.

計算隨機十邊形鏈的Gutman指數的數學期望.隨機十邊形化合物鏈[Gn+1]是由[Gn]連接一個新的末端十邊形[Hn+1]得到的，其中，[Hn+1]是由頂點[x1，x2，x3，……，x10]構成，新的邊為[unx1]，見圖1.一方面，對于所有的[v∈VGn]，有

[d（x1）=d（un，v）+1， ? ?d（x2）=d（un，v）+2，…， ? ?d（x6）=d（un，v）+6，d（x7）=d（un，v）+5， ? ?d（x8）=d（un，v）+4， …， ? ?d（x10）=d（un，v）+2.]

[v∈VGndGn+1（v）=22n-1].

另一方面，

[i=12kd（xi）d（x1，xi）=50， ? ?i=12kd（xi）d（x2，xi）=51， ? …， ? ?i=12kd（xi）d（x6，xi）=55，]

[i=12kd（xi）d（x7，xi）=54， ? ?i=12kd（xi）d（x8，xi）=53， ? …， ? ?i=12kd（xi）d（x10，xi）=51].

定理1 當[n≥1]，無規十邊形鏈[Gn]的Gutman指數的期望為

[E（Gut（Gn））=（1 ?452-968p1-726p2-484p3-242p4）n33+（968p1+726p2+484p3+242p4-132）n2 +（447-1 ?936p1-1 ?452p2-968p3-484p4）n3-1.]

證明 無規十邊形鏈[Gn+1]是通過將[Gn]連接一個新的末端十邊形[Hn+1]而獲得的，這里的[Hn+1]由頂點[x1，x2，x3…x10]構成，新邊為[unx1]，如圖2，那么有

[Gut（Gn+1）={u，v}?VGnd（u）d（v）d（u，v）+v∈VGnxi∈VHn+1d（v）d（xi）d（v，xi）+{xi，xj}?VHn+1d（xi）d（xj）d（xi，xj）]

其中，

[{u，v}?VGnd（u）d（v）d（u，v）={u，v}?VGn＼{un}d（u）d（v）d（u，v）+v∈VGn＼{un}dGn+1（un）d（v）d（un，v）={u，v}?VGn＼{un}d（u）d（v）d（u，v）+v∈VGn＼{un}（dGn（un）+1）d（v）d（un，v）=Gut（Gn）+v∈VGnd（v）d（un，v）.]

當[d（xi）=3]，對于[i∈2，3，4…10]，有

[v∈VGnxi∈VHn+1d（v）d（xi）d（v，xi）=v∈VGnd（v）[3（d（un，v）+1）+…+2（d（un，v）+5）+2（d（un，v）+ ? ?4）+…+2（d（un，v）+2）]][=v∈VGnd（v）（21d（un，v）+71）=21v∈VGnd（v）d（un，v）+71v∈VGnd（v） ]

[ ? ?=21v∈VGnd（v）d（un，v）+71（22n-1）.]

[{xi，xj}?VHn+1d（xi）d（xj）d（xi，xj）=12i=110d（xi）（j=110d（xj）d（xi，xj）= 12[3×50+2×51+…+2×55+2×54+…+2×51]=550.]

綜上，得到

[Gut（Gn+1）=Gut（Gn）+22v∈VGnd（v）d（un，v）+1 ?562n+479].

對于無規十邊形鏈[Gn]，[v∈VGnd（v）d（un，v）]的數值是一個隨機變量，可以把它的期望表示為

[An：=E（v∈VGnd（v）d（un，v））].通過直接計算，可以得到無規十邊形鏈[Gn]的Gutman指數期望值的遞推關系.

[E（Gut（Gn+1））=E（Gut（Gn））+22An+1 ?562n+479].

考慮以下5種可能的情況：

情況1：[Gn→G1n+1]，在這種情況下，[un]考慮頂點[x2]或[x10]，那么，[v∈VGnd（v）d（un，v）]是有[v∈VGnd（v）d（u2，v）]或[v∈VGnd（v）d（u10，v）]兩種結果，概率為[p1].

情況2：[Gn→G2n+1]，在這種情況下，[un]考慮頂點[x3]或[x9]，那么，[v∈VGnd（v）d（un，v）]是有[v∈VGnd（v）d（u3，v）]或[v∈VGnd（v）d（u9，v）]兩種結果，概率為[p2].

情況3：[Gn→G3n+1]，在這種情況下，[un]考慮頂點[x4]或[x8]，那么，[v∈VGnd（v）d（un，v）]是有[v∈VGnd（v）d（u4，v）]或[v∈VGnd（v）d（u8，v）]兩種結果，概率為[p3].

情況4：[Gn→G4n+1]，在這種情況下，[un]考慮頂點[x5]或[x7]，那么，[v∈VGnd（v）d（un，v）]是有[v∈VGnd（v）d（u5，v）]或[v∈VGnd（v）d（u7，v）]兩種結果，概率為[p4].

情況5：[Gn→G5n+1]，在這種情況下，[un]考慮頂點[x6]，那么，[v∈VGnd（v）d（un，v）]是有[v∈VGnd（v）d（u6，v）]這種結果，概率為[1-p1-p2-p3-p4].根據以上5種情況，可以得出期望值[An]為：

[An=p1v∈VGnd（v）d（x2，v）+…+p4v∈VGnd（v）d（x5，v）+（1-p1-p2-p3-p4）v∈VGnd（v）d（x6，v） ? ? ?=p1[v∈VGn-1d（v）d（un-1，v）+2v∈VGn-1d（v）+51]+…+p4[v∈VGn-1d（v）d（un-1，v）+ ? ? ? ? ? 5v∈VGn-1d（v）+54]+（1-p1-p2-p3-p4）[v∈VGn-1d（v）d（un-1，v）+6v∈VGn-1d（v）+55].]

通過將期望運算符應用于上述等式，可以獲得期望值：

[E（An）=An].

[An=p1（An-1+44n+5）+p2（An-1+66n-17）+p3（An-1+88n-39）+p4（An-1+110n-61） +（1-p1-p2-p3-p4）（An-1+132n-83） =An-1+（132-88p1-66p2-44p3-22p4）n+88p1+66p2+44p3+22p4-83.]

邊界條件為：[A1=E（v∈VG1d（v）d（u1，v）=50].

根據上述遞推關系和邊界條件，得到

[An=（66-44p1-33p2-22p3-11p4）n2+（44p1+33p2+22p3+11p4-17）n+1.]

[因此，E（Gut（Gn+1））=E（Gut（Gn））+22An+1 ?562n+479=E（Gut（Gn））+][22[（66-44p1-33p2-22p3-11p4）n2 +（44p1+33p2+22p3+11p4-17）n+1]+1 562n+479.]

邊界條件為：[E（Gut（G1））=500].

根據上述遞推關系和邊界條件，得到期望值[E（Gut（Gn））]為 ：

[E（Gut（Gn））=（1 ?452-968p1-726p2-484p3-242p4）n33+（968p1+726p2+484p3+242p4-132）n2 +（447-1 ?936p1-1 ?452p2-968p3-484p4）n3-1.]

特別地，如果[p1=1]，此時[p2=p3=p4=p5=0]，則[Gn?Mn].如果[p2=1]（相應的[p3=1]，[p4=1]），此時[p1=p3=p4=p5=0]（相應的[p1=p2=p4=p5=0]，[p1=p2=p3=p5=0]），則[Gn?O1n]（相應的[Gn?O2n]，[Gn?O3n]）.特別地，如果[p5=1]，此時[p1=p2=p3=p4=0]，則[Gn?Ln].

2 隨機十邊形鏈的Gtuman指數的極值

定理2 對于無規十邊形化合物鏈[Gn（n≥3）]，對鏈[Ln]實現[E（Gut（Gn））]的最大值，間鏈[Mn]實現[E（Gut（Gn））]的最小值.

證明 根據定理1，有

[E（Gut（Gn）=（-968n33+968n2-1 ?936n3）p1+（-726n33+726n2-1 ?452n3）p2+（-484n3+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 484n2-968n3）p3+（-242n33+242n2-484n3）p4+1452n33-132n2+447n3-1.]

當[n≥1]時，通過求偏導數，有

[?E（Gut（Gn））?p1=-968n33+968n2-1 936n3<0， ? ??E（Gut（Gn））?p2=-726n33+726n2-1 452n3<0，?E（Gut（Gn））?p3=-484n33+484n2-968n3<0， ? ??E（Gut（Gn））?p4=-242n33+242n2-484n3<0.]

如果[p1=p2=p3=p4=0]，（[i.e.p5=1]），對鏈[Ln] 實現[E（Gut（Gn））]的最大值，[Gn?Ln] .如果

[p1+p2+p3+p4=1]，令[p4=1-p1-p2-p3]（[0≤p1≤1]，[0≤p2≤1]，[0≤p3≤1]），有

[E（Gut（Gn）=（-968n33+968n2-1 ?936n3）p1+（-726n33+726n2-1 ?452n3）p2+（-484n3+484n2]

[-968n3）p3+（-242n33+242n2-484n3）（1-p1-p2-p3）+1 ?452n33-132n2+447n3-1.]因此，

[?E（Gut（Gn））?p1=-726n33+726n2-1 ?452n3<0， ? ?E（Gut（Gn））?p2=-484n33+484n2-968n3<0，?E（Gut（Gn））?p3=-242n33+242n2-484n3<0. ]

如果[p1=p2=p3=0]，（[i.e.p4=1]），得不到最小值.如果[p1+p2+p3=1]，此時令[p3=1-p1-p2]（[0≤p1≤1]，[0≤p2≤1]），有

[E（Gut（Gn）=（-968n33+968n2-1 ?936n3）p1+（-726n33+726n2-1 ?452n3）p2+（-484n3+484n2-968n3） （1-p1-p2）+1 ?452n33-132n2+447n3-1.]

因此，

[?E（Gut（Gn））?p1=-484n33+484n2-968n3<0， ? ??E（Gut（Gn））?p2=-242n33+242n2-484n3<0. ]

如果[p1=p2=0]，（[i.e.p3=1]），也得不到最小值.如果[p1+p2=1]，令[p1=1-p2]（[0≤p1≤1]），有

[E（Gut（Gn）=（-968n33+968n2-1 ?936n3）（1-p2）+（-726n33+726n2-1 ?452n3）p2+1 ?452n33-132n2+447n3-1]

此時，[?E（Gut（Gn））?p1=242n33+242n2-484n3>0. ]

當[p2=0]，（[i.e.p1=1]），[E（Gut（Gn））]取得最小值，此時[Gn?Mn].

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編輯：琳莉