“拉伸”與“剪拼”的困惑

黃海林

摘? 要：平行四邊形面積公式的推導是整個小學數學階段圖形面積計算中最為關鍵的一環，是轉化思想在小學面積教學中的初次運用，同時也是三角形、梯形、圓的面積計算公式推導的基礎，所以學好這節內容就顯得尤為重要。教學中如何讓學生理解并掌握中的轉化數學思想方法，對學生和教師都是一個挑戰。

關鍵詞：小學數學教學；轉化思想；計算公式

一、“拉伸”與“剪拼”的困惑

學生在進行平行四邊形面積計算時，通過剪拼將不規則的圖形變成規則的圖形，根據計算公式直接求解圖形面積。看似簡單的圖形變換，在教學平行四邊形的面積一課時，如何讓學生自然地想到剪拼的方法是讓許多教師頭疼的事情。為此，很多教師嘗試著通過不同的方式讓學生接受這一方法，但效果往往都不是很理想。

以下教學片段可以為教師的教學設計提供參考。

師：速度不變的情況下選哪條路更近些？為什么？

生１：兩條路一樣近。

師：你為什么認為兩條路是一樣的？

生１：我是將第2條路進行了平移，它就和第1條路一樣長了。

師：（出示課件）圖中展示的是什么？它們的面積一樣嗎？

生１：一樣。

師：你是怎么知道它們的面積一樣的？

生１：我是將第2幅圖右邊的三角形剪下后平移到左邊，它就和第1幅圖一樣大了。

師：（課件展示平行四邊形圖片）這是什么圖形？關于平行四形已經學習了它的哪些知識？

生２：平行四邊形具有容易變形的特征。

生３：還學了平行四邊形的底和高（學生結合圖片回顧底、高等平行四邊形的相關知識）。

師：平行四邊形的面積怎么求，之前學過嗎？

生４：沒有。

師：你覺得平行四邊形可以轉化成什么圖形？

生５：轉化成長方形。

師：怎么轉化？

生６：把平行四邊形拉成長方形。

這樣的教學引導想通過兩個例子引出轉化的數學方法，以此為基點讓學生運用剪拼的方法來探究平行四邊形的面積，看似沒有什么太大的問題，但從實際上來看學生并沒有領會教師的意圖，為什么會出現這樣的情況呢？結合實際教學經驗分析，導致這種情況的根源，是教師在教學中雖然通過教學設計引出轉化思想的計算方式，但一些學生對教師的教學設計興趣不高，導致教學質量與預期存在較大差異，其原因表現在以下幾點。

（一）受平行四邊形的特性影響

容易變形是平行四邊形固有的特性。在平行四邊形的認識（四年級上冊）一課，容易變形的特性給學生留下了深刻的印象，將平行四邊形拉成長方形便是學生最直接的選擇。但他們并不能明白在這一過程中面積并未發生變化，更何況這一過程中平行四邊形每一條邊的長短和周長實際上是發生了變化的。在這種思想、認知影響下，很多學生在教師講解平行四邊形面積時，會思考這樣變形以后面積是否會發生變化？這種變形面積與原來并不一樣，變形還有什么意義？很多學生會在剪拼以后面積與原來是否一樣上糾結很長時間，感覺剪拼以后面積就已經改變，按照這種方式計算出的面積與原來并不一樣。這種認知下，即便是教師向學生介紹剪拼思想，讓學生進行圖形的轉換，學生也會有疑問，甚至完全不理解，只是被動接受教師的這種面積求解方法。

（二）受長方形面積計算的影響

計算長方形的面積是小學生第一次接觸圖形的面積計算，長乘寬這一公式在學生的記憶里是深刻的，是學生有關圖形的面積最基礎、最原始的記憶，是目前為止他們唯一可依賴的計算方式。從解決問題的角度出發，當遇到新的問題時，人們總會不自覺地去回憶已有的知識，從中去尋找解決新問題的方法。于是將平行四邊形拉成長方形再次成了學生最直接的選擇，而且拉成長方形后，長與寬也得到了落實（底邊就成了長，斜邊就成了寬）。從已有知識入手，學生認為將平行四邊形拉伸以后就可以按照長方形面積的計算方式進行計算，感覺這種方法更簡單，但是沒有考慮到拉伸后的面積是否與原來圖形面積一致。

從上面兩個角度出發，將平行四邊形拉成長方形是教學中不可回避的問題，這是學生的已有知識經驗和思維特點決定的。作為教師，如何合理疏導此類問題成了教學中不可回避的問題。

二、運用可視化學具，幫助學生在優化中建立“剪拼”思想

正是因為受平行四邊形的特性及長方形面積計算的影響，“拉伸”法成了多數學生計算平行四邊形面積的首選方法。只有通過直觀可視、可操作的學具，讓學生在操作中直觀感受和體驗“剪拼”法的科學性與合理性，才能真正讓學生理解和接受“剪拼”法。

例如以下教學片段所示：

師：你們能計算出圖中平行四邊形的面積嗎？請試著數一數、畫一畫、算一算。

生１：我是先數滿格的共有１６個，再數半格的共有８個合起來是４個滿格，這樣一共有２４個滿格，所以平行四邊形的面積是２４平方厘米。

生２：老師他這樣數太麻煩了。我是把平行四邊形右邊的小三角形移到左邊，這樣就變成了一個長方形，再來數就簡單了。

師：那一共有幾格呢？

生２：每排有６格，共有４排，６×４＝２４，所以一共有２４個格子，面積是２４平方厘米。

師：你能結合轉化后的圖說一說６×４＝２４中的６、４、２４與平行四邊形有什么關系嗎？

在人教版小學數學五年級數學上冊平行四邊形的面積教材中有一張圖，然而長期以來對這幅圖的運用并未引起教師的重視。他們往往會像上述教學片段中那樣運用幾個簡單例子進行引導，強行將學生的思維拉到剪拼中來，剝奪了學生思考、碰撞、優化的思維發展過程，使學生對知識的理解停留在機械識記層面。

在人教版小學數學三年級下冊第５單元，關于長方形的面積是這樣展開教學的，讓學生通過拼擺得出長方形面積與長方形的長與寬之間的關系，以此歸納概括出長方形的面積＝長×寬。

此處教材的安排依然是想讓學生運用直觀可視的學習材料，在數面積中不斷地去體驗和經歷反思、優化、重組的思維過程。由最初的先數滿格個數再數半格個數（２個半格合成一個滿格）最后將總個數相加不方便、不簡潔，到將平行四邊形進行剪拼轉化成長方形或正方形時的簡潔高效，再由關注長方形面積與長與寬的關系到關注平行四邊形的底與高同轉化后的長方形的長與寬之間的關系，進而關注平行四邊形的面積與其自身的底與高之間的關系，最終形成平行四邊形的面積＝底×高的計算公式。

這一系列的思維發展過程都始終依托教材中的圖，為學生提供可視化的學習材料來完成，將學生看不見、摸不著的思維過程借助可視學具直觀地呈現在師生眼前，更有利于教師對學生的引導。這種可視化教學方法更直觀，也有助于讓學生進行思維轉換。如果教師直接采取將圖形剪拼、轉移的方式進行教學，學生會產生疑問，為什么要這樣移動？而采取這種直觀圖案的方式，具體怎樣移動，以及移動后的面積是否一樣。學生通過觀察圖片有所了解后，在這個基礎上再引導學生思考平行四邊形面積的計算公式，有助于讓學生掌握平行四邊形面積的計算方法。

三、運用可視化教具，幫助學生在對比中辨析“拉伸”思想

教學中，教師應該正視學生出現的問題，因勢利導，不可一味地堵截。只有正視學生的思維方式，才能弄清他們的思考過程，發現思考過程中出現的問題，從而進行合理的疏導，幫助學生突破思維上的障礙，做到真正理解知識。考慮到學生對平行四邊形面積與長方形面積認識上的差異，在教學中教師應引導學生對“拉伸”的錯誤認識，學生意識到自身的錯誤，這樣學生在以后計算平行四邊形面積時可以避免出錯。

例如以下教學片段所示：

師：通過上面的動手操作，已經學會了運用剪拼的方法將平行四邊形轉化成了什么？

生１：長方形。

師：除了用剪拼的方法將平行四邊形轉化成長方形，還有其他的方法嗎？

生２：可以將平行四邊形拉伸成長方形。

師：來看一看拉伸出的長方形是什么樣子的。（用課件進行動態演示）

師：同樣是轉化成長方形，兩種方法有什么不同？

生３：它們底一樣長，寬（也就是高）不一樣。

師：它們的寬分別是原來平行四邊形的什么？

生４：分別是原來平行四邊形的高和斜邊。

師：什么情況下寬是高？什么情況下是斜邊？

生４：剪拼時是高，拉伸時是斜邊。

師：這兩種方式下的長方形面積一樣嗎？為什么？哪一種情況下的面積和原來平行四邊形的面積一樣？

基于學生原有的知識經驗結合平行四邊形的特性，討論將平行四邊形拉成長方形是教學中的重要環節。順應學生的思維，運用這種直觀可視對比的方式，借助方格紙這一媒介，凸顯“拉伸”與“剪拼”之間的本質區別，使學生真正理解為什么應該選擇“剪拼”去求平行四邊形的面積。只有這樣，學生對知識的理解才是深刻的，才能從內心深處、從思維的最原始起點接受這樣的觀點。

教學中教師不應刻意規避學生的“拉伸”思想，而是要在教學設計中介紹“剪拼”思想的同時，讓學生觀察、了解拉伸與剪拼之間的差異。這種教學模式要比直接強制學生接受“剪拼”思想，要求學生摒棄“拉伸”思想的教學模式更有效。讓學生直觀了解到拉伸與剪拼以后的面積差異，以及變化情況，這樣學生很自然地就能理解二者具體存在什么不同。以后學生遇到類似問題時，也不會想當然地去拉伸，而是會利用已有知識，思考怎樣確保變形以后的圖形的面積不變。

在“拉伸”與“剪拼”教學對比后，教師還應進行延伸教學：

師：大家看到了經過不同變換以后，圖形的面積是否一樣？

生１：不一樣，有很大差異。

師：那大家知道應當如何進行平行四邊形面積計算了嗎？

生２：知道了。

師：大家思考一下，為什么變換以后圖形的面積會不一樣？這說明了什么？

生３：變換以后圖形的長寬和原來都不一樣了，面積自然不一樣了。

師：在進行圖形面積計算時，遇到不會計算面積的圖形時，大家清楚應當怎樣做了嗎？可以將圖形變換成熟悉的圖形，然后根據計算公式計算面積。

雖然這種變換的方式可以幫助計算圖形面積，但是大家在進行變換時一定要認真思考，不要盲目進行，像上面這個圖形，一旦大家變換不當，計算出的面積就并非原圖形面積，也就失去了實際意義。

在遇到類似問題時，大家應該了解了進行思維轉換時應當怎樣做了吧？不單單數學問題如此，生活中的其他問題也是如此，一定要明確自身要解決的問題，要保障思維轉換以后的解決方法依然是針對該問題的，而不是轉換思維以后，解決的是其他問題。

四、結語

延伸教學的目的是讓學生形成正確的數學思維模式，掌握利用已有知識解決實際問題的方法。通過“拉伸”與“剪拼”的對比教學，可以讓學生認識到二者的區別，也讓學生學會如何利用已有知識解決實踐問題；使學生在解決問題時能夠堅持一定的原則，去思考轉變以后的圖形是否與所要求解的圖形面積一樣；使學生能夠學會轉換思維，這種轉換應該建立在對事物正確理解與認識的基礎上，而并非“想當然”。這種教學方法不僅讓學生對平行四邊形面積求解有一定的了解，還讓學生形成了數學思維轉換的習慣，以后解決類似數學問題時都能夠深思熟慮后再進行。

參考文獻：

［１］翟運勝． 數學實驗要有明確的目的與要求——以《平行四邊形的面積》教學為例［Ｊ］． 小學教學設計，２０２１（２６）：５２－５４．

［２］潘小明，馬云鵬． “平行四邊形面積”教學實錄及評析［Ｊ］． 小學教學（數學版），２０２１（Ｚ１）：１０６－１１２．

［３］蔣徐巍． 讓教學扎實而豐厚——“平行四邊形面積公式”教學建議［Ｊ］． 教學月刊小學版（數學），２０２１（０９）：３７－４０．

（責任編輯：羅? 欣）