眼中有“形” 心中有“數”

摘 要：直觀模型是能幫助學生將抽象的數學知識變得直觀易懂的一種工具，其中，點子圖就是一種很好的介于實物和數之間的工具，具有直觀性、思辨性、創造性。文章縱向梳理了點子圖在蘇教版教材中的編排，結合教學實踐探析了點子圖的使用方法，重視培養學生的數感，以供參考。

關鍵詞：直觀模型；點子圖；低年段數學；數感；思維；抽象

作者簡介：沈婷（1989—），女，江蘇省蘇州市金筑實驗小學校。

數學的抽象性與低年段學生的直觀性是一對矛盾體，這就決定了小學低年段數學必須借助直觀形象的素材讓學生更好地理解數學知識［1］，其中，點子圖就是一種很好的載體，它能夠讓學生直觀地理解和掌握數學的相關知識，幫助學生建立直觀模型，逐步培養學生的數感。

一、低年段學生認知發展與數感培養

低年段小學生正處于具體運算階段，思維活躍，好奇心強，認知事物以具體的、形象的思維為主，無法長時間集中注意力，容易分心。同時，他們還不具備良好的抽象思維，看待問題以直觀思維為主，而且在數學學習方面也不具備相關的經驗。因此，他們在遇到抽象問題和邏輯性強的問題時會覺得難以理解，做題時錯誤百出，難以理解其中的內在含義。

低年段學生年齡小，可塑性強，正是培養數感的好時機。教師要抓住這一時機，結合直觀模型點子圖，增強課堂教學的直觀性，循序漸進地培養學生的數感。數感是對數的一種感悟，它不像知識、技能的習得那樣立竿見影，它的培養需要學生在學習中循序漸進，積累經驗，經歷一個逐步形成、發展的過程。直觀模型點子圖，能在數感培養中發揮巨大的作用，讓學生經歷不一樣的數感培養過程。

二、直觀模型點子圖的內涵解讀與教材分析

直觀模型是一種能幫助學生將抽象的數學知識變得直觀易懂的工具。對于低年段學生來說，點子圖就是一種很好的工具。“點”，即最簡單的幾何圖形，零維空間的基本存在形式，若干個點有序排列就構成了點子圖。點子圖是一種很好的教學工具，能為學生學好數學提供很大的想象空間。在數與形中，“點”的存在讓兩者完美結合，點子圖是形象思維的一道風景，是兒童從形象感知進階到抽象思維的一個臺階。

數學本身是抽象的，數學和直觀模型相結合能化抽象為形象，將抽象的問題具體化。在教學時，教師要加強學生對知識的理解和掌握，不能局限于口頭講解，要多利用點子圖這樣直觀的模型，將枯燥、抽象的知識轉化為有趣、直觀的內容，從而激發學生的學習興趣，幫助學生更好地理解相關知識。

本文縱向梳理了蘇教版義務教育教科書孫麗谷、王林主編的數學教材中直觀模型點子圖的設計：一上第一單元《數一數》，場景圖中的物體（或人）與點子數是一致的；一上第五單元《認識10以內的數》，先用點子數表示物體個數，再抽象出對應的數字；一上第七單元《分與合》，借助點子圖考查10以內數的分與合；一上第八單元《10以內的加法和減法》和一下第一單元《20以內的退位減法》，借助點子圖闡釋加法和減法的含義；二上第一單元《100以內的加法和減法（三）》，以點子圖理清兩個數相差多少的問題；二上第四單元《表內除法（一）》，借助點子圖分一分，進一步明確平均分的概念；三上第五單元《解決問題的策略》，借助點子圖畫一畫，理解題意。從上述教學內容的梳理，我們可以發現直觀模型點子圖的分布絕大部分在一年級上冊，這符合低年段學生的認知特點。

三、借助點子圖培養小學低年段學生數感的教學實踐探析

本文縱向梳理了蘇教版義務教育教科書孫麗谷、王林主編的數學教材中點子圖的設計，研究了教材中哪些設計環節可以用直觀模型點子圖來輔助教學，培養學生的數感。以下筆者將結合教學實踐探析直觀模型點子圖的使用。

（一）識“點”，化抽象為形象，感悟理解數和數量意義

點子圖在我們學習數和理解數量意義時，起到了過渡作用，其可以建立數和數之間的聯系，拓展數的概念，加強數量單位之間的聯系［2］。

1.搭建現實與數的橋梁

從完整圖示到圖像表征，再到圓點表征，最后到數字符號的生成，點子圖在現實和數中，起到了橋梁作用，能讓數的抽象過程更加具體化，也更合乎一般的邏輯規律，讓學生能更好地體會數字的大小，理解數的意義。學生的思維由直觀逐漸過渡到抽象，從現實生活中出現的數，認識到了數的現實意義。

在蘇教版教材中，點子圖第一次出現是在一年級上冊第一單元《數一數》中，通過聯系場景圖、小圖、圓點，學生能夠數出1—10各數。在《認識10以內的數》中，教材第12頁以慶祝教師節的場景圖呈現知識。例如：書上有2盆花，我們每個人有2只眼睛、2只耳朵、2只手。這些都可以半抽象成2個圓點，最后抽象出數字2。教材有序地呈現了逐步抽象的設計理念。

2.體現數與數的聯系

把數字表示成點子圖時有不同畫法，學生可以從不同點子圖中認識數和數之間的聯系。

在《認識10以內的數》中，教材第23頁“想想做做”第1題“看數涂色”，數字6、7、8畫法不一樣，但其中卻有數的各種特征。每個數下面都有10個圓點，6可以橫著涂2個3，或豎著涂3個2，滲透了數的分與合。當數被抽象成符號時，很多數的特征和數與數的聯系也就被隱藏起來了，而點子圖能很好地體現數與數之間的聯系。

3.加強數量單位之間的聯系

學生理解數的意義時，在認識到了幾個點就表示幾個物體后，還需要注意，給數量加上單位后，其表示的意義又是不同的。點子圖能加深學生對數量單位之間關系的理解。數字被加上單位后，用點子圖將數量具體展示出來，能讓學生更好地理解數量單位，并加深印象。

在一年級下冊《元、角、分》中，教材用紙幣體現了1元和10個1角之間的聯系，用硬幣表示出1角和10個1分的聯系。在教學中，教師可以用點子圖抽象出1元和1角之間的聯系。同樣是一個點表示1，但是加上單位后，它們之間的關系卻發生了變化。

（二）移“點”，化無章為有法，理解算法的意義

每個數字都可以表示為“點”，把一組組點擺在一起，通過不同的移動方式，可以讓學生感悟加減乘除之間的數量關系。蘇教版教材在加減法的運用中會借助點子圖呈現知識，但在乘除法中幾乎不涉及，其實點子圖能很好地讓學生去感悟、體驗乘除這一過程。

1.合“點”——熟知加法的意義

在教學加法時，教師可引導學生先看主題圖，然后是實物圖，接著半抽象成點子圖，最后抽象成數的加法。這一系列從直觀到抽象的過程，可以幫助學生深入理解加法的意義。教材展示將兩組點子圖合并在一起，就是將這兩個數相加，能幫助學生理解加法的意義。

2.去“點”——知曉減法的意義

從一組點子圖中拿走、去掉一部分，就用減法，通常是畫掉或用虛線框表示。在二年級上冊中，通過畫點子圖、移動點子圖，使得兩邊數量同樣多，能讓學生理解三種不同的方法。畫點子圖能清晰地看出芳芳比小軍多的部分，那么將小軍少的部分添上或者將芳芳多的部分去掉就能使得兩人的彩珠數量同樣多；拿出2個芳芳的彩珠給小軍，通過移多補少的方法也能使得兩人的彩珠數量同樣多。這道題結構開放，解法靈活多樣，而我們通過點子圖能很好地提高學生的分析能力和解決問題的能力，提高學生思維的敏捷性和靈活性。

3.擺“點”——通解乘法的意義

對于乘法的啟蒙，教師可逐步引導學生自主畫點子圖，如在理解“3×4”時，學生發現可以每堆擺3個，擺4堆，表示4個3相加；還可以每堆擺4個，擺3堆，表示3個4相加。學生邊畫邊思考，體會乘法的意義。點子圖能幫助學生建立直觀形象的數學模型。

其實在探索豎式計算時，點子圖也是一種很好的方法，其能使豎式計算中每一步的算理都清晰可見［3］，如圖1所示。

豎式中先算3×2=6，在點子圖中就是每列2個，共3列的這一部分，6寫在個位上；豎式中再算3×10=30，在點子圖中就是每列10個，共3列的這一部分，30寫在第二層，注意數位對齊。這種方式能加深學生對豎式計算的理解，體現點子圖和豎式之間的內在聯系。在學生理解了豎式計算每一步的算理后，教師介紹一般乘法豎式計算的簡寫形式，最后結合點子圖，引導學生再次理解6為什么寫在個位上，表示什么意思；3為什么寫在十位上，表示什么意思。

4.分“點”——領悟除法的意義

點子圖能直觀地展示分的過程。學生對于平均分成幾份，每份有幾個能直觀地感受，做題時也能結合點子圖來理解、領悟除法的意義。

除法教學以點子圖為載體，能夠幫助學生理解平均分的含義，理解除法的意義。一組點子圖，每份分的同樣多，就是平均分。如圖2，學生在做題時畫一畫、分一分，對于除法意義的理解會更深刻。

（三）數“點”，化無序為有序，提升估算能力

點子圖是一種很好的形象直觀的學具，它比實物和小棒更加抽象，但又比計數器、數位表更加形象，能有效地提高學生的估算能力。

1.讓學生“看見”數學

一些學生在估算大數時存在很多問題，估算得很離譜。為什么他們的數感會這么差呢？在估算中，學生為什么會出現那么大的偏差呢？究其原因，教師在利用小棒和迪納斯木塊教學時，會出現遮擋的部分，學生對這個數到底是多大仍然沒有直觀的概念。點子圖正好能彌補這個缺陷，讓學生真真正正“看見”數字到底有多大。這些點子圖能讓學生感知數的大小，也能讓學生在估計其他數的大小時有一個標準的支撐，讓學生在估算時有一個具體的參照物。遇到再大一些的數，學生會在標準中做比較，對數形成一定的感知，能實實在在“看見”數字的大小，估算能力也會得到提高。

2.讓學生“觸摸”數學

隨著數的增大，必須建立計數單位，點子圖還能在上面圈圈寫寫畫畫，真真切切地讓學生“觸摸”數學。學生從一個一個計數，到后來會分組分計算單位進行計算，這是數數能力的一種飛躍。在點子圖上圈圈寫寫畫畫，選擇合適的計算單位進行計算，學生在面對大數問題時，會有所把握，能為后續學習更大的數提供方法上的支撐。給三百六十八個小方格涂色，其實就是在考驗學生對數的感知能力，能幫助學生掌握分組計算知識，使其靈活運用計數單位來掌握數學的意義。

（四）畫“點”，化復雜為簡單，積累數感經驗

學生學習完基礎知識后，需要綜合運用所學的知識和方法解決簡單的實際問題，獲得不一樣的數感經驗，讓思考方式可視化、有跡可循，也讓思考角度多樣化。

1.讓思路更清晰

在低年段數學中經常會遇到排隊題目，而點子圖直觀簡潔，能夠幫助學生掌握知識點，理解題目的關鍵點。例如，同學們排成人數相同的4隊做早操，小明在其中的一隊，從前數、從后數他都是第3個，那么做早操的一共有多少人？通過畫點子圖，我們就可以清楚地看出一隊有5人，一共有4隊，那么總人數就是有4個5相加，即20人。

2.讓思維更發散

冷冰的數字，枯燥無味的計算，對有些學生來說毫無趣味可言，但將數字畫成一張張點子圖，組合成一幅幅有規律的圖畫，學生就能發現原來無趣的數字和枯燥的計算背后竟然蘊藏著如此神奇的規律。

在1—10中任意選取兩個數字，將相應的點子圖組合在一起，偶數2、4、6、8中任意兩組點子圖能組合成一個規則的長方形；奇數1、3、5、7、9中任意兩組點子圖也能組合成一個規則的長方形；而一奇一偶的兩個數字組合成的點子圖無法組合成規則的長方形，總是會多出一個，如圖3所示。

結語

綜上所述，教師借助直觀模型點子圖，能幫助低年段的學生建立數感，培養學生的邏輯思維能力，促進學生的思維發展，使其做到心中有“數”。借助點子圖構建起“形”與“數”的聯系，以形助數，以數助形，能讓學生在“形”中發展良好的數感，提升數學核心素養。

［參考文獻］

劉加霞，高麗杰.直觀模型在數學學習中的價值分析：以“數的認識”中的“點子圖”為例［J］.教育視界，2015（24）：4-9.

林傳忠.教材中點子圖的使用策略［J］.小學教學設計，2016（11）：63.

季紅.從具體到抽象，讓乘法豎式有模有樣：蘇教版教材三年級上冊“兩位數乘一位數筆算乘法”的教學與思考［J］.小學教學參考，2017（32）：35.