數學實驗教學要重視理論分析
——對“45°時滾得最遠”這一實驗結論的思考

李 榮

數學實驗是學生學習數學的常用方式。用于開展實驗的工具、環境以及操作過程中出現的誤差等都會對實驗結果產生影響，因而通過實驗獲得的結論在沒有理論依據的情況下只能作為猜想存在。蘇教版四上《怎樣滾得遠》一課的教學，旨在引導學生觀察生活現象，用數學實驗的方式探索“斜面與地面成什么角度時，物體滾得遠一些”這一數學問題。通過課堂觀察和文獻研究，筆者發現，不少教師在教學過程中都會著力于“滾得最遠”角度的探索，似乎不給學生一個明確的答案，本課中所有的實驗探究都會變得沒有意義。于是，“物體從同一斜坡的相同高度（簡稱‘同等條件’）滾落，斜坡與地面的夾角為45°時滾得最遠”這一結論便成了一種共識。然而，斜坡與地面的夾角為45°時，物體真的滾得最遠嗎？針對這個問題，筆者展開了如下思考與探究。

一、究竟是不是“45度時滾得最遠”？

1.學理：理論性思辨

如果“45°時滾得最遠”的結論合理存在，那么根據物體滾動距離繪制的折線圖圖像將會是一條拋物線。這種可能只需簡單分析就可擊破：若斜坡材質較粗糙，坡度很小的時候，如1°、2°時，物體很可能不會從斜坡上滾落；而坡度為89°、88°時，物體必定會滾落并產生滾動距離。上述分析說明：根據物體滾動距離繪制的折線圖圖像不是一條拋物線，也就意味著滾動距離所成的圖像左右兩邊是不對稱的。坡度為45°時，物體可能會滾得最遠，但也有可能此時物體滾出的距離并不是極值。

2.建模：科學性分析

為了進一步論證究竟是不是“45°時滾得最遠”，一位高中物理教師運用物理建模的方式（如圖1 所示，假設坡面光滑，物體重量為0，只 從 力 學的角度進行分析）研究得出：在理想狀態 下，tanθ=，即 θ ≈35.3°時，物體滾得最遠。

（圖1）

3.實證：客觀性探究

理論與事實可能會存在一定偏差，為了尊重事實，我校數學研究團隊進行了多輪次的對比實驗：同材質同坡度進行同物體滾落實驗；不同材質同坡度進行同物體滾落實驗；同材質不同坡度進行不同物體滾落實驗……發現：影響物體滾動距離的因素有很多；實驗會產生誤差，坡度為44°時物體滾動的距離很難與45°時作出準確的比較……其他學校的教師也對“怎樣滾得遠”做過實驗研究，得到的結果各不相同。例如，有教師實驗得出：當斜坡與底面呈40°角時物體滾得最遠。也有教師得出：當斜坡與底面夾角在40°～45°之間時，滾動距離最遠。

綜上所述，“斜坡與地面的夾角為45°時物體滾得最遠”這一結論缺少理論依據，也沒有足夠的事實支撐。

二、“幾度時滾得最遠”的應然追尋

1.求真：從“結果本位”到“學生本位”

仔細研讀教材，可以發現，《怎樣滾得遠》一課的教學目標是：使學生經歷探索斜面與地面成怎樣的角度時物體滾得比較遠的活動過程，進一步體會在實驗中收集數據，并對數據進行比較和分析，培養發現問題和提出問題的能力，以及綜合運用所學知識解決問題的能力；使學生通過實踐活動，獲得一些數學活動經驗，感悟數學與生活的廣泛聯系，體驗數學的應用價值；讓學生感受做實驗是研究事物的一種方法，培養實事求是的科學態度。重點是讓學生經歷實驗活動過程，參與在實驗過程中所進行的角的測量、數據統計、平均數的計算等數學活動，而不是找到最終的結論。

2.革故：從“結論至上”到“實驗至上”

在《怎樣滾得遠》一課的教學中，教師應力避“結論至上”的追求，回歸數學實驗的本來價值，著力于讓學生感受到引入實驗的必要性，教給學生實驗的方法。如，怎樣測量與調整斜坡與地面的夾角、怎樣把物體放在斜坡的頂部使其自動滾落、怎樣測量物體的滾動距離、為什么要多次重復實驗后用算出的平均數來表示實驗的結果等。在學生小組合作進行實驗的過程中，要指導學生合理分工，明確職責，使每一位學生都有機會參與活動全過程；要對學生的活動進行必要的指導，及時發現并糾正學生出現的不規范操作；要注意引導學生在回顧反思中內化解決問題的策略與方法，增強數據分析觀念、實踐能力和創新意識。

3.化人：從“定勢思維”到“數學精神”

數學精神是數學教育的應然追求，數學教育應追求數學精神。受到思維定勢影響，一些教師試圖努力尋找能使物體滾得最遠的角度，不少學生也期望得到一個確切的結果。但是，教學活動尤其是實驗活動是復雜的，實驗對象、實驗內容、實驗環境等都是多變的，不可能被完全納入任一固定的模式，因而需要教師辯證地理解理論分析與教學實踐之間的關系。影響實驗結果的因素有很多，實驗只能說給出了一個相對準確的范圍。教師也許可以引導學生得出如下結論：“在目前環境下，在已有的實驗角度中，斜坡與地面的夾角為45°時滾得比較遠。”

三、實驗結果與數學結論的關系處理

通過對《怎樣滾得遠》中的實驗結果與數學結論進行反思，筆者認為，在用實驗的方式探索學習的過程中，實踐+歸納的科學態度、實踐+演繹的理性思考都有助于實驗結果更好地向數學結論演化。

1.實踐+歸納：開放式推理探究

小學數學教材中很多數學方法、結論、規律等都可以通過不完全歸納獲得。筆者在教學本課時，學生按要求完成30°、45°、60°三個坡度的滾物實驗后，通過分析得到的數據，一致得出“同等條件下，這三個角度中，斜坡與地面的夾角為45°時滾得最遠”的結論。與此同時，學生憑借以往的學習經驗，心中自然會產生“這個結論是否具有普適性”的猜測。多數學生認為還需要進一步實驗驗證，少數學生則認為無需進一步驗證。于是，筆者引導學生展開如下探究。

師：是不是所有角度中都是45°時滾得最遠呢？

生1：是的。

生2：不一定。

師：為什么說不一定？

生2：因為我們只對三個角度進行了實驗，這三個角度無法代表所有的情況。

生3：我也覺得不一定，還需要繼續實驗來證明。

師：說得真好！同學們都是具有科學精神的孩子！我們是完成了一些實驗，也獲得了結論，但這個結論只代表有限范圍內的情況，這個結論可不一定具有一般性。按照大家的意思，我們得繼續實驗驗證，你們接下來準備對哪些角度進行實驗呢？

生1：我覺得還得對20°、70°這些比30°更小或比60°更大的角度進行實驗，看看夾角為45°這個中間值時物體是不是真的滾得最遠。

生2：我覺得要對35°、40°、50°、55°這些角度進行實驗。45°在這些角度的中間，與它們離得更近，更有利于對比。

師：大家說得都很有道理！你們是想證明，角度從0°→45°時，滾動距離是一個逐漸增加的過程；45°→90°時，滾動距離是一個逐漸減少的過程。是這樣的意思嗎？

生：是的。

師：老師覺得，我們最應該證明的是44°和46°時滾動的距離都比45°時小，其余角度的驗證則更多是“錦上添花”。你們認為呢？

生：是的，我們哪怕證實了40°、50°時沒有45°時滾得遠，也沒法證明45°滾得最遠。萬一44°時滾得最遠呢？

要證明同等條件下45°時滾得最遠，44°和46°是必須實驗驗證的兩個角度，再配以其他一些角度的佐證，才能從極限思想的角度將其歸納為數學結論。事實證明，44°和46°這兩個角度是沒法從實驗的角度佐證45°是滾得最遠的。教師提供足夠豐富且具有代表性的樣本，能在不斷豐富學生學習體驗的同時，讓他們感受到獲得結論的過程的科學性。

2.實踐+演繹：內聚型抽象推理

每一個數學結論的產生都離不開數學公理的演繹。正因如此，才有一代代數學家前赴后繼地去試圖揭開“哥德巴赫猜想”的神秘面紗，因為哥德巴赫的發現在被證明之前只能稱為“猜想”。教師必須明白這一點，這是實驗結果轉化為數學結論的必經之路。

在實驗過程中，教師不斷提醒學生要注意實驗的規范性和科學性，不要受猜測的影響，不要為了證明而證明。

師：同學們，你們的實驗有結果了嗎？

生：44°和46°太難做了！

師：什么意思？

生1：坡度為44°時滾出的距離有時比45°時滾得近，有時比45°時滾得遠，哪怕算它們的平均數，好像也蠻難下結論的。

生2：46°也是這樣。

師：孩子們，通過這一輪實驗，你們有什么想說的嗎？

生1：我想說，45°時物體滾得遠是與30°、60°等角度比較得來的結果，但不能說明45°時是滾得最遠的。

生2：我覺得，因為操作過程中會產生誤差，的確很難比較。但我還是認為45°時是滾得最遠的。

師：孩子們，科學家通過構建模型的方法，對這個問題進行了研究……（學生對科學家的研究結果表示無法理解）

師：科學家的研究結果是在理想狀態下獲得的，與我們的實際操作有一定偏差。但科學家的研究結果也告訴我們，坡度為多少時物體滾得最遠受到各方面因素的影響，我們千萬不能草率、武斷地說“45°時是滾得最遠的”。在“怎樣滾得遠”的實驗研究過程中，大家思考能力、實踐能力的提高遠比獲得一個確定的結論更有意義。在實際生活中，設計斜坡不能只考慮“滾得遠”，還要考慮其他因素，如安全、美觀、材料的多少等。

學生運用不完全歸納法進行合情推理獲得結論的經驗比較豐富，他們會根據需求去設計接下來的實驗。然而，這次實驗要驗證的猜測與以前都不同，以前的猜測往往都是單向變化，此次要驗證的是雙向變化的極值問題，極值在什么角度出現都是一個難以確認的問題，選擇具有代表性的角度開展實驗非常重要。只有讓學生真正認識到“45°時滾得最遠”這個猜測本身就存在問題，才能使“45°時滾得最遠”的結論不再成為他們的“信仰”，從而讓他們意識到本課學習的真正意義。

數學家高斯說過：“許多定理都是靠歸納法發現的，證明只是補行的手續。”這句話既強調歸納是發現數學真理的有效手段，也說明證明的必要性。從《怎樣滾得遠》一課教學所產生的影響來看，片面追求結果的數學實驗往往會對數學結論形成過程中的科學性有所忽視。總之，在數學實驗教學中，教師要重視理論分析，引導學生從數學的角度理解數學實驗，從而促進他們逐步學會用數學的思維思考現實世界。