基于思維能力培養的高中數學變式教學策略研究

阮錦星

變式教學可以豐富高中數學教學，在增強學生數學認知，使其深刻掌握解題方法的同時，培養學生多方面思維能力，是深化高中數學教學的重要手段。新課程改革背景下，高中數學教學愈發重視學生思維，教師應積極挖掘有助于培養學生思維能力的方法，將其靈活應用在實際教學中。本文基于思維能力培養視角，研究高中數學變式教學策略，結合高中數學變式教學基本形式，聯系函數、數列、等內容，提出了一些觀點，旨在為一線教師精心籌劃變式教學、周到指導學生提供參考資料。

一、高中數學變式教學基本形式

（一）類比變式

類比變式，主要在解題思路與方法層面類比，即針對某個典型題目的解題思路和方法進行變式，使母題與變式在解題思路和方法上一致。為落實此類變式，教師可以總結高中數學典型題目解題思路與方法，歸類不同題型。

（二）逆向變式

逆向變式，是基于逆向思維變式，以便幫助學生深刻領會某個數學命題成立的必要性和其他邏輯形式，克服在概念、定理等方面的思維定式。比如，方程與不等式恒成立的逆向變式、幾何結論邏輯推導的逆向變式。

（三）命題變式

命題變式，即改變母題題目條件或設問方式，保持知識點不變，變式生成新的題目。高中數學變式教學多以命題變式為主，特別是在初級階段，命題變式經常為教師首選。教師可以先依據知識特點設置問題情境，引導學生探索問題的一般解決模式，使其在一定程度上理解知識點，再變條件、變設問手段，讓學生重新在多個角度上思考和論證。

（四）情境化變式

情境化變式，重點應用在概念、公式、定理的變式中。教師利用特定情境展示數學公式、定理教學，指導學生從中提煉關鍵信息，將情境轉譯為數學形式的推理過程或數學運算語言，能夠有效促進學生對公式、定理的吸收。

二、基于思維能力培養的高中數學變式教學策略

（一）精心籌劃變式

高中數學變式教學能否完全起到培養思維能力的作用，取決于變式與教學內容的相關性及變式與學生階段性學情的適應性，不是隨意提出一個變式就能實現預期目標。因此，教師要立足實際，對變式進行精心籌劃。

1.概念引起變式。

首先，可以將逆向變式融合在概念教學中，用概念引起變式。以新人教版高中數學教材為例，教材概念性數學語言多數只是在介紹概念“是什么”“有什么用”，缺少“概念為什么是這樣”“怎樣應用概念”的講解。教師在教學中應補充概念“證據”，引導學生逆向推導概念，使學生在推理過程中鍛煉思維能力。

例如，新人教版高一數學必修第一冊（A版）《3.1 函數的概念及其表示》教學，教材這樣描述函數概念：“一般地，設A、B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f（x），x∈A”，抽象性高度突出，且與初中階段的函數概念有極大區別。即便有之前的“問題分析”和“信息歸納”，學生也會對概念感到模糊不清，甚至產生“為什么要重新定義函數”的疑問，導致出現思維斷層。為避免此情況，教師可以先設計“題目1”，再拋出“題目2”“題目3”。

題目1：請列舉幾個函數，說出你認為它們屬于函數的原因。

題目2：在此之前，你們已經學習了集合。如果用集合及其語言描述你理解的函數概念，你怎樣想？

題目3：對照教材“函數”概念，說說你的想法和教材哪里不同。

一方面，“題目1”指向初中函數，“題目2”是初中函數到高中函數的過渡，在二者之間搭建了一個“集合”支架，“題目3”直接以高中函數為導向，具有進階性。另一方面，“題目2”是“題目1”的變式，“題目3”精準對接教材，是“題目2”的變式。教師循循善誘，引導學生深入題目，先思考“函數x與y的對應關系”，再用集合語言描述函數，然后引進抽象符號f（x），理解其在高中函數概念中的具體意義。學生反復歸納高中函數特點，親身感受概念推理過程，在鍛煉思維能力的基礎上，自然而然地夯實知識基礎。

2.定理、公式拓展變式。

其次，可以將情境化變式融合在定理和公式教學中，以定理、公式為載體拓展變式。雖然教材上的很多定理和公式都言簡意賅、易于理解，但若分析不到位，學生還是無法真正吸收，思維只能達到“記憶定理、公式”的層面，不能將其化為己用。對此，教師可以在情境化變式中提出真實的問題，讓學生在真實情境中展開邏輯分析，發展思維能力。

例如，新人教版高一數學必修第一冊（A版）《5.2 三角函數的概念》教學，教材在呈現“同角三角函數的基本關系”時，直接在“探究”板塊后寫明定理：“同一個角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切”和公式：“sin2α+cos2α=1”“sinα/cosα=tanα”，一目了然。按照教材邏輯教學，雖然憑借探究經驗，多數學生可以快速理解定理和公式的意義，但是仍然有些學生不能清楚討論定理、公式的意義。而學生要想舉一反三地運用定理和公式解決問題，不僅要理解定理、公式，還要能明白“為什么討論這些定理和公式”，這就要求教師打破原有教學結構，以定理、公式為切入點，拓展變式教學。展開來說，教師可以設計以下問題情境。

已知sinα=3/5，且α在第一象限，求cosα、tanα的值。

情境緊扣“同角三角函數”知識點，在某種意義上是sin2α+cos2α=？與sinα/cosα=？的變式，不但可以不使用相關公式解決，還有多種解題思路。

而分析不同思路，可見其各有特點，再探其解決問題的原理，可知：只要已知三角函數正弦值、余弦值、正切值的一個，就可以求出另外兩個函數值。教師可以相機點撥，引導學生思考“是否存在一個定理（公式），能夠表示這三個函數值的關系”。這個定理（公式），就是本課要重點學習的定理和公式。學生順理成章地根據問題情境中的發現推導教材定理和公式，鍛煉思維能力。此外，討論問題情境、得出三種解題思路、總結思路異同，學生分別運用了多向思維、歸納思維，有助于培養其思維能力。

3.習題深化變式。

最后，可以將類比變式、命題變式融合在習題教學中，以習題訓練為載體，深化變式教學，培養學生高階思維能力。習題教學是高中數學教學必不可少的一個環節，學生探究習題，克服重重阻礙，總結解決典型題的思路和方法，同樣可以舉一反三，發展歸納等思維的同時強化解題實踐能力。教師要規避題海戰術，始終圍繞典型主題設計變式教學。

例如，新人教版高二數學選擇性必修第二冊（A版）《4.3 等比數列》教學，典型習題包括公比q的運用、求數列an通項公式等。教師可以根據實際教學進度，選擇典型題。比如在“求數列an通項公式”習題教學中，設計“習題1”。

習題1：已知a1=1，an=2an-1+1（n≥2），求an。

師生共同剖析其解題過程，不難發現其解題方法為“構造法求an”。當數列形如an=Aan-1+B時，可依據已知條件構造新的數列an+λ，求得待定系數，從而化繁為簡，順利求解。之后，為使學生熟練掌握“構造法”，理解其解題思路，明確運用“構造法求an”的題目特點，教師可以提出“變式1”。

變式1：已知a1=1，an=3an-1+2n（n≥2），求an。

雖然“習題1”一樣為an=Aan-1+B結構，但“變式1”中，B并非常數，而是一個含有n的式子，能否用相同方法求解還未知。教師可以先引導學生嘗試。雖然一開始還不能構造等比數列，也不能就此放棄。教師可以提問學生：“既然兩邊加上相同的λ是行不通的，那么，兩邊加上不同的λ呢？”學生充分思考，不難想到對于原始右邊的an-1，使λ為1/2，對應將左邊an的系數λ修改為2。

第二次嘗試構造數列，2可能與2n相關，是2！。師生共同反思解題過程，可以得出一個經驗：首次構造數列若失敗，可以挖掘題干要素，修改λ，就會找到新的思路。學生經過此練習，完善自己對典型問題的猜想：“針對形如an=Aan-1+B·qn的數列，求解其通項公式，都可運用相似方法，構造新的數列”，歸納、舉一反三思維達到新的水平，同時達成對“構造法求an”的深刻掌握。

（二）周到落實指導

周到指導是指教師不僅要在學生探究變式題目的過程中介入指導，點撥學生解題思路和方法，還要在“探究方式”“拓展訓練”兩方面落實指導。前者是給學生創造通力合作的空間，使其在思維的碰撞中發現解決問題的創新切入點，提高思維能力。而后者，是根據學生變式教學反饋，針對性地補充訓練和指導，深層講解部分題目，讓變式教學更大程度地滿足不同學生思維能力發展需要，起到讓學生思維持續發展的作用。

在主張引導學生合作交流的新課程改革背景下，合作探究已然成為高中數學常用教學模式。教師不僅要注意培養學生獨立思考的思維能力，還要意識到合作探究的重要性，為學生搭建合作探究平臺，使其在合作解決問題、研究論證數學結論的過程中發展思維能力。而從學生角度來看，合作探究促成優勢互補、思維碰撞，對其總結變式規律有極高價值。教師應開發“合作探究”高中數學變式教學模式，積極落實學生合作探究指導。

例如，新人教版高一數學必修第一冊（A版）《4.4 對數函數》教學，教師可以在復習課上設置下列題目。

題目1：求函數定義域：y等于根號下log以二分之一為底（x-1）的對數。

題目2：求函數單調遞減區間：y=log以二分之一為底（x2-3x+2）的對數。

初看，“題目1”與“題目2”沒有多大聯系，除“都是對數函數”一個共同點外，函數關系式、問題都截然不同。但細細分析可以發現，“題目2”是“題目1”的拓展變式，要想順利求出“題目2”函數的單調區間，必須先經歷和“題目1”相同的過程：求解函數定義域，再應用復合函數“同增異減”原則。教師可以先讓學生合作探究兩個題目的相關性，得出“變式”結論，再逐題作答，按要求計算函數定義域和單調區間，形成不同思路。

學生合作討論，避免執著地將題目視為兩個毫無關系的問題，快速建立“變式”認知，不僅可以使教學效率大幅提高，還能使學生取長補短地訓練自身變式分析和解題能力，延展思維。教師還可以根據實際情況，要求學生在合作探究結束后，選出代表匯報上述解題思路。

三、結語

作為學生，要避免僵化的思維，學會發散思考、總結歸納、活學活用；作為教師，要克服守舊習慣，學會創新，持續優化教學，幫助學生走出思維定式。基于思維能力培養的高中數學變式教學，意義便在于此。教師要巧妙地設計變式，全面指導學生，借助變式教學提升學生思維水平，使其最大限度地加深對知識點的印象，強化數學分析和實踐能力。