新課標下初中生數學推理能力的培養

方榕彬

本文重點解讀了核心素養在初中階段的表現之一的推理能力，以推理步驟的復雜度、推理結構的完善度、推理過程的準確度、推理范圍的適用度、推理表現自覺度等邏輯推理能力的主要指標為依據，在《義務教育數學課程標準（2022年版）》主要教育數學思想的指導下，探索使用夯實命題基礎、遞增推理步驟、熟悉推理類型和拓展推理范圍等策略，提升初中學生數學推理能力，也為學生其他能力的培養提供參考。

一、多視角解讀數學推理能力內涵

有的學者認為，數學的推理，就是把表示關系的運算方法、邏輯術語運用于研究對象，得到數學的結論或者驗證數學結論。因為數學的結論最終可以歸結為數學命題，因此，數學推理就是得到數學命題或者驗證數學命題的思維過程。

按照其觀點，數學的概念、定理本質就是命題。課標提到的“依據規則”中的規則，可以是概念、基本事實、法則和定理等，最后問題的解決實際上就是推出新的命題或結論，要培養的數學推理能力就是學生有理、有據、有序解決問題的能力。

通過對數學推理能力內涵的解讀，不難看出培養推理能力的重要價值。有的學者就認為，邏輯推理是思維的核心，思維能力是智力的核心，因此邏輯推理能力是核心的核心。

二、多維度制定數學推理能力指標

1.推理步驟的復雜度

“推理步驟的復雜度”是數學推理能力的主要指標之一。

有的推理只要“條件+公式”就能得到結果，只需要一步，這是直接推理。有的推理并沒有公式可循，需要變化條件，尋找依據，經歷多個步驟才能得到結論，這是間接推理。還有的結論可能對前提和假設都要反復驗證，最后才能得到結論，這是迂回推理。有的學生做一步題，已經看出數步，形成了格式化，這是綜合推理水平，從某種程度上講，這一水平的學生把復雜的間接推理變成了格式化的直接推理。

2.推理結構的完善度

例如演繹推理的三段論需要大前提、小前提和結論，缺一不可。歸納推理在從特殊到一般的過程中結論是必然的還是或然的。

3.推理過程的準確度

也就是推理過程中使用的規則的準確程度，規則的優勢水平，推理基本形式的準確性，等等。

4.推理范圍的適用度

不能隨意擴大事實和命題的適用范圍，例如在平行四邊形范圍內的推理擴大到四邊形領域，在整數范圍內的推理擴大到有理數范圍，等等。

5.推理表現的自覺度

如解決一個推理問題之后，能自覺進行概括，揭示推理中的相關本質問題，同時還能觸類旁通，實現遷移，并將這樣的習慣變成一種自覺行為，這就是高水平。

三、多路徑探索數學推理能力策略

1.夯實命題基礎

數學推理能力需要扎實的命題基礎，不管是推理的條件，還是推理的結論，基本上都是以命題的形式呈現的，因此，推理能力的培養要以命題為前提。命題的教學越扎實，學生對命題的分析和理解越到位，在推理過程中需要建立的關系就越容易找到，推理過程也就水到渠成，學生的推理能力自然也就水漲船高。

例如“同位角相等，兩直線平行”這個命題，不僅要能區分條件和結論，還要清楚理解同位角的概念，要清楚只有在“三線八角”結構中，特殊位置關系的同位角，滿足相等這一特殊的數量關系之后，才能得到兩條直線的特殊位置關系。進一步的理解是，為了確定平行這個難以刻畫的位置關系時，可以引入第三條直線，通過三條直線構成的特殊位置關系的角（同位角）及其特殊的數量關系（相等）來量化。這個命題的背后是對數學的數量關系和空間形式這一本質的顯性化，在初中生數學推理能力的培養過程中，我們要有意識地引導學生對命題進行深層次剖析，深度思考，進而達到夯實命題基礎的目的。

2.遞增推理步驟

我們知道，推理過程中步驟越多，往往就說明學生的推理能力越強。對于初中生來說，我們要在小學推理意識的基礎上培養推理能力，也就是要將推理從基于概念理解的水平，提升到基于理解應用的水平。應用層面的問題，一步達成的直接推理極少，這就要求我們在初中生數學推理能力的培養過程中有意識地增加推理步驟，利用變式和延伸拓展的方式，在簡單結論的基礎上進一步猜想、推導、驗證深層次的結論，讓推理步驟自然延伸，讓學生在原有命題或結論的基礎上，自覺、自然增加推理步驟。也可以在原有條件（也是命題）的基礎上往前推，尋找代替性條件，讓原有條件變成結論，用新的條件讓原有推理步驟增加。簡單點說就是將條件前推，將結論后延，這一操作思路可以不斷迭代，讓推理往兩端無限延伸，在步驟自然增加的過程中培養初中生的數學推理能力。

3.熟悉推理類型

推理是從命題到命題的思維過程，聯結命題之間的規則是有基本“套路”的，可以是歸納推理，也可以是演繹推理，初中階段尤其值得一提的還有合情推理；可以使用綜合法從條件到結論，也可以使用分析法從結論到條件。學生對各種推理類型越熟悉，推理過程中的工具箱功能就越強大，推理過程就越容易達成，數學推理能力也就越強。

4.拓展推理范圍

完成一個推理過程之后，我們要引導學生回頭看，梳理整個推理過程，用自己的語言進行概括，理解整個推理的本質，同時考慮將推理進行遷移。例如將推理的條件和結論在上下位概念上的遷移，再重新思考遷移后的推理過程是否依然成立，如果不成立，條件和結論中的命題范圍需要如何修正，是修正條件的范圍還是結論的范圍，在遷移過程中，規則是否依然有效，等等。例如：“三邊對應相等的兩個三角形全等”這一基本事實，能否拓展到多邊形領域，變成“各邊對應相等的兩個三角形全等”？“三角形三個內角中至少有兩個銳角”，能否變成“多邊形的所有內角中，至少有兩個銳角”？

5.積累推理策略

合情推理、歸納推理尋找結果，演繹推理提供證明，這是我們日常中常用的推理策略。通過觀察、猜想、逆向思維、發散思維等方式，不斷積累推理經驗，慢慢內化為推理習慣，乃至形成自動化的推理策略。

責任編輯 黃銘釗