利用二次函數與一元二次方程關系解題的策略研究

徐玲玲

【摘要】二次函數與一元二次方程作為初中數學課程的主要內容，既是一次函數與一元一次方程關系的延伸，又為后續學習一元二次方程不等式打下基礎.二次函數與一元二次方程之間存在著緊密聯系，學生需要在學習過程中熟練掌握與運用兩者關系，以提升解題效率.基于此，文章主要對二次函數與一元二次方程的概念、二者之間的關系進行探討，通過分析部分題型的解題思路與解題技巧得出一些結論，希望能對學生學習本章節內容提供一定的借鑒.

【關鍵詞】二次函數；一元二次方程；初中數學；解題技巧

二次函數是初中數學課程的主要教學內容之一，它與代數、幾何、三角函數等知識有著密切的聯系.在初中數學學習過程中，學生應深入理解二次函數與一元二次方程的概念、性質，把握二者之間的關系，巧妙地運用二者之間的關系解決問題，以提升解題效率.

一、二次函數與一元二次方程的比較

下面對二次函數與一元二次方程進行比較，找出其相同點與不同點，具體整理歸納如表1所示：

從表1也可以看出二者之間的聯系：

第一，一元二次方程是探討二次函數與一元二次不等式的基礎，學好一元二次方程的解法，精準理解一元二次方程的含義，熟練掌握一元二次方程的計算技巧，能夠為學習二次函數與一元二次不等式打好基礎.

第二，假設二次函數y=ax2+bx+c中的y=0，則變為一元二次方程ax2+bx+c=0.

第三，二次函數y=ax2+bx+c的圖像拋物線與坐標軸的x軸（橫坐標）有兩個交點，即x1，x2，且x2>x1，x軸上的兩個交點即一元二次方程的兩個根.

借助二次函數的圖像解題是常見的題型，學生可基于圖像特征找出答案，這些圖像特征也是二次函數求解過程的體現，比如頂點的值、與x軸交點的值、x=0時y的值等.根據圖像特征解題，可以提升解題效率.

二、利用二次函數與一元二次方程的關系解題

（一）圖像法解方程或不等式

在利用圖像法解方程的時候，我們首先需要利用解析式畫出函數圖像，然后對比、觀察圖像找出二者間的規律.

圖像具有直觀、一目了然的特征，通過識圖來解析題目，運用圖像來理解公式與定理會更快捷、準確，畫出二次函數圖像的過程就是對二次函數、一元二次方程的解析過程.掌握二次函數圖像，可以提高解題速度與質量.

學生在運用圖像法解方程或不等式之前，需要先了解不等式的三種情況.針對任意一個一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）與其相對應的一元二次方程為ax2+bx+c=0，相應的二次函數是y=ax2+bx+c（a≠0）.假設常數a>0，二次函數y=ax2+bx+c的圖像開口向上，會存在以下三種方式，如圖1所示：

從以上三個圖像可以看出：

圖像（1）說明ax2+bx+c=0有兩個不相同的實數根，分別為x1和x2，且x1x2的時候，y的取值均大于0；當x1

圖像（2）說明ax2+bx+c=0有兩個相同的實數根，即頂點與x坐標的交點，當只有一個交點在x軸上時，說明y=0，當x≠x0時，y的值均大于0.

圖像（3）說明ax2+bx+c=0沒有實數根，從圖上可以看出拋物線與x軸無交點.

反之，假設常數a<0，二次函數y=ax2+bx+c的圖像開口向下，同樣存在以下三種方式，如圖2所示：

通過以上對二次函數圖像的分析，我們舉例來探析圖像法解方程或不等式.

例1 二次函數y=ax2+bx+c（a<0）的圖像如圖3所示，請根據圖像回答問題：

（1）寫出方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個解.

（2）寫出不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集.

（3）若方程ax2+bx+c=K（a≠0）有兩個不相等的實數根，求K的取值區間.

解析 根據圖4可知：（1）方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個解，分別為x=1和x=3；（2）不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集為1

（二）函數圖像的交點與方程的根

借助構造法解題，即構造出問題中的對應函數關系，將方程的解轉化為圖像交點來解題；同樣的，圖像的交點個數問題也可以轉化為方程的解來探究.

例如從上述例題1的函數圖像中，我們可以較為直觀地看出，函數圖像與x軸有2個交點，說明該函數或一元二次方程有兩個不同的實數根.通過了解一元二次方程的根的幾何意義，所呈現的圖像（拋物線）與x軸公共點的橫坐標交點，可以明確拋物線與方程對應的根的三種情況，以及學會使用方程解決函數問題和用函數圖像求解一元二次方程的過程，更深入地體會“數形結合”的解題思想，是學生學習二次函數與一元二次方程的目標.

如何找出這兩個交點的位置，學生是否能夠將實際問題快速地轉化為數學問題，能否建立數形結合的解題思想，是解題的關鍵所在.

（三）二次函數與x軸的交點和一元二次方程根的分布

通過前面對二次函數與一元二次方程概念的分析，以及二者之間的相互關系進行比較，從圖1、圖2所示的二次函數的圖像所呈現的三種不同形式，我們可以看出解較為復雜的一元二次方程，運用圖像的形式（幾何意義）來體現，會容易很多，也就是所說的用函數觀點探討一元二次方程根的問題.在此，我們需要厘清函數與一元二次方程的關系，如果二次函數y=ax2+bx+c與x軸有公共點（x0，0），那么x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一個根，二者之間的關系歸納整理如表2所示.

解決這一問題的基本步驟為：首先需要在直角坐標系中繪制出與一元二次方程相對應的函數圖像，再根據函數圖像大致位置的約束條件建立不等式組，以此來確定一元二次方程根的分布情況.一元二次方程根的數量，實際就是二次函數的圖像與x軸交點的數量；交點之間的距離就是根之間差的絕對值.

例3 假設關于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0有兩個不相等的實數根x1和x2，且有x1<1

結 語

綜上所述，文章首先對一元二次方程和二次函數的概念進行總結，讓學生明白二次函數（y=ax2+bx+c，a≠0）與一元二次方程（ax2+bx+c=0，a≠0）在表達形式上都是函數式、方程式或不等式，但也存在不同點，體現在概念與結果的不同上，在圖像上也有著明顯的不同.其次，整理歸納了二次函數與一元二次方程的解題策略，運用圖像的形式來解決實際問題.最后，舉例分析了關于二次函數與一元二次方程的不同解題思路與方法.數學的題目雖然是唯一的、固定的，但是其解題思路與方法會因人而異.對此，教師在引導學生運用所學知識解題時，要建立立體化思維，巧妙運用數學工具和多元方法進行解題，構建屬于自己的思維模式.希望同學們能夠將理論與案例相結合，厘清一種關系、體會兩種思想，讓函數與方程變得更易于掌握.

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