一類雙元型不等式成立求參問題解法探究
2023-06-01 10:11:36貴州省銅仁第一中學554300
中學數學研究(江西) 2023年6期
貴州省銅仁第一中學 (554300) 王 鈺
在一些含有存在量詞或全稱量詞的導數綜合問題中,會出現含有兩個變元x1,x2的不等式恒成立或有條件成立求其中參數范圍問題,由于各類題中所給的數學用語的不同,這些問題也就體現出不同的數學函義,常見類型的問題經過等價轉化后,可變形為下列不同情形的關于兩個函數最值的不等式問題.本文并通過幾個典型例題的分析點評,對此進行分類歸納,以探求常見題型解題思路,僅供讀者參考.
一、對于?x1∈D,?x2∈E,都有f(x1)
點評:在轉化了由兩個量詞表述的不等式后,則題目就轉變成了如何求兩個函數的最大值與最小值的問題了,這里的轉化是解題關鍵,必須要正確無誤.
二、對于?x1∈D,?x2∈E,都有f(x1)>g(x2)恒成立,則f(x)min>g(x)max
點評:本解法通過將問題轉化變成一個恒不等式,然后再進行分離參數處理,轉化為求另外一個新函數的求最值問題,這是對一些復雜問題所采取的分層處理的重要措施.
三、對于?x1∈D,?x2∈E,使f(x1)
點評:在本題中出現的是先任意,后存在的兩種量詞,由于用“≤”連接,則可轉化兩個最大值的不等關系,然后求出兩個函數最大值就是求解的重要部分了.
四、對于?x1∈D,?x2∈E,使f(x1)>g(x2)成立,則f(x)min>g(x)min.
點評:本題與例3的條件類似,只是給出的不等式是用“≥”連接,但是對應數學意義也是不同的,此處是轉化為求兩個函數最小值問題,必須注意正確區分.
五、若?x1∈D,?x2∈E,使f(x1)>g(x2)成立,則f(x)max>g(x)min
點評:在將題目轉化兩個函數的最大值與最小值問題后,再根據后面解題的需要,還需進一步轉化,即經過分離變量后轉化為一個新的不等式恒成立問題.
六、若?x1∈D,?x2∈E,使f(x1)
點評:在解題過程中,由于不能通過分離參數法解決問題,就采用了分類討論的方法,通過比較a在區間[1,e]上的位置,確定分段標準,分析討論后才能確認答案.
以上舉例介紹了雙元型不等式六類求參數范圍問題的轉化求解方法,這六類情形容易搞混,必須認識清楚、理解到位.關于雙元型不等式成立求參數問題的求解方法是:遵循雙元化一元,逐一處理的策略,運用分離參數、分類討論的辦法.
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三、對于?x1∈D,?x2∈E,使f(x1)
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以上舉例介紹了雙元型不等式六類求參數范圍問題的轉化求解方法,這六類情形容易搞混,必須認識清楚、理解到位.關于雙元型不等式成立求參數問題的求解方法是:遵循雙元化一元,逐一處理的策略,運用分離參數、分類討論的辦法.
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