一道向量面積比問題的探究

江蘇省蘇州市張家港市外國語學校 (215600) 董文娟

1 試題呈現

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2 解法賞析

思路1:基底法

基底法是解決向量問題的常見方法,選定平面的一組基底后平面內任意一個向量都可以用其線性表示,從而化為基底向量減少未知量,將問題簡化.基底法一般會結合向量的基本定理,從數形結合角度去理解問題,綜合考查學生的數學建模能力,數學運算能力等.

圖1

評注:三角形中選擇相鄰兩邊作為一組基底,將其他向量都用該基底線性表示,根據平行四邊形法則,構建平行四邊形得到邊的關系,從而得到三角形面積關系.

思路2:坐標法

向量和坐標一一對應,因此對于向量的問題除了直接利用向量解決,還可以考慮從坐標入手.根據題目特點,本題除了一般的建系方法外,還可以利用特殊位置特殊點來簡化坐標,減少運算.

圖2

解法3:(特殊圖形)如圖3,不妨取ΔABC為直角三角形,且取A(0,1),B(0,0),C(1,0).設

圖3

圖4

評注:坐標化后向量問題數量化,向量問題轉化為坐標運算問題.對圖形或者點位置沒有具體要求的問題,可將條件特殊化再建系.

思路3:等和線定理

圖5

評注:在平面向量基本定理的表達式中,如果需要研究兩系數的和時,可以用等和線法.根據等和線定理,得到三角形邊的關系,由邊的關系可得到面積關系.

思路4:綜合幾何法

對向量的比例關系,從圖形上探求三角形的邊之間的關系,從而得到面積之間的關系,體現數形結合解題的優勢所在.

圖6

圖7

評注:幾何法從圖形上直觀分析面積比關系,不用大量的定量計算,對平面幾何知識要求較高.

利用系數關系構造新的三角形將點P位置特殊化為熟悉的重心,利用三角形面積公式,將面積比轉化為邊之比.

思路5:平面向量的外積

評注:平面向量的外積運算,可以運用在求三角形的面積問題中,在此考慮外積的大小不考慮其方向,要熟知外積運算的性質.

思路6:奔馳定理法

向量的奔馳定理揭示了三角形的面積和向量之間的關系,對于解決三角形的面積比問題,空間四面體的體積比問題等都適用.

評析:奔馳定理的證明可以參考解法8,奔馳定理可以迅速的解決該面積比問題.對于點P在三角形外的問題,點P為三角形的四心問題,及對于空間四面體的問題也由相應的推廣[1].

3 簡單應用

3.1 變形求面積比

3.2反求向量式系數問題

圖8

圖9

評注:點P在三角形內或者三角形外,三角形面積都有類似的結論,根據向量關系先得到點所在位置,利用對應的面積和系數比關系得到結果.逆向思維可以由面積比得到系數之比,從而得到向量的系數關系.遇到向量的系數問題,結果圖形考慮是否可以利用三角形的面積比問題.

4 小結

向量因其獨特的雙重性,在解題中靈活多變的思路,成為學生懼怕的對象.對于面積比問題的多解分析,更加透徹理解面積比問題的處理,從而對一些向量式的系數問題模式化.

對一題多解,在教學中不可一刀切只講一種方法,也不可面面俱到,應呈現給學生一些有價值的想法,達到對問題的深刻理解,對問題考查方式的全面理解,對解法的靈活運用,從而對問題更加全面的思考.通過一題多解,歸納多題同解,讓學生對數學背景,數學知識,數學思想方法深入理解.從一個有意義且不復雜的題目去挖掘各個方面的信息,從一道題領悟無線道題的可能.