一道圓錐曲線試題的延伸推廣

陜西師范大學附屬中學 (710061) 李鑫明

數學學習離不開解題.做題不在多而在精,學習者通過做題,深刻理解概念,扎實掌握基本知識,學會運籌帷幄,縱橫捭闔,使自己的思維水平不斷提升,高屋建瓴;通過解題應將試題進一步延伸推廣.本文以一道試題為例予以研究.

(1)求橢圓C的標準方程;

評注:問題的本質是直線l與橢圓相交的相關問題的求解,本解法重點應用了“設而不求”的數學思想,借助向量垂直的表達式,最終化簡并證明命題.

圖1

圖2

借助幾何畫板進行探究,如圖2所示,變動直線PQ,直線PQ始終與圓O相切于點D,盡管點P,Q,D都會發生改變,但OP⊥OQ的位置關系始終不表,由此可見上述思考是成立的.下面筆者將從代數角度進一步證明該結論.

小結:我們應力求做到一題多解,多解歸一,用“動”的觀點考慮問題,盡可能地拓展思路,訓練發達的頭腦,做到“八方聯系,渾然一體”,最終達到“漫江碧透,魚翔淺底”的境界.