貝爾不等式檢驗(yàn)簡(jiǎn)史

彭鵬 劉博聞

量子力學(xué)是構(gòu)成現(xiàn)代物理學(xué)大廈的兩大支柱之一，從根本上改變了人類對(duì)物質(zhì)結(jié)構(gòu)及其相互作用的理解，是久經(jīng)考驗(yàn)、最為成功的科學(xué)理論之一，它的建立標(biāo)志著人類對(duì)客觀規(guī)律的認(rèn)識(shí)從宏觀世界深入到微觀世界。它推動(dòng)了小到芯片，大到航天飛機(jī)等無數(shù)前沿科技的發(fā)展。理論物理學(xué)家溫伯格（S. Weinberg）在其著作《量子場(chǎng)論》中提到：“如果發(fā)現(xiàn)不服從量子力學(xué)和相對(duì)論法則的系統(tǒng)，那則是一場(chǎng)災(zāi)難?！?/p>

但是，量子力學(xué)從誕生起，圍繞它展開的爭(zhēng)論從未停息，最為著名的當(dāng)是愛因斯坦和玻爾二人關(guān)于量子力學(xué)完備性的爭(zhēng)論。這場(chǎng)爭(zhēng)論持續(xù)了數(shù)十年，直到他倆去世，也沒有得出最終結(jié)論。其中一個(gè)很重要的原因是，這場(chǎng)爭(zhēng)論局限于哲學(xué)思辨，始終沒有得到實(shí)際的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，因此很難得出一個(gè)讓人信服的結(jié)論。不過到了1964年，愛爾蘭理論物理學(xué)家貝爾（J. S. Bell）提出貝爾不等式，將哲學(xué)思辨推進(jìn)到實(shí)踐檢驗(yàn)，為解決二人的爭(zhēng)論提供了一線希望。

基于貝爾的理論構(gòu)想，法國(guó)物理學(xué)家阿斯佩（A. Aspect）、美國(guó)物理學(xué)家克勞澤（J. F. Clauser）與奧地利物理學(xué)家蔡林格（A. Zeilinger）開創(chuàng)性地進(jìn)行了貝爾不等式檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)，證明貝爾不等式在量子世界中不成立，確認(rèn)了量子糾纏的非定域性，為量子信息科學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

貝爾不等式的建立與發(fā)展

愛因斯坦為反駁以玻爾為代表的哥本哈根學(xué)派對(duì)量子力學(xué)的詮釋，與波多爾斯基（B. Podolsky）、羅森（N. Rose）在1935年共同撰文提出EPR悖論（Einstein-Podolsky-Rosen paradox）思想實(shí)驗(yàn)。他們利用粒子的動(dòng)量和位置兩個(gè)連續(xù)變量進(jìn)行討論，根據(jù)不確定性原理，粒子的動(dòng)量和位置無法同時(shí)精確測(cè)定，愛因斯坦認(rèn)為當(dāng)精確測(cè)定其中一個(gè)物理量時(shí)，另一個(gè)物理量則失去了物理的實(shí)在性。在相關(guān)討論擴(kuò)展到兩個(gè)相互糾纏的粒子時(shí)，發(fā)現(xiàn)它們之間的“鬼魅般的超距作用”違背了經(jīng)典定律的定域性，因此，愛因斯坦認(rèn)為量子力學(xué)并沒為物理實(shí)在提供一個(gè)完整的描述，即量子力學(xué)是不完備的。他進(jìn)一步認(rèn)為，還存在未知的隱變量影響微觀世界狀態(tài)，即隱變量詮釋。愛因斯坦的觀點(diǎn)并沒有說服玻爾，并且其所考慮的思想實(shí)驗(yàn)在當(dāng)時(shí)是很難付諸驗(yàn)證的。

1951年，英國(guó)物理學(xué)家玻姆（D. Bohm）在《量子理論》中提供了一個(gè)新版本的EPR實(shí)驗(yàn)[1]——EPRB實(shí)驗(yàn)。他在保持EPR思想實(shí)驗(yàn)精髓的前提下，將連續(xù)變量（動(dòng)量和位置）替換為分立變量（自旋），討論了總自旋為0的雙原子分子情況。在保持分子總自旋不變的條件下，將兩個(gè)原子分開，如果沿x方向?qū)原子測(cè)量，會(huì)得到自旋態(tài)為↑，那么對(duì)B原子也沿x方向測(cè)量，得到的結(jié)果一定是↓。這樣的測(cè)量結(jié)果總是100%關(guān)聯(lián)。但是由于不確定性原理，如果選擇沿其他方向如y或z對(duì)B進(jìn)行測(cè)量，此時(shí)其自旋態(tài)測(cè)量結(jié)果就不可預(yù)知，為概率性結(jié)果（這里的x、y、z可以是任意的三個(gè)方向）。采用分立變量替換連續(xù)變量，不僅更直觀，而且更容易進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，EPRB實(shí)驗(yàn)也更易實(shí)現(xiàn)。實(shí)際上，愛因斯坦構(gòu)想的連續(xù)變量的EPR悖論實(shí)驗(yàn)直到1993年才得以實(shí)現(xiàn)，我國(guó)量子光學(xué)先驅(qū)、山西大學(xué)光電研究所彭堃墀院士參與完成了這一重要的實(shí)驗(yàn)工作。[2]

貝爾從玻姆的EPRB實(shí)驗(yàn)討論中獲得靈感。他是愛因斯坦的忠實(shí)粉絲，為給隱變量提供切實(shí)的實(shí)驗(yàn)證據(jù)，他考慮將兩個(gè)相互糾纏的電子分開足夠遠(yuǎn)，并分別測(cè)量?jī)呻娮覣、B的自旋。貝爾從理論上證明，無法構(gòu)建一種可以同時(shí)沿多個(gè)方向測(cè)量粒子自旋的探測(cè)器，因此，對(duì)兩處的電子只能沿著一個(gè)方向進(jìn)行測(cè)量，不過測(cè)量的方向不再是固定的同向，而是二人分別相互獨(dú)立、隨機(jī)選擇方向。貝爾在實(shí)在性和定域性的雙重假定下，通過分析隱變量和量子力學(xué)兩種情況下粒子的相關(guān)性，建立了貝爾不等式：|P（x，y）-P（x，z）|≤1+P（y，z），其中P（x，y）代表A電子沿x方向，同時(shí)B電子沿z方向多次測(cè)量獲得的平均值，P（x，z）和P（y，z）同理。同時(shí)，他提出貝爾定理：沒有任何定域隱變量理論能夠復(fù)制所有量子力學(xué)的預(yù)測(cè)。他進(jìn)一步解釋道：“如果隱變量理論是定域的，那么它將無法和量子力學(xué)調(diào)和，如果它和量子力學(xué)一致，那么它就不會(huì)是定域的。這就是這個(gè)理論所表達(dá)的內(nèi)容?！必悹柌坏仁皆诮?jīng)典世界是嚴(yán)格成立的，但是如果微觀世界確實(shí)如量子力學(xué)所描述的那樣，則該不等式不再成立。因此，通過實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)貝爾不等式是否成立就可以知曉愛因斯坦和玻爾孰對(duì)孰錯(cuò)，可惜此時(shí)，二人都已去世。

然而，貝爾最初設(shè)想的思想實(shí)驗(yàn)需要極其苛刻的實(shí)驗(yàn)條件，比如，他要求兩處測(cè)量所選取的三個(gè)方向必須嚴(yán)格相同，即必須使用同一個(gè)坐標(biāo)系，這對(duì)分離兩處的實(shí)驗(yàn)裝置來說，基本是不可能實(shí)現(xiàn)的。因此，為了能將貝爾的思想實(shí)驗(yàn)付諸實(shí)踐，1969年，克勞澤、霍恩（M. Horne）、希莫尼（A. Shimony）和霍爾特（R. Holt）在貝爾不等式基礎(chǔ)上，對(duì)其進(jìn)行了拓展和推廣，提出了更一般化的形式——以他們姓氏首字母命名的Bell-CHSH不等式[3]：|P（x， y）+P（x′， y）+P（x， y′）-P（x′， y′）|≤2。式中，x， y和x′， y′分別是兩處各自選取的坐標(biāo)系。這樣，BellCHSH不等式剔除了貝爾不等式中難以實(shí)現(xiàn)的特殊限制，簡(jiǎn)化了實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)條件，為即將實(shí)施的檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)奠定堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

早期實(shí)踐探索

理論上的討論已很充分，似乎只欠東風(fēng)，然而即便如此，受早期技術(shù)限制，檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)仍面臨巨大困難。按照貝爾最初的設(shè)想“這些儀器的設(shè)置足夠提前，使它們能夠通過以小于或等于光的速度交換信號(hào)而達(dá)到某種相互關(guān)系”，這就要求兩觀察者測(cè)量并獲得結(jié)果的時(shí)間，短于光從A地傳播到B地所用的時(shí)間，這樣才能保證在完成測(cè)量前，粒子之間沒有不超過光速的溝通和聯(lián)系，否則無法排除不超過光速的隱變量。因此，兩粒子在保持糾纏的狀態(tài)下，分隔足夠遠(yuǎn)，才能避免實(shí)驗(yàn)漏洞之一——定域性漏洞。然而，貝爾、玻姆等人設(shè)想的粒子自旋實(shí)驗(yàn)雖然在形式上更加簡(jiǎn)潔，但對(duì)當(dāng)時(shí)的實(shí)驗(yàn)技術(shù)而言，獲得相距較遠(yuǎn)的實(shí)物糾纏粒子對(duì)（如電子、原子等有質(zhì)量的粒子對(duì)）極其困難，事實(shí)上，此類實(shí)驗(yàn)直到近幾年才實(shí)現(xiàn)。相較而言，獲得相隔較遠(yuǎn)的糾纏光子對(duì)容易很多。因此，早期的檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)均利用光子來完成。

在貝爾不等式誕生前，就有物理學(xué)家嘗試探究糾纏光子間的關(guān)聯(lián)性。1946年，物理學(xué)家惠勒（J. Wheeler）提出利用正負(fù)電子湮滅產(chǎn)生的糾纏光子對(duì)來驗(yàn)證EPR實(shí)驗(yàn)。1950年，華裔物理學(xué)家吳健雄使用惠勒的實(shí)驗(yàn)方案，進(jìn)行了量子糾纏實(shí)驗(yàn)。然而，正負(fù)電子湮滅產(chǎn)生的光子能量較高，傳統(tǒng)方式不能直接測(cè)量光子的偏振，而是采用康普頓散射間接獲得偏振信息，這樣做并不能獲得理想的結(jié)果。貝爾不等式誕生后，1967年，美國(guó)物理學(xué)家克歇爾（C. A. Kocher）在讀博士期間曾試圖進(jìn)行貝爾不等式的檢驗(yàn)，在加州大學(xué)伯克利分校建立了實(shí)驗(yàn)裝置?？诵獱柛挠免}原子的級(jí)聯(lián)輻射獲得糾纏光子對(duì)，此糾纏光子頻率在可見光范圍內(nèi)，可利用標(biāo)準(zhǔn)光學(xué)偏振片獲得光子偏振信息。

1970年，克勞澤到加州大學(xué)伯克利分校做博士后研究。他意識(shí)到克歇爾的實(shí)驗(yàn)裝置改進(jìn)后可用于Bell-CHSH不等式檢驗(yàn)，并用兩年時(shí)間進(jìn)行實(shí)驗(yàn)改進(jìn)。1972年，克勞澤通過200小時(shí)的實(shí)驗(yàn)測(cè)量，完成了首次檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)。最終，得到了一個(gè)明顯違背BellCHSH不等式、符合量子力學(xué)預(yù)測(cè)的結(jié)果，證明了兩個(gè)相距很遠(yuǎn)的粒子可以互相糾纏。然而，由于技術(shù)限制，早期的實(shí)驗(yàn)設(shè)置過于簡(jiǎn)陋，可以說是漏洞百出。

除了定域性漏洞，還有一個(gè)漏洞即探測(cè)效率漏洞。檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)要求進(jìn)行大量穩(wěn)定的糾纏光子對(duì)的測(cè)量，由此獲得統(tǒng)計(jì)結(jié)果。而糾纏態(tài)極易受到外界干擾而坍縮，故長(zhǎng)時(shí)間維持穩(wěn)定的實(shí)驗(yàn)條件極其困難。在實(shí)驗(yàn)過程中，糾纏光子對(duì)的產(chǎn)生和發(fā)送非常不穩(wěn)定，效率較低，要么在大部分時(shí)間里不產(chǎn)生光子對(duì)，要么光子對(duì)在發(fā)送和探測(cè)過程中丟失。因此，受當(dāng)時(shí)實(shí)驗(yàn)技術(shù)限制，研究者只獲得了少部分糾纏光子對(duì)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。要想關(guān)閉探測(cè)效率漏洞，必須盡可能探測(cè)到更多的糾纏光子對(duì)。理論計(jì)算表明，探測(cè)到的光子對(duì)數(shù)需要超過總數(shù)的2/3，這個(gè)數(shù)值即便是對(duì)當(dāng)前的實(shí)驗(yàn)技術(shù)而言也是不易的。檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)還有賴于實(shí)驗(yàn)技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展。

新技術(shù)的積累

為了能夠獲得更加精準(zhǔn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，阿斯佩試圖關(guān)閉實(shí)驗(yàn)中的一些漏洞，進(jìn)行了更多有益的嘗試，這也是他攻讀博士研究生的研究方向。貝爾理論成立的一個(gè)重要前提就是兩端的探測(cè)過程必須相互獨(dú)立、毫無關(guān)聯(lián)，在探測(cè)方向的選擇上必須要求“自由且隨機(jī)”。為了滿足這一實(shí)驗(yàn)條件，首先要解決的就是定域性漏洞。

阿斯佩是第一個(gè)設(shè)計(jì)避免定域性漏洞的人。1981—1982年，他連續(xù)發(fā)表了三篇論文。他將兩糾纏光子分別發(fā)送到巨大房間的兩端，距離為12米，使得兩糾纏光子進(jìn)行聯(lián)系至少需要40納秒，這個(gè)時(shí)間長(zhǎng)于測(cè)量并獲得結(jié)果的時(shí)間。當(dāng)然，除了要保證距離足夠遠(yuǎn)，還要有快速變化的實(shí)驗(yàn)設(shè)置，這樣做同樣是為了避免可能的隱變量。1957年，玻姆就曾設(shè)想糾纏粒子在飛行過程中，測(cè)量方向仍在改變，貝爾認(rèn)為這點(diǎn)對(duì)實(shí)驗(yàn)設(shè)置而言極其重要。在所有早期的實(shí)驗(yàn)測(cè)量方案中，每次實(shí)驗(yàn)選取的測(cè)量方向都是提前設(shè)置好且不變的。為了快速改變實(shí)驗(yàn)設(shè)置，阿斯佩在實(shí)驗(yàn)過程中利用聲光調(diào)制技術(shù)改變光路，使其按50兆赫的頻率周期性變化，從而達(dá)到快速改變測(cè)量方向的目的，第一次實(shí)現(xiàn)變換方向的偏振測(cè)量。當(dāng)然，測(cè)量過程使用符合測(cè)量。阿斯佩通過這樣的設(shè)置，確保了兩處測(cè)量點(diǎn)A和B之間每次測(cè)量過程不會(huì)有不超過光速的隱變量的信息交換，從而關(guān)閉定域性漏洞。

另外，阿斯佩還使用更高效的糾纏光子源和雙通道探測(cè)系統(tǒng)來提高探測(cè)效率，進(jìn)而獲得更精確且更有說服力的數(shù)據(jù)?；谏鲜鲋匾膶?shí)驗(yàn)改進(jìn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果最終證明貝爾不等式不成立，首次為量子力學(xué)提供了較為可靠的實(shí)驗(yàn)證據(jù)，也為進(jìn)一步開展貝爾不等式檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)開辟了道路。雖然他已盡可能關(guān)閉漏洞，但就現(xiàn)在看來，受限于當(dāng)時(shí)的技術(shù)，實(shí)驗(yàn)方案其實(shí)并不完美，僅關(guān)閉了定域性漏洞。雖然阿斯佩的實(shí)驗(yàn)設(shè)置保證了測(cè)量過程中不會(huì)有不超過光速的即時(shí)的信息交換，但是仍然無法保證測(cè)量方向的選擇是真正意義上的相互獨(dú)立且隨機(jī)，因?yàn)橹芷谛宰儞Q本身就是一種關(guān)聯(lián)，談不上隨機(jī)。實(shí)際上，按照經(jīng)典物理學(xué)的因果論，很難找到?jīng)]有絲毫關(guān)聯(lián)的真隨機(jī)事件。因此，如果無法保證實(shí)驗(yàn)測(cè)量設(shè)置的隨機(jī)性，就會(huì)導(dǎo)致自由選擇漏洞。

無論如何，此實(shí)驗(yàn)是邁向無漏洞檢驗(yàn)的關(guān)鍵一步，對(duì)量子基礎(chǔ)理論研究產(chǎn)生了重要影響。貝爾一直在關(guān)注阿斯佩的實(shí)驗(yàn)，1981年，他撰寫題為“伯特曼的襪子和現(xiàn)實(shí)的本質(zhì)”的文章。貝爾以其同事伯特曼雙腳從不穿相同顏色的襪子為喻，來探討量子糾纏，并表達(dá)了當(dāng)時(shí)學(xué)界比較認(rèn)可的觀點(diǎn)：“我很難相信在低效的實(shí)驗(yàn)設(shè)置下，能夠和實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得很好的量子力學(xué)會(huì)在更加完美的實(shí)驗(yàn)設(shè)置中失效。”這是物理學(xué)家對(duì)量子力學(xué)的信仰，就連最初站在愛因斯坦一方的貝爾，此時(shí)也堅(jiān)定地站到了玻爾這邊。

彼時(shí)檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)的漏洞可以總結(jié)為三個(gè)：定域性漏洞、探測(cè)效率漏洞以及自由選擇漏洞。隨后的幾十年中，隨著量子調(diào)控技術(shù)特別是單粒子水平的調(diào)控技術(shù)發(fā)展，更加完美的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證成為可能。為提高探測(cè)效率，研究人員改用囚禁在阱中的原子、離子或超導(dǎo)線路等實(shí)物粒子替代光子作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象。早期實(shí)驗(yàn)中，糾纏物質(zhì)之間的距離只能達(dá)到幾微米，較短的距離顯然無法關(guān)閉定域性漏洞。不過很快，新技術(shù)的出現(xiàn)為遠(yuǎn)距離的物質(zhì)糾纏提供了可能。

1993年，波蘭理論物理學(xué)家茹科夫斯基（M. ？ukowski）以及蔡林格等人提出糾纏交換的概念。糾纏交換是指通過貝爾態(tài)測(cè)量（投影到任意一個(gè)最大糾纏態(tài)基矢）過程，實(shí)現(xiàn)糾纏狀態(tài)的傳遞。比如，準(zhǔn)備兩對(duì)糾纏粒子，分別是來自糾纏源Ⅰ的糾纏粒子對(duì)1、2和來自糾纏源Ⅱ的糾纏粒子對(duì)3，4，通過對(duì)粒子2和3進(jìn)行一次聯(lián)合貝爾態(tài)測(cè)量就可以實(shí)現(xiàn)粒子1和4的糾纏，而粒子1和4從未有過任何相互作用。1998年，蔡林格團(tuán)隊(duì)首次實(shí)現(xiàn)了糾纏交換實(shí)驗(yàn)，論文第一作者為中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘建偉院士。