小學數學創新性實驗的研究與實踐

陳燕虹 黃文韜

【摘要】本文以提高小學生數學素養和實踐能力為目的，研究小學數學創新性實驗的實踐操作策略，提出創新性實驗應以拓展性問題為出發點、以學生主動學習為核心指標，在明晰教師應發揮怎樣的作用、怎樣發揮作用的基礎上，結合實踐案例，探討通過制造數學困境推進創新性實驗的思路和方法。

【關鍵詞】小學數學 創新性實驗 數學困境

【中圖分類號】G62 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）07-0016-05

創新是一個國家、一個民族發展進步的動力源泉。黨的二十大報告在“新時代新征程中國共產黨的使命任務”中明確提出了我國到2035年的總體發展目標，其中“實現高水平科技自立自強，進入創新型國家前列”為目標之一。我們認為，創新型國家建設離不開創新型人才培養。數學作為重要的基礎學科，肩負著創新型人才培養的重任。《義務教育數學課程標準（2022年版）》首次確立了核心素養導向的課程目標，提出“義務教育數學課程應使學生通過數學的學習，形成和發展面向未來社會和個人發展所需要的核心素養”，課程目標以學生發展為本，以核心素養為導向，進一步強調使學生獲得數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗（簡稱“四基”），發展運用數學知識與方法發現、提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”），形成正確的情感、態度和價值觀。而基于實踐能力培養的應用意識和創新意識都是義務教育階段數學核心素養的具體表現，落實對學生應用意識和創新意識的培養要求對發展學生創新能力具有重要的現實意義。

數學實驗指的是用實驗的手段探索數學。早期系統論述數學實驗（或稱數學實驗室）的文獻可以追溯到1916年Nature介紹的數學實驗室叢書。該叢書提出，數學實驗是數學教育教學的新模式。教學實踐中，大學階段的數學實驗包含了驗證性實驗、綜合性實驗和創新性實驗三個由低到高的層次；而基礎教育義務教育階段實施的數學實驗多數屬于驗證性實驗，創新性實驗的探索相對集中在基礎教育的高中階段。

國內關于數學實驗的研究，可以追溯到20世紀80年代末和90年代初。緊隨大學數學實驗的研究和教學，數學實驗在中學也開展起來，越來越多的中學數學教師和數學研究工作者開始重視數學實驗研究，到了近兩年，相關研究文獻開始呈幾何級數增長。而中學數學實驗的研究和教學，在模式上為操作性實驗、思維性實驗與計算機模擬實驗，在層次上則歸屬驗證性實驗或綜合性實驗。小學數學實驗主要集中在數學課程內容的實驗操作，從本質上來說依然以驗證性實驗為主，以教師的引導為主：由教師設定實驗內容及方法步驟，學生按照設定的內容和步驟進行實驗，即在已知知識點的支持下，讓小學生動手驗證一些知識。因此，小學的數學實驗未能充分做到以學生為主體，未能調動學生的主觀能動性，未能啟發學生探索知識、發展核心素養。根據我們的文獻研究，小學數學界目前未見創新性實驗研究。

因此，我們提出在小學數學教學中實施以核心素養為導向的創新性實驗。這樣的創新性實驗，必須以學生為主體，學生在教師的引導下，從現實世界或數學世界中發現或提煉問題，用數學的方法和工具進行研究，探索問題的數學規律或者問題解決的方法。在這樣的創新性實驗中，教師居于輔助地位，重點是引導學生展開實驗。這種創新性實驗可以豐富學生的概念心像，促進學生感悟數學的思想方法，形成數學認知，發展相關的綜合能力。經過長期探索，我們提煉出創新性實驗的如下實踐操作策略。

一、以拓展性問題為出發點

中國古代教育家孔子說：“疑是思之始，學之端。”古希臘著名哲學家蘇格拉底說：“問題是接生婆，它能幫助新思想誕生。”由此可見“問題提出”對于學習的重要意義。這樣的問題，可能源自所面對的新情景、新內容，也有可能是對已經解決的問題有了新想法。學習的全過程都可能伴隨著問題的提出，關鍵是誰提出問題、提出怎樣的問題。

如果一個問題是學生自己提出來的，那就一定是他困惑或者感興趣的，那他就一定會有探索這個問題的動力。從教學的角度來看，學生提出的問題也是開展“以學生為主體”的教學的完美入口。為此我們提出如下教學策略。

（一）鼓勵學生提出非教材預設的問題

“你能找到什么數學信息？”“根據這些數學信息，你能提出什么數學問題？”這是數學教師在教學中常常提出的兩個問題。

部分教師希望學生能盡快找到數學信息，并且盡快提出教材上要解決的問題；部分教師會追問“你還能提出什么別的數學問題？”，然后在學生提出的各種數學問題中，選取教材上的問題展開教學；還有部分教師會回應一下學生提出的非教材預設問題，但會被課堂教學時間不足這個問題所困擾。以教學北師大版二年級上冊第一單元第一課時“誰的得分高”為例，不同類型的教師基于同樣的引問，落實教與學的過程有可能出現如表1所示的三種情況。

A類教師的學生基本上沒有問題意識，也不具備提出非教材預設的數學問題的能力；B類教師的學生有一定的提出各種數學問題的能力，但因為教師并不回應學生的問題，長此以往，學生會慢慢明白教師的期待并開始迎合教師的期待——提出和教材一致的問題，隨之提出問題的能力會逐漸下降，最終變成和A類教師的學生一樣的學生；C類教師的學生有提出數學問題的能力，對C類教師的教學挑戰很大，初期階段，如果測評其學生的知識掌握程度，結果常常不盡如人意，表現為不如A類教師和B類教師的學生知識掌握程度高。面對挑戰，有些C類教師會逐漸變成B類教師或A類教師，他們的學生也會逐漸變為A類教師那般的學生。而如果學生提出的問題總是教材中的問題，那么，教師設置“問題提出”環節的意義便單純是為了推進教學，而不是基于學生真實的困惑實施教學了：不能基于學生真實的困惑實施教學，學生沒有學習動力的情況會隨之出現，學生主動學習的狀態便很難發生，創新意識和實踐能力的培養便無從談起。

因此，我們建議：教師要扛住初期的壓力，不懼挑戰，鼓勵學生提出各種與數學有關的問題，讓學生感受到教師對“問題提出”的重視，向學生傳遞出一種鼓勵積極思考的信號，培植學生的學習信念。

（二）將拓展性問題轉變為創新性實驗項目

只要教師積極回應學生提出來的問題，學生就會逐漸養成提問的習慣，學生的好問題也會噴涌而出。仔細甄別學生提出的問題，大體可分為三類。第一類為無效問題。無效問題指與學習內容無關的問題，不論其問域是大還是小，探索該問題的歷程對增長知識、培養能力都沒有多大的作用。如：“可以用藍色的筆來畫分析圖嗎？”“為什么單位要用括號括起來？”“機靈狗（新世紀版教材內人物）能換件衣服嗎？”“為什么觀察的時候，眼睛會癢？”“我可以用茶壺裝花生嗎？”第二類為理解性問題。理解性問題一般與學習內容緊密相關，其問域小，指向明確，答案唯一，開放度不高。如：“乘法和加法有什么關系？”“可以畫圖表示出誰是誰的幾倍嗎？”“為什么正方形是特殊的長方形？”“所有正方形的面積都和三角形面積有關系嗎？”第三類為拓展性問題。拓展性問題不僅與學習內容相關，而且問域大、開放度高、答案不唯一或答案不局限在數學學科。如：“什么是九九歌？它是和節氣有關，還是和乘法有關？”“把觀察到的圖形合并起來，能不能合成被觀察的物體？”“三角形的外面有角嗎？如果有，外面的角加起來會是多少？”“是否可以制作出方形泡泡？”“車輪可以有別的形狀嗎？”其中，“三角形外角和”屬于初中數學的學習內容，而“車輪可以有別的形狀嗎？”“是否可以制作出方形泡泡？”等問題不屬于任何一個學段的學習內容。對于這些不屬于本學段甚至不屬于任何學段學習內容的問題，教師該如何做出回應呢？是冷落學生、不置可否？還是告訴學生這個問題不是現在學習的內容，然后不予理會？還是有別的什么選項？

由于拓展性問題的問域較大、開放度較高，將其融入課堂教學加以解決往往是不現實的。有些C類教師正是因為將一些不可能當堂解決的拓展性問題放在了同一節課中加以解決，這才導致了課堂教學不夠聚焦、學生的學習效果不夠理想，并因為受到教學質量評價的壓力最終只能因噎廢食變成B類教師或A類教師。

課堂教學中，學生提出的問題不可能完全符合教材的知識體系。因此，教師需要對學生提出的問題進行精確的研判——確定學生的問題究竟屬于哪一個類型的問題，然后根據課程標準的教學指向建立問題庫，將理解性問題融入課堂教學，將拓展性問題作為多學時長程學習的創新性實驗項目，以主題式學習的方式另外組織學生展開實驗探究，對學生的“問題提出”做出正面的回應。以學生提出的問題“車輪可以有別的形狀嗎？”“是否可以制作出方形泡泡？”為例，教師便可以另外設計出一些如表2所示的創新性實驗項目，對課程實施進行多學時長程設計。

二、以學生主動學習為核心指標

創新性實驗的基本流程包括實驗主題（項目）的選擇和確定、實驗器材準備、實驗設計、實驗猜想、實驗過程、實驗初發現、實驗調整、實驗再發現和實驗結論的提煉等。與以往的小學數學實驗相比較，創新性實驗不再是由教師設定好一切后，學生再按照教師設定的步驟進行操作驗證，而是從頭到尾都真正交給了學生，由教師主導實驗轉變為教師助推實驗，確立學生的學習主體地位，使學生成為真正的學習者、探索者、研究者。

（一）學生是創新性實驗的主體

創新性實驗需要圍繞實驗主題（項目），自主考慮要探索該問題時需要準備哪些材料即實驗器材。實驗器材由研究者（學生）或研究小組自行決定，以下我們把他們統稱為研究者。

研究者主動思考、獨立學習，從“到底要準備什么實驗器材才能幫助我進行探究”開始。例如，要探索“圓形井蓋的優勢”，學生A決定使用的實驗器材是不同大小的紙筒、白卡紙、不同大小的圓形紙片和自己設計的記錄單，學生B決定使用的實驗器材是不同尺寸的硬幣（模擬圓形井蓋）、不同尺寸的平面圖形、直尺、白紙。不同的實驗器材，將匹配不一樣的實驗步驟。個體之間豐富的數學活動體驗將帶來不同角度的學習交流。

研究者自己擬定研究步驟，即自己設定研究時先做什么、再做什么、最后做什么，也就是自主進行實驗設計。如學生A設計的實驗步驟有三個：第一步，用紙筒在白卡紙上拓印出圓形并剪出圓形紙片；第二步，將圓形紙片蓋在紙筒上，模擬井蓋；第三步，測量出“井蓋”的面積和周長。學生B的實驗步驟也有三個：第一步，用白紙圍硬幣一周，確定管道的大小；第二步，根據圓形管道的直徑，制作出大小合適的正方形井蓋、長方形井蓋、梯形井蓋；第三步，比較不同形狀的井蓋，從用料、穩固性上進行對比。步驟不同，感悟和思考也會不同：學生A會關注并思考圓形的特征，學生B會聚焦圖形特征與圓柱管道的關系。他們之間的交流，能達成互相啟發的效果。

研究者根據自己擬定的步驟，結合原有的經驗，對探究結果進行預判，即進行實驗猜測。如學生A猜測“圓形井蓋的優勢是圓形的面積，因為‘一中同長”；學生B猜測“井蓋的面積和放置井蓋的管道的面積有關系，都是圓形的，契合度好，優勢是正好可以卡在管道上”。然后，研究者運用文字、圖示等方式，客觀記錄實驗的步驟以及過程中的關鍵信息，產生新的認知。對小學階段的學生來說，新認知可以是數學知識上的認知，也可以是數學方法、實驗設計上的發現。

學生起初的發現一般都是粗線條的，教師需要引導學生在初次探索實踐的基礎上，在積累活動經驗的過程中，圍繞問題解決再次進行實驗探索。通過與原有的想法進行比較，學生一定會有所發現：新想法可能更有利于問題解決，也可能更不利于問題解決。也就是說，創新性實驗是一個或迂回或起伏的較長的過程，直至學生有了數學化程度較高的新發現。

（二）制造數學困境

根據“歷史相似性原理”，個體的發育史總會重蹈其種族的發展史。學生在學習數學時，其思維發展的過程和數學史發展的過程也是非常相似的。正因為如此，數學教師只要了解某個數學事實或概念的發現過程，就能對學生即將經歷的思維發展進行預判，從而有針對性地對學生學習某一知識時所遇到的障礙進行優化設計。在當下的小學數學教學中，大量的驗證性實驗都進行了這樣的優化設計——教師設置好實驗過程，最大限度地降低學生可能遇到的困難，帶著學生順利經歷知識建構的過程，獲得數學上的“新發現”。

與盡快解決或者走出數學困境相反，我們所研究的創新性實驗首次提出了先制造數學困境再走出數學困境的思路和方法。

1.只給出關鍵線索

只給出關鍵線索而不給出具體的實驗步驟是為了發展學生的創新性思維。如教師為“制作多邊形泡泡”的創新性實驗項目設計了4個實驗主題。主題一是制作正方體。教師給出的關鍵線索是“用小棒或者牙簽制作一個正方體”。為什么這里只是提供“線索”，而不是實驗“步驟”？如圖1所示，對于小學生來說，她們所能看到的正方體是含有面的實體，而不是顯示正方體局部特征的透視圖；現在要做的是正方體的框架，即只需了解正方體的局部特征。這對小學生來說，無疑是抽象的，有思維難度的。

根據教師提供的線索，學生的主動思考包括：“為什么是用小棒或者牙簽搭？”“小棒、牙簽都使用行不行？”“我需要什么樣子的小棒來搭？”“我需要多少根小棒來搭？”“用小棒怎么搭？”……學生沿著線索自主思考，自主選擇和準備搭建正方體的其他工具。

由于只給出線索，并沒有告訴學生需要準備12根小棒，并且12根小棒的長度應該相等；也沒有告訴學生12根小棒需要通過“點”來連接；“點”的材料對學生來說也是個未知概念。這就給學生制造了這樣一個數學困境：當準備的小棒數量小于12時，學生會發現搭不成正方體；當準備的小棒數量大于12時，會發現有剩余，于是可得出“需要且只需要12根”的活動經驗；如果準備的小棒長度不一致，學生會發現搭出來的“正方體”東倒西歪，由此感悟到小棒需要長度一樣才能“正”；當連接小棒時，又會發現一個“點”需要聯結3根小棒這個事實……學生在不斷碰壁的困境中展開思考和實踐，不斷積累數學活動經驗，而這些經驗可以為學生自主發現和認識正方體的特征奠定堅實的基礎。

正方體做好以后，要想做出方形泡泡，需要使用細繩子拴住這個正方體，將其浸沒在泡泡水中，再提起來。然而，這些仍舊是關鍵線索，而不是具體步驟：如果給出詳細的圖文結構，學生一看就知道自己應該用什么工具去做什么，那就是具體的操作步驟了。但是，這樣的步驟雖然能夠讓學生毫無阻礙地得到“方形泡泡”，但學生是在依葫蘆畫瓢，根據實際情況進行合理調整的主動思考就不可能被真正觸發，問題意識和創新意識就無法被真正激活。那么，在這里，教師究竟沒有告訴學生什么呢？是繩子的粗細、長度、栓正方體的方式以及泡泡水的比例。

有些學生會發現自己準備的繩子不夠長，無法將整個正方體懸吊后完全浸沒在泡泡水中，于是意識到自己需要考慮繩子的長度、繩子加上正方體的長度以及容器的高度、寬度等，這本質上是在具體情境中的“估測”或“測量”。“量感”核心素養在這個真實的具體情境中開始萌芽。

有些學生在栓正方體的時候，會發現自己剛剛做好的正方體“弱不禁風”，一下子就歪歪扭扭變了形，還需要想辦法加固正方體的每一條棱。這讓學生有機會發現角度也是正方體的特征（由正方形構成，正方形的角是直角）……走出數學困境的過程，永遠伴隨著新的非預設問題的出現。

創新性實驗只給出關鍵線索。關鍵線索給學生留下了自主探索的空間，讓學生在這個空間里可能會遭遇點什么、發生點什么。以只給出關鍵線索的方式打造出來的數學困境，讓學生不僅發現和感悟到了數學現象和概念，還讓學生在一次又一次的失敗和調整中，錘煉出了“不怕困難、堅持不懈”的學習品質和科學精神。經過不斷嘗試，學生終于發現小塊橡皮擦可以不受泡泡水的影響，是理想的連接點材料，如下頁圖3所示。

2.只在要點上引導

在數學困境中的探索性學習是主動、有意義、鮮活的學習，它始終在動態發展。由于創新性實驗探究的時間較長，學生從中積累的經驗、得到的或正確或錯誤的認知也會比較多、圍繞問題進行的調整也會有多次，然而，學生每一次的調整都是對其原有認知的攪動。因此，在學生進行實驗探究的全過程中，教師及時、正確的引導顯得極為重要，比如：正方體有多少條棱、棱的特點是什么？有多少個頂點、頂點與棱的關系是怎樣的？有多少個面、這些面是如何構成的？正方體上點、線、面的關系如何？等等。

需要說明的是，教師的引導應著眼于學生核心素養的發展，不能隨著實驗有了某種新發現而戛然而止。由“制作正方體”的過程幫助學生發展“數學的眼光”“數學的思維”和“數學的語言”等核心素養，之后教師可引導學生進一步思考：如果正方體可以做出方形泡泡，那么其他的立體圖形呢？教師的引導，可助推學生進入無止境的探索。圖4和圖5是學生用三棱錐和五棱柱做出的三角形泡泡、五邊形泡泡。

今天的教育，需要將學生作為未來人培養，需要幫助學生主動探尋數學問題的背景并善于抓住數學問題的本質，用準確、簡明、規范的數學語言表達自己的數學思考。面對各種現實問題，教師應教會學生運用數學的理性思維，從多角度思考解決問題的方法，并對解決問題的過程進行合理的簡化和量化，從而有效發展模型意識。創新性實驗是實現這一愿景，幫助學生成為具有數學素養的未來人的有效途徑。

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注：本文系廣西教育科學“十四五”規劃2023年度資助經費重點課題（A類）“素養導向下小學數學創新性實驗的研究”（2023A131）的階段研究成果。

作者簡介：陳燕虹（1978— ），湖南長沙人，本科，高級教師，廣西特級教師，主要研究方向為小學數學閱讀和數學創新性實驗。

（責編 白聰敏）