高階災(zāi)難保險的價格

VIX期權(quán)是芝加哥期權(quán)交易所2006年推出的基于波動率指數(shù)的期權(quán)。VIX看漲期權(quán)和標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)（SPX）看跌期權(quán)對投資者來說都是“災(zāi)難保險”，二者功能顯然高度重合。為什么在SPX期權(quán)已廣泛交易的情況下，投資者還對VIX期權(quán)有需求呢？本文介紹的作者與合作者撰寫的《高階災(zāi)難保險的價格：VIX期權(quán)的例子》研究了該問題。

衍生品的一個重要作用是提供完全市場，即幫助投資者實現(xiàn)傳統(tǒng)資產(chǎn)無法實現(xiàn)的投資。投資者交易衍生品Z，說明衍生品Z能幫助他們實現(xiàn)傳統(tǒng)資產(chǎn)X和衍生品Y都無法實現(xiàn)的投資。芝加哥期權(quán)交易所（Chicago Board Options Exchange，簡稱CBOE）在1983年、2004年、2006年相繼推出標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)（S&P 500 Index，簡稱SPX）期權(quán)、波動率指數(shù)（Volatility Index，簡稱VIX指數(shù)）期貨、VIX期權(quán)。每一個都大受追捧，說明這些衍生品分別起到不同的作用。VIX指數(shù)衡量的是SPX波動性，VIX期貨使投資者能直接投資股市波動性。VIX期權(quán)是基于VIX的衍生品，因此和VIX期貨功能部分重疊。“波動反饋效應(yīng)”導(dǎo)致SPX和VIX強烈負相關(guān)，因此當(dāng)股災(zāi)發(fā)生時，VIX指數(shù)會猛烈上漲。VIX看漲期權(quán)和SPX看跌期權(quán)因此都是“股災(zāi)保險”，功能再次高度重疊。因此，一個重要問題是：VIX期權(quán)到底有什么超越VIX期貨和SPX期權(quán)之處？

盡管原有文獻中已經(jīng)有一些VIX期權(quán)定價模型，但關(guān)于上述經(jīng)濟學(xué)問題沒有系統(tǒng)的回答。筆者和威斯康星大學(xué)比約恩·埃拉克（Bjorn Eraker）教授合作撰寫的2022年12月刊發(fā)于《金融學(xué)期刊》（Journal of Finance）的論文《高階災(zāi)難保險的價格：VIX期權(quán)的例子》（The Price of Higher Order Catastrophe Insurance： The Case of VIX Options）（下簡稱“論文”）研究了這一問題。

論文實證部分通過三種方法來研究上述衍生品之間的關(guān)系。第一，對沖回歸（Hedge Regression）。假設(shè)現(xiàn)在我們要對沖SPX看跌期權(quán)，教科書的方法是德爾塔對沖（Delta hedge）［采用SPX指數(shù)交易基金（Exchange Traded Funds，簡稱ETFs）］和維加對沖（Vega hedge）（采用VIX期貨）。論文作者發(fā)問：當(dāng)控制了這兩種傳統(tǒng)的對沖工具后，VIX看漲期權(quán)還能幫助對沖SPX看跌期權(quán)嗎？論文作者發(fā)現(xiàn)，該問題的答案顯著地隨經(jīng)濟周期或市場環(huán)境的變化而變化。在“衰退（高股市波動）”時期，二者關(guān)系緊密，VIX期權(quán)能顯著地幫助對沖SPX期權(quán)。在“擴張（低股市波動）”時期，二者關(guān)系微弱，VIX期權(quán)幾乎不能幫助對沖SPX期權(quán)。第二，主成分分析（Principal Component Analysis，簡稱PCA）。不同于原有文獻中用PCA來分析股票或債券的橫截面數(shù)據(jù)，論文作者將SPX期權(quán)和VIX期權(quán)按虛實程度（moneyness）分類，然后使用PCA來研究“股災(zāi)保險市場（SPX看跌和VIX看漲期權(quán)）”的因子結(jié)構(gòu)。作者發(fā)現(xiàn)，前四個主成分，即SPX的水平（SPX level）、SPX的偏離度（SPX skewness）、SPX的尾部（SPX tail）、SPX的波動率（SPX volatility）能解釋絕大部分SPX和VIX期權(quán)的變動。但是不同虛實程度的SPX、VIX期權(quán)在四個主成分上的承載很不相同。這和之前的實證發(fā)現(xiàn)相符，都說明VIX期權(quán)和SPX期權(quán)的功能不完全重疊。第三，期權(quán)隱含波動率曲線。原有文獻發(fā)現(xiàn)SPX期權(quán)的隱含波動率曲線呈現(xiàn)“凸性微笑”（convex smile），且這一特征相當(dāng)穩(wěn)定，并不太隨市場環(huán)境的變化而變化。論文作者發(fā)現(xiàn)，VIX期權(quán)的隱含波動率曲線在“衰退”時期呈現(xiàn)“凸性微笑”，在“擴張”時期卻呈現(xiàn)“凹性皺眉” （concave frown）。這一原有文獻中沒有過的有趣發(fā)現(xiàn)，再次印證VIX期權(quán)的“事前定價”有獨特的、不同于SPX期權(quán)之處。

論文理論部分建立了一個基于稟賦的一般均衡模型來解釋上述發(fā)現(xiàn)。類似［班薩爾—亞倫2004（Bansal-Yaron 2004）］模型，消費稟賦有時變的波動率。波動率隨機地向上跳躍，跳躍有時變的發(fā)生概率。因此，此模型是一個雙因子模型——“波動率”和跳躍的“波動率的波動率”。在均衡中，消費稟賦的雙因子傳導(dǎo)成股票指數(shù)的雙因子，繼而傳導(dǎo)成VIX指數(shù)的雙因子。任一因子上升時，VIX指數(shù)上升，同時通過貼現(xiàn)率的上升使SPX下降。因此，論文作者把雙因子稱為“貼現(xiàn)率因子”。除此之外，論文作者把消費稟賦理解為第三個因子——“現(xiàn)金流因子”。

該模型內(nèi)生了股票指數(shù)、VIX指數(shù)、SPX期權(quán)、VIX期貨和VIX期權(quán)的價格。該模型有“低波動率（擴張）”時期和“高波動率（衰退）”時期。擴張時期，現(xiàn)金流風(fēng)險更重要。因為在均衡里VIX指數(shù)只反映了股票指數(shù)分布的高階矩，VIX不受現(xiàn)金流風(fēng)險的影響。現(xiàn)金流風(fēng)險因此只影響SPX期權(quán)而不影響VIX期貨或期權(quán)。因此，擴張時期，SPX期權(quán)和VIX期權(quán)之間關(guān)系微弱，VIX期權(quán)幾乎不能幫助對沖SPX期權(quán)。衰退時期（也即是波動率因而貼現(xiàn)率變動很大的時期），貼現(xiàn)率風(fēng)險更重要。貼現(xiàn)率風(fēng)險既影響VIX期貨和VIX期權(quán)，也影響SPX期權(quán)。因此，衰退時期，SPX期權(quán)和VIX期權(quán)之間關(guān)系緊密，VIX期權(quán)能很好地對沖SPX期權(quán)。即使論文作者在對沖回歸里控制了VIX期貨，這仍不足以消除VIX期權(quán)的作用。這是因為期權(quán)價格是波動率因子的“凸函數(shù)”，而VIX期貨幾乎是波動率因子的“線性函數(shù)”，控制VIX期貨不足以控制期權(quán)的“凸性”（convexity）。該模型因此解釋了對沖回歸的結(jié)果。

該模型還解釋了VIX期權(quán)隱含波動率曲線隨經(jīng)濟周期的變化。低波動率時期，VIX的向上跳躍風(fēng)險更重要，因此隱含波動率曲線向上傾斜，并且呈現(xiàn)“凹性皺眉”。高波動率時期，VIX的向下擴散（diffusion）風(fēng)險更重要，因此隱含波動率曲線向下傾斜或比較平坦，并且呈現(xiàn)“凸性微笑”。這和論文作者在數(shù)據(jù)中觀察到的十分相似。

該模型在參數(shù)校準(zhǔn)（將消費和股利數(shù)據(jù)進行了匹配）之后不僅能解釋VIX、SPX衍生品數(shù)據(jù)，還同時能解釋很多傳統(tǒng)的資產(chǎn)定價謎題，例如股權(quán)溢價、低無風(fēng)險利率、方差風(fēng)險溢價、短期股權(quán)回報可預(yù)測性等。原有文獻中現(xiàn)有的一般均衡資產(chǎn)定價模型（長期風(fēng)險、罕見災(zāi)難、習(xí)慣等）也能解決這些謎題，但不能解釋VIX期權(quán)的價格或VIX、SPX期權(quán)的關(guān)系。因此，論文作者的模型代表了這類一般均衡資產(chǎn)定價模型文獻的前沿。

該模型還有額外的技術(shù)貢獻。例如揭示了“遞歸偏好”和“雙因子”在解釋VIX衍生品價格時的必要性。前者是因為，在一般均衡里，VIX指數(shù)只能是消費稟賦分布高階矩的函數(shù)。要使VIX指數(shù)有非零的“風(fēng)險價格”，消費稟賦的高階矩必須有非零的“風(fēng)險價格”。其必要條件便是投資者有“遞歸偏好” （recursive preferences）。后者是因為，單因子模型必然導(dǎo)致VIX期權(quán)和VIX之間的相關(guān)性為100%，這與數(shù)據(jù)不符。也必然不能解釋VIX期權(quán)隱含波動率的時變。此外，在該模型和文獻中，方差（variance）都被假設(shè)遵循仿射過程。而VIX是衡量波動率的指標(biāo)（volatility measure），從方差到波動率有一個平方根轉(zhuǎn)換，這給推導(dǎo)VIX期權(quán)的定價公式增添了額外困難，克服這一技術(shù)困難不僅是論文的貢獻，而且對于解釋VIX期權(quán)隱含波動率曲線大部分時間呈現(xiàn)“凹性皺眉”是必要的。

原有文獻里已經(jīng)有一些VIX衍生品定價模型，但是這些模型幾乎全是簡化形式的模型，不能回答三個經(jīng)濟學(xué)問題：第一，VIX期權(quán)為什么“不多余”？第二，VIX衍生品價格能揭示投資者的偏好嗎？第三，VIX衍生品價格和消費、股利數(shù)據(jù)存在內(nèi)在沖突嗎？論文填補了這些文獻空缺。

（楊翱翔為北京大學(xué)匯豐商學(xué)院助理教授。原論文《高階災(zāi)難保險的價格：VIX期權(quán)的例子》（The Price of Higher Order Catastrophe Insurance： The Case of VIX Options）2022年12月刊發(fā)于《金融學(xué)期刊》（Journal of Finance）。本文編輯/孫世選）