加減法運算意義理解中的情境原型研究

余水琴

［摘 要］探究加減法運算的基本意義，特別是在生活化情境原型中的意義，是幫助學生有效建構四則運算思維模型的重要措施。基于此，教師要摒棄純計算方法的機械式教學，把教學的側重點落在引導學生感知不同事例中加減法情境的存在上，使他們建立起對應的情境模型，為學生真正理解運算意義打下堅實的基礎，以提高學生的運算能力，促進學生數學學科素養的穩步發展。

［關鍵詞］小學數學；加減法運算；情境原型；比較關系；數學素養

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）03-0037-03

傳統的應用題教學的弊端顯而易見，部分教師在教學中要求學生記住題型、記住方法，解答應用題時直接套用，這樣教學不符合學生的認知規律，與新課程理念相違背。因此，教師要摒棄傳統的應用題教學模式，把學生引向有邏輯關聯的問題情境和運算意義的探究上，幫助學生較好地理解情境原型，激活他們記憶中情境原型的經驗，為他們的終身數學學習積蓄潛能。

一、加減法情境原型的研究背景

“對正整數加減法現實意義而言，其情境原型主要有四種：聚合、比較、增加性變化、減少性變化。”這是鄭毓信教授提出的有關情境原型的觀念，它對于本課題研究有著積極的指導意義。

（一）研究對象

考慮到測試的代表性，主要抽選了全區一至三年級的部分學生。

（二）研究方法

首先，利用樣本測試等方式，結合大數據分析等手段，真實地把握本地小學生情境原型建立的情況，分析其中可能存在的有利因素和不利因素。其次，采取后期跟蹤、回訪等措施，弄清學生在建立情境原型中的實際困難，排查清楚緣由，為后續開展課題研究提供信息支持。

1.前期樣本測試與數據分析

（1）開展全區一至三年級學生的樣本測試，初步了解學生對加減法情境原型的建立情況。

（2）采取問卷調查等方式，采集學生較為喜愛的問題情境信息，為后續的深入研究提供信息支持。

（3）比較不同版本教材和不同學段的學生，了解他們對情境原型建立的差異，為課題研究提供信息保障。

（4）采集學生在練習或測試中的錯誤案例，解析其原因，分析情境原型建立的不足之處。

2.后期樣本測評跟蹤和回訪目的

（1）徹底摸清學生對加減法運算意義在理解上的不足之處，特別是數學知識提取中出現的困難或偏差。

（2）初步分析學生在情境原型提取、應用中的思維差異，探尋突破難點的新路徑。

（三）測試和訪談

本次樣本測試的題目有兩類：一是看算式創設情境；二是一步計算解決問題。

1.看算式創設情境的測試情況

學生對這類題都比較喜愛，各年級的水平差距不明顯。考慮到低年級學生的識字量少、抽象思維水平低、理解數量關系能力弱等情況，設計的測試題中，前兩題只需要學生畫圖明義就可以了，后兩題則需要學生嘗試用數學語言表述出來。測試題如下：

（1）用喜歡的圖畫，表示算式3+5。

（2）畫圖表示算式5-3。

（3）結合自己的平時學習，創設兩個問題情境，需要反映出算式9+3的解答過程。

（4）創設兩個不一樣的問題情境，用到9-3這一算式。

2.一步計算解決問題的測試情況

這主要考查察對不同的問題情境時，學生所顯示出來的綜合應用知識、經驗與數學思維研究問題的能力。按照合理配比、有序測試的原則，一二年級均設計了10道題，即一年級測試的是聚合原型題，二年級測試的是比較原型情境題。其中，面對同一情境原型，既創設了加法情境，又創設了減法情境，讓學生數學思維的靈敏性、嚴謹性得到一定的鍛煉。同時，設計題目時不僅關注學生的思維創新，還注重學生知識基礎的夯實，將傳統的11種基本應用題型全部融入其中，使測試更具整體性，更有利于課題研究的深入。如設計“已知兩數的和與其中一個數，計算另一個數”的常規題型，目的是了解學生對加法情境、減法情境原型的建立度有多高，及對應的思維模型水平怎樣。

3.測試結果計分和解釋

測試中的每一道題都包含不同的情境原型。為了更精準地了解學生對不同情境原型的掌握情況，不采取總分統計的方式，而是采取分題統計的方式，以便進行必要的數據甄別，從正確率、失分率中探尋問題的癥結所在，為后續進一步研究提供必要的數據。如果學生對某一類情境原型理解的正確率達到85%及以上，則可以認為學生對該原型的建立是合格的。

4.訪談

訪談是課題研究中最為常用的方法之一，也是最有針對性和實效性的方式之一。為深入了解學生對比較情境原型的理解和掌握情況，特別是學生對該類型問題的思考與探究困難，教師有必要展開訪談、調查等活動。提綱訪談擬訂如下：

（1）仔細閱讀問題，簡要分析題目大意，明晰其中的數學信息。

（2）嘗試用數學語言來陳述思考過程，或展示研究問題的思路。

（3）要求學生說出自己選擇運用加減法的緣由。

（4）給予必要的指導或啟發，如指導畫示意圖、線段圖或聯系常見的學習例子等。

低年級學生由于邏輯思維和抽象思維還未發展成熟，所以即使理解一般的加減法運算，也需要借助形象直觀的素材，甚至是借助直觀操作來完成知識同化。但是，可供揭示加減法運算意義的直觀情境非常繁雜，表象也非常多，容易使學生迷失在情境中，難以歸納出情境的共性，無法提煉出其本質特征，更無法將這些情境分門別類。通過訪談調查、問卷調查，可以迅速摸清學生對加減法應用模型的掌握情況，進而制訂一系列的應對和補救措施，深化學生對加減法運算意義的理解。特別是后期讓學生根據同一道加法算式創設兩個不同情境、根據同一道減法算式創設兩個不同情境的教學實踐，能夠較好地激發學生探究問題的興趣。同時，這樣能夠給予學生更大的自由度，讓他們充分發揮想象，自主決策。經過這樣逆向思維的情境創設后，學生會對加減法的基本意義和運算原理有一個全面的把握。

二、解析情境原型的研究現實

（一）測試結果分析

隨著研究的開展，學生對各種情境原型理解的正確率均已超過85%，他們能夠較好地建立起加減法情境的原型，并能夠運用該模型解決問題。我們課題組在研究中還發現一個現象：學生對比較情境原型的解讀與領悟較為困難，正確率只有78.91%，遠沒有預期的效果。特別是分析“水果超市有45千克蘋果，比鴨梨少10千克，鴨梨有多少千克？”這種情境原型的問題時尤為嚴峻，學生解題的正確率僅有63.54%。另外，一年級學生在解題時，約有24%的學生會采取類似方程的策略表示出題中的數量關系，但是這種思維在二年級的解決問題的練習中卻很少使用，甚至是銷聲匿跡了。

（二）看算式創設情境的測試結果及分析

從分析的統計信息中，能夠看出最受學生青睞的加法情境原型是聚合與增加性變化兩類，最喜愛的減法情境原型是減少性變化。

研究發現，學生對教材版本的敏感度是較低的，這對測試結果幾乎是沒有影響的。同時，發現班級不同，測試結果的差異較大。這些都能夠較清晰地顯示出教師的教學方式、教學行為對學生數學思維發展的影響是巨大的，可謂是至關重要的。

另外，部分學生學會一式多型，即由一道算式創設出多種不同的情境。

（三）學生的主要錯誤

學生的主要錯誤集中在一些逆向思維描述的比較關系模型上。如“蘋果有8個，比桃子個數少3個，桃子有多少個？”，有些學生會列式解答為8-3，顯然這是錯誤的。

（四）訪談記錄

測試后，對不同的學生進行訪談，從中了解到情境原型掌握不夠靈活或是不甚透徹的原因。梳理分析后發現，學生思維程式化的現象較為明顯，思考問題的方式較為單一。如見到題目中有“比……多……”就一律用加法，看到題目中有“比……少……”則用減法。從這種現象能夠看出，教師在教學中對加減法情境原型變化的靈活性欠缺，導致學生在情境原型中提取信息時出現思維混亂的情況。結合學生的測試結果分析，我們課題組將比較情境原型列為重點來研究。

三、造成比較情境原型障礙的原因與教學思路

（一）學生的思維障礙

障礙1：比較關系理解欠缺

如“烏龜跑了30米，烏龜比兔子少跑10米”，學生常常斷章取義，錯誤地理解為“烏龜跑了30米，兔子跑了10米”。這說明學生對“烏龜比兔子少跑10米”的理解尚未達到悟透的層次，對其中邏輯關系的解讀是模糊的。

障礙2：能理解關系，但不能列出算式

題目：小明有20顆玻璃珠，小華有25顆玻璃珠，小華比小明多幾顆玻璃珠？

生：（閱讀題目后）這題用加法計算，即20+25=45（顆）。

師：問題是什么？它到底是什么含義？

生：比如說，我有3塊橡皮，小紅有6塊橡皮，6塊橡皮比3塊橡皮多幾塊？

師：怎樣列式？

生：6+3=9（塊）。

師：可以用畫圖來解析這個問題嗎？

（學生邊畫圖邊描述）

……

障礙3：受思維定式（如見“多”就用加法，見“少”就用減法）影響

題目：折紙比賽中，李晨折了30只紙鶴，李晨比劉強少折10只。劉強折了多少只紙鶴？

師：怎么列式？

生：有“比……少……”，毫無疑問，這題用減法計算，即30-10。

師：用減法來計算，你的想法是什么？

生：因為“李晨比劉強少折10只”，明確說到“少”，少就是減少，用減法計算。

……

（二）學生的學習思路

我們課題組既重視研究的順利推進，又關注學生對情境原型的建立，引導學生通過畫圖等策略去明晰比較的關系，使學生有序思考的思維能力得到培養與發展。結合具體事例，學生能夠較好地理解比較關系中的主體和客體、標準量和相對量，進而把它們與加減法運算順利對接。標準量和相對量之間的互逆關系，可以對應到加減法的互逆轉換上，實現加減法思維模型的初步建立。

例如：“肖戰今年接拍商業代言15個，王俊博比肖戰少接商業代言5個。王俊博接拍商業代言幾個？”教師讓學生拿出小棒，模擬題目中的對應關系擺出小捧，幫助學生較好地感悟其中的邏輯關系。

生：15根小棒是肖戰接拍商業代言的數量，10根小棒是王俊博接拍商業代言的數量。

師：少的5根小棒是什么呢？

生：（指向“空白處”）是王俊博比肖戰少接拍的商業代言數，即15-10=5（個）。

……

通過實踐操作及分析數量之間的關系，學生明晰了減法的意義。可是，隨著訪談的開展，發現了不少令人匪夷所思的現象，那就是學生“心口不一”“想做缺位”。具體表現為：學生的表層意識與外顯表達嚴重脫節，外顯表達具有嚴重的經驗性和機械性，導致理解與列式南轅北轍，最終出現認知障礙和表達偏差的“綜合征”。

加減法互為逆運算，邏輯上本就有許多的共通之處。隨著情境原型的改變，學生就會隨意轉換視角，把數量之間的內在關系混為一談，導致知識提取、經驗應用出現錯誤。為此，教師要針對這一情況對學生進行必要的邏輯訓練，以及相應的數學語言、數學表達的矯正訓練，讓學生徹底厘清各個數量之間的對應關系，找準基準量和比較量，從而列出正確的算式，真正明確算式各部分的含義。

四、比較情境原型的教學方向

首先，通過研究進一步了解學生對加減法情境原型的建立情況。隨著年級的遞增，情境原型的學習也變得豐富起來，但是學生對比較情境原型的學習還是顯得非常吃力。

其次，通過研究初步了解學生學習加減法情境原型的困難所在：對比較關系理解、情境理解和運算意義理解斷裂，使得學習中難以實現知識、經驗和思維的全方位對接。

最后，通過研究了解學生理解比較關系的思維方式：先理解比較關系，再畫圖表示對應數量，將數量對比關系抽象成加減法算式，然后選擇方法計算，解決問題。

從多次訪談中發現，學生的思維過程理解才是核心，表象是參照。唯有如此，學生才能在不同情境中靈活分析原型與解決問題，實現數學學習的不斷深入。

綜上所述，在小學數學教學中，教師要適時為學生提供多樣化的情境原型，重視學生積累比較關系的經驗，使學生真正理解與掌握所學的數學知識，助力他們數學思維的發展，提升學生的數學學科核心素養。

（責編 杜 華）