“導(dǎo)疑·啟思·變式”讓數(shù)學(xué)課堂充滿思維的火花

倪湘麗

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，夯實(shí)“四基”的同時(shí)發(fā)展“四能”，形成基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 疑問是興趣之源，思考是思維之本. 在課堂教學(xué)中，合理的設(shè)疑，可以極大地激起學(xué)生的探究欲望，進(jìn)而促發(fā)思考. 變式教學(xué)可以培養(yǎng)思維的靈活性和多樣性，提升學(xué)生的思維品質(zhì).

［關(guān)鍵詞］ 設(shè)疑；啟發(fā)思考；變式教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出數(shù)學(xué)教學(xué)除了讓學(xué)生獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)外，還要能夠體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力. 另外，創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中. 學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考是創(chuàng)新的核心. 筆者在長期的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)中運(yùn)用“導(dǎo)疑—啟思—變式”的教學(xué)模式，可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性、提高他們的課堂參與度、擴(kuò)大他們的思維量，從而真正體現(xiàn)學(xué)生在課堂中的主體地位. 下面就筆者的這一教學(xué)主張進(jìn)行簡單的闡述.

思起于疑 設(shè)疑釋惑

教育家蘇霍姆林斯基說過，求知欲、好奇心是人永不可改變的特性. 哪里沒有求知欲，哪里便沒有學(xué)校. 愛因斯坦也曾這樣表述，好奇心是科學(xué)工作者產(chǎn)生無窮的毅力和耐心的源泉. 因此充滿好奇心的學(xué)生將更富有潛力、活力和創(chuàng)造力. 課堂教學(xué)中，教師有必要激發(fā)學(xué)生的好奇心，激發(fā)好奇心的一個(gè)很好的途徑就是在教學(xué)中設(shè)疑. 通過適當(dāng)設(shè)疑激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與熱情，提升學(xué)生自主探索的能力，增強(qiáng)學(xué)生敢于質(zhì)疑權(quán)威的意識(shí). 基于此，何時(shí)及如何設(shè)計(jì)啟發(fā)思考的問題串就成為關(guān)鍵.

1. 由易及難，分層推進(jìn)式設(shè)疑

利用層層遞進(jìn)的問題串可以化解學(xué)生思考中的困境. 如在蘇科版九年級(jí)上冊“一元二次方程的解法”一節(jié)中可以采取由淺入深分層設(shè)疑方式讓學(xué)生逐步掌握“整體法”解方程的思想，設(shè)置如下問題.

問題1：x2-16=0，則x=？

問題2：（x+2）2-16=0，則x=？

問題3：4（2-x）2-9=0，則x=？

學(xué)生可以根據(jù)平方根的定義輕松解決問題1. 問題2在形式上與問題1稍有區(qū)別，學(xué)生對(duì)此展開討論，有的建議利用完全平方公式將方程化成一般式再解決，而有些認(rèn)為可以將“x+2”看成一個(gè)整體再求解，從解法的對(duì)比中可以發(fā)現(xiàn)整體思想的便利性. 問題3中的方程被再次加深難度，學(xué)生在自主探究中，自然地想到先把方程化成問題2的形式，將-9移到等號(hào)右邊，然后根據(jù)“整體法”這一思想將等號(hào)左邊化為［2（2-x）］2，或者兩邊同時(shí)除以4將左邊化為（2-x）2，此題便迎刃而解. 三個(gè)問題呈現(xiàn)出層層遞進(jìn)的關(guān)系，學(xué)生的思維也在層層遞進(jìn)中得到提升. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師由易及難、由淺入深、層層遞進(jìn)設(shè)疑可以幫助學(xué)生循序漸進(jìn)地掌握知識(shí)內(nèi)容. 在教學(xué)的“重點(diǎn)”“難點(diǎn)”“銜接”“過渡”等關(guān)節(jié)點(diǎn)上利用遞進(jìn)式設(shè)疑，能起到促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的教學(xué)作用.

2. 由表入里，承上啟下式設(shè)疑

研究問題不能只研究其表象，更重要的是研究其內(nèi)在的本質(zhì)，教師課堂設(shè)疑時(shí)，可以從由表及里的角度進(jìn)行. 通過對(duì)疑問的探究，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生自主建立內(nèi)在的知識(shí)框架，從而讓思維“活”起來. 如八年級(jí)（蘇科版下冊） “分式的加減法”教學(xué)中，可以設(shè)計(jì)這樣的問題串.

問題1：請(qǐng)用自己的語言說明+的運(yùn)算規(guī)則？

問題2：你能不能用代數(shù)式的形式表示上述數(shù)學(xué)式子呢？

問題3：對(duì)剛剛表示出的式子，大家想想該如何進(jìn)行運(yùn)算.

問題1和問題2學(xué)生獨(dú)立完成，對(duì)于問題3，鼓勵(lì)學(xué)生在觀察問題1的基礎(chǔ)上大膽猜想，從而找出一般的規(guī)律，在此基礎(chǔ)上教師繼續(xù)拋出問題：

問題4：+=？這個(gè)問題如何求解呢？

啟發(fā)學(xué)生類比異分母分?jǐn)?shù)相加減的法則探索解法. 類比設(shè)疑，不僅教給學(xué)生相應(yīng)的解題方法，還教給學(xué)生由表及里的研究問題的方法，使學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)知識(shí)框架的內(nèi)在邏輯關(guān)系，有助于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與求知欲望，促進(jìn)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力.

3. 形似質(zhì)異，陷阱式設(shè)疑

學(xué)生經(jīng)常會(huì)犯審題不清的錯(cuò)誤，陷阱式設(shè)疑無疑可以讓學(xué)生提高警惕，養(yǎng)成逐字逐句審題、畫關(guān)鍵詞的習(xí)慣，如下面的問題.

問題1：△ABC的三條邊的長分別為3，4，6，與△ABC相似的△A′B′C′的最長邊的長為18，求△A′B′C′的最短邊的長.

問題2：△ABC的三條邊的長分別為3，4，6，與△ABC相似的△A′B′C′的一邊為12，求△A′B′C′的最長邊的長.

學(xué)生在解決問題1時(shí)很輕松，由題中關(guān)鍵詞“最長邊”得△A′B′C′最長邊的長為18，它與△ABC 中的邊長為6的邊成對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，求出△A′B′C′的最短邊為9. 在問題1的基礎(chǔ)上，教師設(shè)置問題2，問題2與問題1“形”上特別相似，但有本質(zhì)的區(qū)別. 學(xué)生有了第一題的解題經(jīng)驗(yàn)后，往往會(huì)沿著慣性解下去，這樣就踏入了陷阱，出現(xiàn)錯(cuò)誤. 通過教師設(shè)疑、講解后，學(xué)生知道了問題2與問題1有著不同之處，需要對(duì)已知邊長為12的邊進(jìn)行分類討論，再利用相似三角形的性質(zhì)得最長邊為24，18或12. 這樣的陷阱設(shè)疑，很好地將“形似質(zhì)異”的問題曝光，引導(dǎo)學(xué)生在具體解決問題時(shí)，不能僅僅依靠經(jīng)驗(yàn)解題，而是要仔細(xì)閱讀，審清題意，在“與眾不同”處多思考、多總結(jié)，這樣的設(shè)疑定能提升學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解.

4. 認(rèn)知沖突，矛盾式設(shè)疑

當(dāng)新學(xué)的知識(shí)與學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生矛盾時(shí)，就形成了認(rèn)知沖突，此時(shí)設(shè)疑，可以啟發(fā)學(xué)生多角度思考，拓展思維廣度，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 如蘇科版九年級(jí)下冊“探索三角形相似的條件”第一課時(shí)的教學(xué)中，學(xué)習(xí)基本事實(shí)“兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例”時(shí)，學(xué)生先根據(jù)以下要求進(jìn)行操作.

操作1：在練習(xí)本上作出3條互相平行的直線l1，l2，l3，再作出2條直線a，b，使a，b與l1，l2，l3分別相交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn).

操作2：度量圖中的AB，BC，DE，EF的長度，并計(jì)算對(duì)應(yīng)線段的比值.

問題1：根據(jù)計(jì)算所得比值，你有什么發(fā)現(xiàn)？

問題1的答案：在圖1中，有=，即線段AB，BC，DE，EF成比例.

問題2：請(qǐng)同學(xué)們再想想，還有哪些線段對(duì)應(yīng)成比例？理由是什么呢？

學(xué)生對(duì)此進(jìn)行了大膽猜想：①AB，AC，DE，DF成比例；②BC，AC，EE，DF成比例；③AD，BE，BE，CF成比例……在陳述以上猜想的理由時(shí)，直觀思維與理性思維形成了碰撞，同學(xué)之間產(chǎn)生了思維分歧，新舊知識(shí)產(chǎn)生了沖突，教師此時(shí)要充分抓住這一機(jī)遇，進(jìn)行設(shè)疑，從而達(dá)到解惑的目的. 認(rèn)識(shí)到線段AD，BE，BE，CF并不是平行線所截的對(duì)應(yīng)線段，得出基本事實(shí)“兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例”. 趁著剛才的教學(xué)熱度，繼續(xù)設(shè)疑，讓思維碰撞的火花燃燒得再旺一些.

問題3：當(dāng)圖1中的點(diǎn)A與點(diǎn)D重合時(shí)，如圖2所示，△ABE與△ACF相似嗎？

學(xué)生對(duì)此進(jìn)行了熱烈的討論，有的認(rèn)為相似，有的認(rèn)為不相似. 認(rèn)為相似的同學(xué)是通過觀察發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形形狀應(yīng)該相同，認(rèn)為不相似的同學(xué)則認(rèn)為線段BE，CF不是被平行線截得的線段，所以應(yīng)該和其他線段不成比例，所以不可能相似！辯論雙方都覺得對(duì)方說得有理，卻不知如何解決，在思維矛盾的節(jié)點(diǎn)上繼續(xù)設(shè)疑.

問題4：圖1中≠，圖2中=嗎？如果相等，如何證明？

學(xué)生再次進(jìn)行思考、討論，發(fā)現(xiàn)過點(diǎn)B作BG∥EF（如圖3）交CF于點(diǎn)G，則易證四邊形BGFE為平行四邊形，得BE=GF，再根據(jù)基本事實(shí)===，得出△ABE∽△ACF. 本次探索中，充分利用了學(xué)生理解上的矛盾沖突，引起學(xué)生強(qiáng)烈的探究欲，在思維激烈的碰撞下完美解決了問題，學(xué)生已是滿滿的成就感，而此時(shí)教師繼續(xù)讓學(xué)生挑戰(zhàn)自我.

問題5：如圖4，AD∥BE∥CF，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)，已知AB=1，BC=3，DE=1.2，求DF的長.

此處學(xué)生在得到基本事實(shí)的基礎(chǔ)上，很容易求出DF的長.

問題6：在問題5的基礎(chǔ)上，若增加條件AD=2，CF=6，求BE的長.

學(xué)生瞬間展開爆炸式討論，充滿了征服欲，最終經(jīng)過探究給出了三種不同的方法：

如圖5，利用△GAD∽△GCF，且相似比為1 ∶ 3求出GA=2，再利用△GAD∽△GBE，且相似比為2 ∶ 3求出BE=3；如圖6，利用△CBH∽△CAD，且相似比為3 ∶ 4求出BH=1.5，再利用△DHE∽△DCF，且相似比為1 ∶ 4求出HE=1.5，從而BE=3；如圖7，利用平行四邊形求出IE=KF=AD=2，再利用△ABI∽△ACK，且相似比為1 ∶ 4，求出BI=1，因此BE=3. 這里通過變式題深化了學(xué)生在前面探索中的發(fā)現(xiàn)，創(chuàng)造性地運(yùn)用知識(shí)和方法來解決問題.

當(dāng)然，啟疑還有很多不同的方式，這要視教情和學(xué)情而定. 尤其要關(guān)注學(xué)情，因材施教、因生設(shè)疑，方式雖多樣化，但其目的都是在于能夠激起學(xué)生的探究欲望，從而主動(dòng)進(jìn)行多維度的思考、辯駁，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題的能力以及在探究過程中形成良好的思維習(xí)慣.

由疑啟思，思則辨，辨而用，學(xué)生的思維經(jīng)過思考的沉淀積累，在運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題時(shí)往往顯得較為輕松，此時(shí)再輔以變式教學(xué)，長久堅(jiān)持，必定能夠使得學(xué)生在解決問題時(shí)游刃有余、創(chuàng)新不斷.

變式教學(xué)，變出高度

變式教學(xué)是一種以教學(xué)目標(biāo)為基礎(chǔ)，靈活創(chuàng)新轉(zhuǎn)化命題的教學(xué)方式，具有適用范圍廣、學(xué)生參與度高、理解難度小的特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)過程中. 在筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)中，變式教學(xué)一般有以下幾種.

1. 一題變多式，變出思維

數(shù)學(xué)題具有靈活多變的特點(diǎn)，但具有相同特點(diǎn)的題型往往是“形”變而“神”似. 教學(xué)中可以利用“一題多變”活躍學(xué)生的思維，啟發(fā)學(xué)生能夠觸類旁通地思考，而不是機(jī)械性地就題做題、思維定式.

問題1：如圖8，在△ABC中，AB=6，AC=4，BC=5，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線交邊AC于點(diǎn)E，若△ADE∽△ABC，求AE的長.

變式1：如圖8，在△ABC中，AB=6，AC=4，BC=5，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線交邊AC于點(diǎn)E，若以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形和△ABC相似，求AE的長.

變式2：如圖8，在△ABC中，AB=6，AC=4，BC=5，點(diǎn)D是AB邊上的任意一點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線交△ABC的另一邊于點(diǎn)E，若直線DE所截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線DE有幾條？請(qǐng)你把它們一一作出來.

變式3：如圖8，在△ABC中，AB=6，AC=4，BC=5，點(diǎn)D是AB邊上的任意一點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線交△ABC的另一邊于點(diǎn)E，若直線DE所截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線DE有4條，請(qǐng)求出AD的取值范圍.

原題很簡單，學(xué)生由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例很容易求出AE=2. 比較變式1和原題，會(huì)發(fā)現(xiàn)變式1設(shè)置了陷阱，要分類討論，分別是△ADE∽△ABC時(shí)AE=2和△ADE∽△ACB時(shí)AE=4.5，但4.5>4，故第二種情況舍去，綜上AE=2. 而變式2中將中點(diǎn)D變更為AB邊上的任意一點(diǎn)，這時(shí)的分類就會(huì)很復(fù)雜，需要學(xué)生畫多幅圖進(jìn)行分析和討論，思維的突破可見一斑，最終通過學(xué)生畫圖，輔助以幾何畫板發(fā)現(xiàn)隨著點(diǎn)D在AB邊上位置的變化，直線DE的條數(shù)可能是3條或4條. 變式3是對(duì)變式2問題的升華，只有在充分研究變式3的基礎(chǔ)上才會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)D位于圖9中的點(diǎn)D1和D2及這兩點(diǎn)之間時(shí)，才能畫出4條滿足條件的直線DE，從而求得AD的取值范圍是≤AD≤.

2. 一題變多解，變出解法

通過不同的方式解決同一個(gè)問題可以讓學(xué)生的思維得到發(fā)散，使學(xué)生獲得更多的、更為優(yōu)化的解法.

問題1：已知兩個(gè)連續(xù)正偶數(shù)的積為48，求這兩個(gè)數(shù)分別是多少？

方法1：設(shè)較小的偶數(shù)為x，則較大偶數(shù)為x+2，利用兩個(gè)連續(xù)正偶數(shù)的積為48可列方程x（x+2）=48，解得x1=6，x2=-8（不符合題意，舍去），此時(shí)x+2=8，所以兩個(gè)數(shù)分別是6和8.

方法2：設(shè)較小的偶數(shù)為x，則較大偶數(shù)為，利用兩個(gè)連續(xù)正偶數(shù)可列方程-x=2，解得x1=6，x2=-8（不符合題意，舍去），此時(shí)=8，所以兩個(gè)數(shù)分別是6和8.

方法3：設(shè)x為任意正整數(shù)，則兩個(gè)連續(xù)正偶數(shù)可以表示為“2x”和“2x+2”，利用兩個(gè)連續(xù)正偶數(shù)的積為48可列方程2x（2x+2）=48，解得x1=3，x2=-4（不符合題意，舍去），此時(shí)2x=6，2x+2=8，所以兩個(gè)數(shù)分別是6和8.

以上三種解法中，方法1利用條件兩個(gè)連續(xù)正偶數(shù)的特點(diǎn)來設(shè)未知數(shù)，結(jié)論積為48列方程；方法2與方法1相反，利用結(jié)論積為48來設(shè)未知數(shù)，條件兩個(gè)連續(xù)正偶數(shù)的特點(diǎn)列方程. 方法3連續(xù)正偶數(shù)的規(guī)律設(shè)未知數(shù)，積為48列方程.

3. 一法變多用，變出多用途

一法多用是變式教學(xué)中相對(duì)難的部分，其需要學(xué)生深入掌握和了解知識(shí)，是在一題多變與一題多解的基礎(chǔ)上的延伸. 將變式教學(xué)應(yīng)用在初中數(shù)學(xué)課堂中，不但能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整體概括，還能夠?qū)Χ鄠€(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整理，以此來讓學(xué)生積累更多的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生形成知識(shí)體系.

問題1：通過平移把點(diǎn)A（2，-3）移到點(diǎn)A′（4，-2），按同樣的平移方式可將點(diǎn)B（-3，1）移到點(diǎn)B′，求點(diǎn)B′的坐標(biāo).

變式1：如圖10，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將四邊形ABCD先向下平移，再向右平移得到四邊形A1B1C1D1，已知A（-3，5），B（-4，3），A1（3，3），求B1的坐標(biāo).

變式2：如圖11，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（，0），B（1，1）. 若平移點(diǎn)A到點(diǎn)C，使以點(diǎn)O，A，C，B為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則應(yīng)當(dāng)如何平移？

變式3：如圖12，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸、y軸上，對(duì)角線OB，AC相交于點(diǎn)F，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，t）（t>0），二次函數(shù)y=x2+bx（b<0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，頂點(diǎn)為點(diǎn)D. 直線l平行于x軸，交二次函數(shù)y=x2+bx（b<0）的圖象于點(diǎn)M，N，連接DM，DN，當(dāng)△DMN≌△FOC時(shí)，求t的值.

這幾道變式題看似沒有任何聯(lián)系，其實(shí)都可以化歸為與點(diǎn)的坐標(biāo)平移規(guī)則相同的一類. 問題1不難理解是點(diǎn)A先向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到點(diǎn)A′，點(diǎn)B，B′的平移關(guān)系與點(diǎn)A，A′相同，于是得點(diǎn)B′（-1，2）；變式1看似四邊形的平移，通過分析發(fā)現(xiàn)仍然是點(diǎn)B，B1的平移關(guān)系與點(diǎn)A，A1相同，于是得點(diǎn)B1（2，1）. 變式2需要學(xué)生運(yùn)用菱形的性質(zhì)分析出點(diǎn)O，B的平移關(guān)系與點(diǎn)A，C相同，得到點(diǎn)C（+1，1）. 變式3變更程度很大，對(duì)學(xué)生來說極具挑戰(zhàn)性，但前面三題中平移方法的使用對(duì)本題有著啟發(fā)作用，由點(diǎn)的平移發(fā)散到圖形的平移，于是學(xué)生想到將二次函數(shù)y=x2+bx（b<0）的圖象平移至頂點(diǎn)在原點(diǎn)的函數(shù)y=x2，由△DMN≌△FOC可知，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)即平移后點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，另MN=OC=t，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為

，2，代入解析式y(tǒng)=x2，解得t=2.

結(jié)束語

筆者在長期的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)中運(yùn)用“導(dǎo)疑—啟思—變式”的教學(xué)模式能夠給學(xué)生提供更多思考的時(shí)間和空間，有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激起學(xué)生思維碰撞，強(qiáng)化教學(xué)效果，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力.