子彈打木塊模型及應(yīng)用

成樹明

子彈打木塊問題是力學(xué)中的常見模型，綜合性強(qiáng)，涉及運(yùn)動(dòng)學(xué)、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)量和能量等知識(shí)點(diǎn).同學(xué)們從不同角度來分析探究該問題，不僅能鞏固所學(xué)的物理知識(shí)，還能提高靈活分析問題、解答問題的能力.

一、子彈打木塊模型的兩種情況

（一）子彈未射穿木塊

1.1模型呈現(xiàn)

如圖1所示，質(zhì)量為M的木塊放在光滑的水平面上，一質(zhì)量為m的子彈以初速度v0水平飛來打進(jìn)木塊并留在其中.設(shè)子彈在木塊內(nèi)運(yùn)動(dòng)受到恒定阻力f作用，經(jīng)時(shí)間t子彈和木塊達(dá)到共同速度v，子彈和木塊的位移分別為x1、x2，子彈打進(jìn)木塊的深度為d.

1.2模型規(guī)律

1.2.1v-t圖像

子彈做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，木塊做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，二者的v-t圖像如圖2所示

①為子彈圖像；②為木塊圖像；③為共同運(yùn)動(dòng)圖像.由圖像中可以看出I區(qū)為子彈和木塊的相對(duì)位移，即子彈打進(jìn)木塊的深度為d.由圖可以判定：不論m、M關(guān)系怎樣總有d>x2，x1>2x2；若m2x2，x1>3x2.

1.2.2牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式

對(duì)子彈和木塊分別應(yīng)用牛頓第二定律，得

f=ma1

f=Ma1

對(duì)子彈和木塊分別應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，得

v=v0-a1t

x1=v0+v2t

v=a2t

x2=v2t

子彈和木塊的位移大小關(guān)系為

d=x1-x2

1.2.3動(dòng)能定理與能量守恒定律

對(duì)子彈和木塊分別應(yīng)用動(dòng)能定理，得

-fx1=12mv2-12mv20

fx2=12Mv2

系統(tǒng)損失的機(jī)械能等于產(chǎn)生的內(nèi)能，有

Q=ΔEk=12mv20-12（m+M）v2

整理得Q=fd

說明：相互作用力與相對(duì)位移（或路程）的乘積等于系統(tǒng)機(jī)械能的減少，這是一個(gè)重要關(guān)系，通常都可直接運(yùn)用.

1.2.4動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律

對(duì)子彈和木塊分別應(yīng)用動(dòng)量定理，得

-ft=mv-mv0

ft=Mv

對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)量守恒定律，得

mv0=（m+M）v

（二）子彈射穿木塊

2.1模型呈現(xiàn)

如圖3所示，質(zhì)量為M的木塊放在光滑的水平面上，一質(zhì)量為m的子彈以初速度v0水平飛來打進(jìn)木塊，經(jīng)時(shí)間t子彈射穿木塊時(shí)二者的速度分別為v1、v2，子彈和木塊的位移分別為x1、x2.設(shè)子彈在木塊內(nèi)運(yùn)動(dòng)受到恒定阻力f作用，木塊的長(zhǎng)度為L(zhǎng).

2.2模型規(guī)律

2.2.1 v-t圖像

①為子彈穿過木塊過程中的速度圖像；②為子彈穿過木塊過程中木塊的速度圖像；③為射出后子彈的速度圖像；④為子彈射出后木塊的速度圖像.

2.2.2牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式

對(duì)子彈和木塊分別應(yīng)用牛頓第二定律，得

f=ma1

f=Ma1

對(duì)子彈和木塊分別應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，得

v1=v0-a1t

x1=v0+v12t

v2=a2t

x2=v22t

子彈和木塊的位移大小關(guān)系為

L=x1-x2

2.2.3動(dòng)能定理與能量守恒定律

對(duì)子彈和木塊分別應(yīng)用動(dòng)能定理，得

-fx1=12mv21-12mv20

fx2=12Mv22

系統(tǒng)損失的機(jī)械能等于產(chǎn)生的內(nèi)能，有

Q=ΔEk=12mv20-12mv21-12Mv22

整理得Q=fL

2.2.4動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒定律

對(duì)子彈和木塊分別應(yīng)用動(dòng)量定理，得

-ft=mv1-mv0

ft=Mv2

對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)量守恒定律，得

mv0=mv1+Mv2

二、子彈打木塊模型的拓展

1. 模型拓展

根據(jù)子彈打木塊模型的特點(diǎn)，可以將該模型拓展到板塊模型.如圖5所示，一質(zhì)量為M的木板靜止于光滑的水平面上，一質(zhì)量為m的滑塊以速度v0從木板的左端滑上木板，二者之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.

2.板塊模型兩種類型

類型圖示規(guī)律分析

木板B帶動(dòng)物塊A，物塊恰好不從木板上掉下的臨界條件是物塊恰好滑到木板左端時(shí)二者速度相等，則位移關(guān)系為xB=xA+L

物塊A帶動(dòng)木板B，物塊恰好不從木板上掉下的臨界條件是物塊恰好滑到木板右端時(shí)二者速度相等，則位移關(guān)系為xB+L=xA

3.分析“板塊”模型時(shí)要抓住一個(gè)轉(zhuǎn)折和兩個(gè)關(guān)聯(lián)

4.分析板塊模型的四點(diǎn)注意事項(xiàng)

（1）用隔離法分析滑塊和木板的受力，分別求出滑塊和木板的加速度.

（2）建立滑塊位移、木板位移、滑塊相對(duì)木板位移之間的關(guān)系式.

（3）不要忽略滑塊和木板的運(yùn)動(dòng)存在等時(shí)關(guān)系.

（4）在運(yùn)動(dòng)學(xué)公式中，位移、速度和加速度都是相對(duì)地面的.

三、子彈打木塊模型的典型應(yīng)用

題型一 子彈單向打木塊

【例1】（2022屆北京交大附中檢測(cè)）如圖6所示，質(zhì)量為2m、長(zhǎng)為L(zhǎng)的木塊靜止在光滑水平面上，質(zhì)量為m的子彈（可視為質(zhì)點(diǎn)）以初速度v0水平向右射向木塊，穿出木塊時(shí)速度減為v02.若再將另一相同木塊固定在傳送帶上（如圖7所示），使木塊隨傳送帶以v=38v0的速度水平向左運(yùn)動(dòng)，相同的子彈仍以初速度v0水平向右射向木塊，木塊的速度始終不變.已知木塊對(duì)子彈的阻力恒定，下列說法正確的是（）

A.第一次子彈穿過木塊過程中，木塊的位移大小為15L

B.第一次子彈穿過木塊過程中，子彈克服阻力做的功為116mv20

C.子彈前后兩次穿過木塊的時(shí)間之比為2：1

D.第二次子彈穿出木塊時(shí)的速度為56v0

解析：第一次子彈穿過木塊過程中，子彈與木塊組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有mv0=m·v02+2mv1，解得v1=v04，對(duì)木塊和子彈分別應(yīng)用動(dòng)能定理，得fx=12·2mv21、-f（x+L）=12m（v02）2-12mv20=-38mv20，即子彈克服阻力做的功為38mv20，聯(lián)立解得x=L5，f=5mv2016L，選項(xiàng)A正確、選項(xiàng)B錯(cuò)誤；第一次，對(duì)物塊應(yīng)用動(dòng)量定理得ft1=2mv1，聯(lián)立解得t1=8L5v0，第二次，子彈在木塊中做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度為a=fm=5v2016L，子彈穿過木塊時(shí)滿足vt2+v0t2-12at22=L，聯(lián)立解得t2=4L5v0，則子彈前后兩次穿過木塊的時(shí)間之比為t1t2=21，選項(xiàng)C正確；第二次子彈穿出木塊時(shí)的速度為v'=v0-at2=34v0，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選AC.

【點(diǎn)評(píng)】第一次是常規(guī)的子彈打木塊問題，本題創(chuàng)新之處是第二次子彈打木塊.第一次子彈做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，木塊做初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，二者運(yùn)動(dòng)方向相同；第二次子彈做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，木塊保持勻速運(yùn)動(dòng)，二者運(yùn)動(dòng)方向相反.要弄清兩次子彈和木塊的位移大小關(guān)系.

題型二子彈雙向打木塊

【例2】（2022屆河南開封二模）如圖8所示，木塊靜止在光滑水平面上，兩顆不同的子彈A、B從木塊兩側(cè)同時(shí)射入木塊，最終都停在木塊內(nèi)，這一過程中木塊始終保持靜止，若子彈A射入木塊的深度大于子彈B射入木塊的深度，則（）

A.子彈A的質(zhì)量一定比子彈B的質(zhì)量小

B.入射過程中子彈A受到的阻力比子彈B受到的阻力大

C.子彈A在木塊中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間比子彈B在木塊中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間長(zhǎng)

D.子彈A射入木塊時(shí)的初動(dòng)能一定比子彈B射入木塊時(shí)的初動(dòng)能大

解析：由于木塊始終保持靜止?fàn)顟B(tài)，則兩子彈對(duì)木塊的作用力大小相等，由牛頓第三定律知兩子彈所受的阻力大小相等，設(shè)為f，對(duì)子彈A、B分別動(dòng)能定理得-fdA=0-EkA、-fdB=0-EkB，由于dA＞dB，則有子彈入射時(shí)的初動(dòng)能EkA＞EkB，選項(xiàng)B錯(cuò)誤、選項(xiàng)D正確；子彈A、B從木塊兩側(cè)同時(shí)射入木塊，木塊始終保持靜止，所以兩子彈在木塊中運(yùn)動(dòng)時(shí)間必定相等，否則木塊就會(huì)運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；兩子彈和木塊組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，則有2mAEkA=2mBEkB，因EkA＞EkB，則有mA＜mB，選項(xiàng)A正確.故選AD.

【點(diǎn)評(píng)】審題是解答問題的前提和關(guān)鍵.兩顆不同的子彈A、B從木塊兩側(cè)同時(shí)射入木塊，最終都停在木塊內(nèi)，這一過程中木塊始終保持靜止，這一信息就告訴我們兩子彈對(duì)木塊的作用力大小相等，作用時(shí)間相同，排除選項(xiàng)B、C；若本題告訴是多選題，在考場(chǎng)上由邏輯關(guān)系便可快速選出答案AD.

題型三子彈打木塊與板塊模型綜合

【例3】如圖9所示，質(zhì)量為M=1.0kg的長(zhǎng)木板放在光滑水平面上，木板上放有兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的木塊A和B，它們的質(zhì)量分別為m1=0.95kg和m2=1.0kg.木塊A位于長(zhǎng)木板的左端，A、B間相距l(xiāng)=2.0m，一顆質(zhì)量為m=50g的子彈以速度v0水平射入木塊A并留在其中.已知兩木塊與長(zhǎng)木板間動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.2，取重力加速度g=10m/s2，子彈打入木塊及木塊相撞時(shí)作用時(shí)間極短.回答下面問題：

（1）要使木塊A、B能發(fā)生碰撞，子彈速度v0應(yīng)滿足什么條件；

（2）若A、B碰撞后粘在一起運(yùn)動(dòng)，當(dāng)v0=80m/s時(shí)，要使A、B不從木板上掉下來，木板至少需要多長(zhǎng)（保留三位有效數(shù)字）.

（3）當(dāng)v0=80m/s時(shí)，求子彈與木塊A和木塊A、B作用時(shí)損失的機(jī)械能△E.

解析：（1）子彈打入木塊時(shí)動(dòng)量守恒，有

mv0=（m+m1）v1

木塊A在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)到與B碰撞前，設(shè)A的加速度為a1，長(zhǎng)木板和B的加速度為a2，則

μ（m+m1）g=（m+m1）a1

μ（m+m1）g=（M+m2）a2

若碰前長(zhǎng)木板的位移為x，則A的位移為l+x，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，有

x=12a2t2

l+x=v1t-12a1t2

聯(lián)立解得 t2-v030t+43=0

當(dāng)v0302-4×43>0時(shí)，A、B發(fā)生碰撞，解得

v0>403m/s

（2）將v0=80m/s代入t2-v030t+43=0解得

t=2s（舍去）或t=23s

設(shè)A碰撞前、后速度分別為v2、v3，碰撞前木板及B的速度為v′2，則

v2=v1-a1t

v'2=a2t

（m+m1）v2+m2v'2=（m+m1+m2）v3

設(shè)兩木塊及長(zhǎng)木板最終共同速度為v.碰后A、B在長(zhǎng)木板上滑行的距離為Δl，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律則有

mv0=（m+m1+m2+M）v

μ（m+m1+m2）gΔl=12（m+m1+m2）v23+12Mv′22-12（m+m1+m2+M）v2

聯(lián)立解得Δl=112m

則木板長(zhǎng)度

L=l+Δl=2512m=2.08m

（3）由能量守恒定律得

ΔE=12mv20-12（m+m1+m2+M）v2-μ（m+m1）gl-μ（m+m1+m2）g·Δl

聯(lián)立解得ΔE=153J.

【點(diǎn)評(píng)】解答多物體多過程問題的關(guān)鍵是將復(fù)雜問題拆分成一個(gè)個(gè)簡(jiǎn)單的問題.本題過程一為子彈打木塊A；過程一結(jié)束后將子彈和木塊A視為一個(gè)新的子彈，將長(zhǎng)木板和木塊B視為一個(gè)新的木塊，第二個(gè)過程是新子彈打新木塊，這一過程到A、B碰前結(jié)束；第三個(gè)過程是木塊A、B完全非彈性碰撞；過程三結(jié)束后，子彈、木塊A、B再次組成一個(gè)新的子彈，與長(zhǎng)木板相互作用，這便是第四個(gè)物理過程，再次構(gòu)成一個(gè)子彈打木塊模型.

題型四子彈打木塊與傳送帶模型綜合

【例4】（2022屆湖南長(zhǎng)郡中學(xué)模擬）如圖10所示，水平傳送帶AB長(zhǎng)L=8.3m，質(zhì)量M=1kg的木塊隨傳送帶一起以v1=2m/s的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)（傳送帶的速度恒定），木塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，當(dāng)木塊運(yùn)動(dòng)到最左端的A點(diǎn)時(shí)，一顆質(zhì)量為m=20g的子彈以v0=300m/s的水平向右的速度正對(duì)射入木塊并穿出，穿出速度為u=50m/s，以后每隔Δt=1s就有一顆子彈水平地射中木塊，設(shè)子彈射穿木塊的時(shí)間極短，且每次射穿時(shí)阻力相同，重力加速度取g=10m/s2，子彈和木塊均可視為質(zhì)點(diǎn)，求：

（1）在第二顆子彈擊中前，木塊向右運(yùn)動(dòng)離A點(diǎn)的最大距離；

（2）木塊在傳送帶上最多能被幾顆子彈擊中；

（3）從第一顆子彈擊中木塊到木塊最終離開傳送帶的過程中，子彈、木塊和傳送帶這一系統(tǒng)所產(chǎn)生的內(nèi)能是多少.

解析：（1）第一顆子彈射入木塊過程中，由動(dòng)量守恒定律，得

mv0-Mv1=mu+Mv2

解得子彈穿出后，木塊的速度為

v2=3m/s，方向向右

由牛頓第二定律，得

μMg=Ma

解得木塊在傳送帶上滑行的加速度為

a=5m/s2

則木塊速度減為零的時(shí)間為

t0=v2a=0.6s<Δt

故在第二顆子彈擊中前，木塊向右運(yùn)動(dòng)離A點(diǎn)的最大距離為

x1=v22t0=0.9m

x1=v222a=0.9m（備注刪除該行）

（2）在第二顆子彈射中木塊前，木塊再向左做加速運(yùn)動(dòng)，加速的時(shí)間為

t1=Δt-t0=0.4s

速度增大為

v3=at1=2m/s

此時(shí)速度恰好與傳送帶共速，則向左運(yùn)動(dòng)的位移為

x2=12at21=0.4m

所以在兩顆子彈射中木塊的時(shí)間間隔內(nèi)，木塊向右運(yùn)動(dòng)的總位移為

x0=x1-x2=0.5m

所以在第16顆子彈擊中前，木塊向右移動(dòng)的位移為

x=15×0.5m=7.5m

在第16顆子彈擊中后，木塊將會(huì)先向右移動(dòng)x1的位移，此時(shí)木塊的總位移為

x總=x+x1=7.5m+0.9m=8.4m>8.3m

故木塊將從B端落下，所以木塊在傳送帶上最多能被16顆子彈擊中.

（3）第一顆子彈穿過木塊過程中，產(chǎn)生的內(nèi)能為

Q1=12mv20+12Mv21-12mu2-12Mv22=872.5J

木塊向右減速過程中，木塊相對(duì)于傳送帶的位移為

Δx1=x1+v1t0=2.1m

木塊向右減速過程中，產(chǎn)生的內(nèi)能為

Q2=μMg·Δx1=10.5J

木塊向左加速過程中，木塊相對(duì)于傳送帶的位移為

Δx2=v1t1-x2=0.4m

木塊向左加速過程中，產(chǎn)生的內(nèi)能為

Q3=μMg·Δx2=2J

第16顆子彈擊中木塊后，木塊向右減速的過程有

L-x=v2t2-12at22

解得，第16顆子彈擊中木塊后，木塊向右減速的時(shí)間為

t2=0.4s

則第16顆子彈擊中木塊后，木塊相對(duì)于傳送帶的位移為

Δx3=（L-x）+v1t2=1.6m

第16顆子彈擊中木塊后，木塊向右減速過程中，產(chǎn)生的內(nèi)能為

Q4=μMg·Δx3=8J

則全過程產(chǎn)生的內(nèi)能為

Q總=15（Q1+Q2+Q3）+Q1+Q4=14155.5J.

【點(diǎn)評(píng)】子彈打木塊過程滿足動(dòng)量守恒和能量守恒；子彈打完木塊后木塊獲得水平向右的速度v2，木塊先向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，再向左做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度增加到與傳送帶相同時(shí)，再次發(fā)生子彈打木塊過程；每重復(fù)一次上述過程，木塊向右對(duì)地位移為x0=0.5m；子彈打木塊過程，木塊向右減速過程和向左加速過程均產(chǎn)生內(nèi)能.

子彈打木塊模型的實(shí)質(zhì)是系統(tǒng)在一對(duì)作用力和反用力（系統(tǒng)的內(nèi)力）的沖量作用下，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)物體的動(dòng)量變化、動(dòng)能變化和能量變化.通過上述幾例，啟示我們?cè)诮獯鹞锢韱栴}時(shí)，必須透過其表面現(xiàn)象抓住本質(zhì)，建立物理模型，以達(dá)到“異中求同，多題歸一”.該模型也可以與其他力學(xué)模型進(jìn)行綜合構(gòu)建更為復(fù)雜的力學(xué)研究問題，同學(xué)們要善于將所學(xué)規(guī)律進(jìn)行遷移創(chuàng)新，將陌生、復(fù)雜的物理問題建構(gòu)成熟悉、簡(jiǎn)單的某種物理模型，則能化繁為簡(jiǎn)，化難為易，收到事半功倍的效果.

責(zé)任編輯李平安